中國人民大學附中特級教師梁麗平 高考數(shù)學綜合能力題30講第29講 條件開放的探索性問題

1、數(shù)學高考綜合能力題選講29條件開放的探索性問題100080 北京中國人民大學附中 梁麗平題型預測探索性問題的明顯特征是問題本身具有開放性及問題解決的過程中帶有較強的探索性對于條件開放的探索性問題，往往采用分析法，從結(jié)論和部分已知的條件入手，執(zhí)果索因，導出所需的條件另外，需要注意的是，這一類問題所要求的往往是問題的充分條件，而不一定是充要條件，因此，直覺聯(lián)想、較好的洞察力都將有助于這一類問題的解答范例選講例1在四棱錐中，四條側(cè)棱長都相等，底面是梯形，為保證頂點P在底面所在平面上的射影O在梯形的外部，那么梯形需滿足條件_（填上你認為正確的一個條件即可）講解： 條件給我們以啟示由于四條側(cè)棱長都相等，

2、所以，頂點P在底面上的射影O到梯形四個頂點的距離相等即梯形有外接圓，且外接圓的圓心就是O顯然梯形必須為等腰梯形再看結(jié)論結(jié)論要求這個射影在梯形的外部，事實上，我們只需找出使這個結(jié)論成立的一個充分條件即可顯然，點B、C應該在過A的直徑AE的同側(cè)不難發(fā)現(xiàn)，應該為鈍角三角形故當（且AC>BC）時可滿足條件其余等價的或類似的條件可以隨讀者想象點評：本題為條件探索型題目，其結(jié)論明確，需要完備使得結(jié)論成立的充分條件，可將題設(shè)和結(jié)論都視為已知條件，進行演繹推理推導出所需尋求的條件這類題要求學生變換思維方向，有利于培養(yǎng)學生的逆向思維能力例2老師給出一個函數(shù)，四個學生甲、乙、丙、丁各指出這個函數(shù)的一個性質(zhì)：

3、甲：對于，都有；乙：在上函數(shù)遞減；丙：在上函數(shù)遞增；?。翰皇呛瘮?shù)的最小值如果其中恰有三個人說得正確，請寫出一個這樣的函數(shù)：_講解：首先看甲的話，所謂“對于，都有”，其含義即為：函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱數(shù)形結(jié)合，不難發(fā)現(xiàn)：甲與丙的話相矛盾（在對稱軸的兩側(cè)，函數(shù)的單調(diào)性相反）因此，我們只需選擇滿足甲、乙、?。ɑ蛞?、丙、?。l件的函數(shù)即可如果我們希望找到滿足甲、乙、丁條件的函數(shù)，則需要認識到：所謂函數(shù)在上單調(diào)遞減，并不是說函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間只有考慮到關(guān)于直線的對稱性，我們不妨構(gòu)造函數(shù)，使之在上單調(diào)遞減，這樣，既不與乙的話矛盾，也滿足丁所說的性質(zhì)如即可如果希望找到滿足乙、丙、丁條件的函數(shù)，則分段函數(shù)是必

4、然的選擇如點評：本題考查學生對于函數(shù)性質(zhì)的理解和掌握思考這樣的問題，常常需要從熟悉的函數(shù)（一次、二次、反比例函數(shù)，指數(shù)、對數(shù)、三角函數(shù)等）入手，另外，分段函數(shù)往往是解決問題的關(guān)鍵例3對任意函數(shù)，可按圖示構(gòu)造一個數(shù)列發(fā)生器，其工作原理如下： 輸入數(shù)據(jù)，經(jīng)數(shù)列發(fā)生器輸出； 若，則數(shù)列發(fā)生器結(jié)束工作；若，則將反饋回輸入端，再輸出，并依此規(guī)律繼續(xù)下去現(xiàn)定義（）若輸入，則由數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生數(shù)列請寫出數(shù)列的所有項；（）若要數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生一個無窮的常數(shù)數(shù)列，試求輸入的初始數(shù)據(jù)的值；（）若輸入時，產(chǎn)生的無窮數(shù)列滿足：對任意正整數(shù)n，均有，求的取值范圍（）是否存在，當輸入數(shù)據(jù)時，該數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生一個各項均為負數(shù)的

5、的無窮數(shù)列講解：（）對于函數(shù)，若，代入計算可得：，故產(chǎn)生的數(shù)列只有三項（）要使數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生一個無窮的常數(shù)數(shù)列，實際上是對于任意的正整數(shù)，都應該有又所以，只需令解得：由于題目實際上只要求找到產(chǎn)生“無窮常數(shù)數(shù)列”的一個充分條件，所以，令（或2）即可此時必有1（或2）事實上，相對于本題來講，（或2）是產(chǎn)生“無窮常數(shù)數(shù)列”的充要條件（這是因為函數(shù)是一一對應）如果把函數(shù)換成，請讀者思考：有多少個滿足條件的初值？（）要使得對任意正整數(shù)n，均有，我們不妨先探索上述結(jié)論成立的一個必要條件即事實上，不等式的解為或（）所以，或下面我們來研究這個條件是否充分當時，所以，雖然有，但此時，顯然不符合題意當時，由上可知

6、：，且不難求得，以此類推，可知，必有：對任意正整數(shù)n，均有成立綜上所述，由及（），不難得知：的取值范圍為（）要求使得成立的初值實質(zhì)上是執(zhí)果索因令，則由不難解得又由，可解得：由此我們知道，如果，則必有即與不可能同時小于0故在本題的規(guī)則下，不可能產(chǎn)生各項均為負數(shù)的數(shù)列點評：本題為條件探索型問題，執(zhí)果索因，恰當運用分析法，尋找使結(jié)論成立的充分條件是解決這類問題的常用方法高考真題A1 D1B1 C1 A DB C 1（1998年全國高考）如圖, 在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD中，當?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件_時, 有A1CB1D1.(注：填上一種你認為正確的一種條件即可, 不必考慮所有可能的情形.) 2（2002上海春季高考）設(shè)曲線和的方程分別為和，則點的一個充分條件為_3（2002年上海高考）命題A：底面為正三角形，且頂點在底面的射影為底面中心的三棱錐是正三棱錐命題A的等價命題B可以是：底面為正三角形，且 的三棱錐是正三棱錐4（2000年全國高考18題）略答案與提示：1滿足ACBD的任一條件均可； 2，且等； 3側(cè)棱相等/側(cè)棱與底面所成角相等/；（）；（）；（）1（2000年