第一節(jié)點(diǎn)估計(jì)問(wèn)題概述

1、第六章 參數(shù)估計(jì)n在實(shí)際問(wèn)題中, 當(dāng)所研究的總體分布類(lèi)型已知, 但分布中含有一個(gè)或多個(gè)未知參數(shù)時(shí), 如何根據(jù)樣本來(lái)估計(jì)未知參數(shù)，這就是參數(shù)估計(jì)問(wèn)題. n參數(shù)估計(jì)問(wèn)題分為點(diǎn)估計(jì)問(wèn)題與區(qū)間估計(jì)問(wèn)題兩類(lèi). 所謂點(diǎn)估計(jì)就是用某一個(gè)函數(shù)值作為總體未知參數(shù)的估計(jì)值；區(qū)間估計(jì)就是對(duì)于未知參數(shù)給出一個(gè)范圍，并且在一定的可靠度下使這個(gè)范圍包含未知參數(shù).n例如, 燈泡的壽命X是一個(gè)總體, 根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)知道, X服從 , 但對(duì)每一批燈泡而言, 參數(shù) 是未知的,要寫(xiě)出具體的分布函數(shù), 就必須確定出參數(shù). 此類(lèi)問(wèn)題就屬于參數(shù)估計(jì)問(wèn)題.),(2N),(2N2,n參數(shù)估計(jì)問(wèn)題的一般提法:n設(shè)有一個(gè)統(tǒng)計(jì)總體, 總體的分布函為

2、 , 其中 為未知參數(shù)( 可以是向量). 現(xiàn)從該總體中隨機(jī)地抽樣, 得一樣本n再依據(jù)該樣本對(duì)參數(shù) 作出估計(jì), 或估計(jì)參數(shù) 的某已知函數(shù) ),(xF),(xFnXXX,21).(g第一節(jié)第一節(jié) 點(diǎn)估計(jì)問(wèn)題概述點(diǎn)估計(jì)問(wèn)題概述n內(nèi)容分布圖示內(nèi)容分布圖示n n 引言n 點(diǎn)估計(jì)的概念 例1n 評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)n 無(wú)偏性 例2 例3n 有效性n 例4 例5 例6n 相合性 例7 例8n 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí)n 習(xí)題6-1 內(nèi)容要點(diǎn)：內(nèi)容要點(diǎn)：n一、點(diǎn)估計(jì)的概念一、點(diǎn)估計(jì)的概念n設(shè) 是取自總體X的一個(gè)樣本, 是相應(yīng)的一個(gè)樣本值. 是總體分布中的未知參數(shù), 為估計(jì)未知參數(shù) , 需構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量n然后用其觀

3、察值n來(lái)估計(jì) 的值.n稱(chēng) 為的估計(jì)量. 稱(chēng) 為的估計(jì)值. 在不致混淆的情況下, 估計(jì)量與估計(jì)值統(tǒng)稱(chēng)為點(diǎn)估計(jì),簡(jiǎn)稱(chēng)為估計(jì), 并簡(jiǎn)記為 .nXXX,21nxxx,21),(21nXXX),(21nxxx),(21nXXX),(21nxxxn注: 估計(jì)量 是一個(gè)隨機(jī)變量, 是樣本的函數(shù)，即是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量, 對(duì)不同的樣本值, 的估計(jì)值 一般是不同的.),(21nXXX二、評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)二、評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)n從例1可見(jiàn),參數(shù)點(diǎn)估計(jì)的概念相當(dāng)寬松, 對(duì)同一參數(shù),可用不同的方法來(lái)估計(jì), 因而得到不同的估計(jì)量, 故有必要建立一些評(píng)價(jià)估計(jì)量好壞的標(biāo)準(zhǔn).n估計(jì)量的評(píng)價(jià)一般有三條標(biāo)準(zhǔn):n1. 無(wú)偏性;n2. 有效性

4、;n3. 相合性（一致性）.n在本節(jié)的后面將逐一介紹之.n在具體介紹估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)之前, 需指出: 評(píng)價(jià)一個(gè)估計(jì)量的好壞, 不能僅僅依據(jù)一次試驗(yàn)的結(jié)果, 而必須由多次試驗(yàn)結(jié)果來(lái)衡量. 因?yàn)楣烙?jì)量是樣本的函數(shù), 是隨機(jī)變量. 故由不同的觀測(cè)結(jié)果, 就會(huì)求得不同的參數(shù)估計(jì)值. 因此一個(gè)好的估計(jì), 應(yīng)在多次重復(fù)試驗(yàn)中體現(xiàn)出其優(yōu)良性.n1無(wú)偏性無(wú)偏性n估計(jì)量是隨機(jī)變量, 對(duì)于不同的樣本值會(huì)得到不同的估計(jì)值. 一個(gè)自然的要求是希望估計(jì)值在未知參數(shù)真值的附近, 不要偏高也不要偏低. 由此引入無(wú)偏性標(biāo)準(zhǔn).n定義定義1 設(shè) 是未知參數(shù) 的估計(jì)量, 若 n則稱(chēng) 為的 無(wú)偏估計(jì)量.n注注: 無(wú)偏性是對(duì)估計(jì)量的一

5、個(gè)常見(jiàn)而重要的要求, 其實(shí)際意義是指估計(jì)量沒(méi)有系統(tǒng)偏差，只有隨機(jī)偏差. 在科學(xué)技術(shù)中, 稱(chēng)n為用 估計(jì) 而產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差.n例如, 用樣本均值作為總體均值的估計(jì)時(shí), 雖無(wú)法說(shuō)明一次估計(jì)所產(chǎn)生的偏差, 但這種偏差隨機(jī)地在0的周?chē)▌?dòng),對(duì)同一統(tǒng)計(jì)問(wèn)題大量重要使用不會(huì)產(chǎn)生系統(tǒng)偏差.),(1nXX ,)(E)(En 對(duì)一般總體而言，我們有n定理定理1 設(shè) 為取自總體X的樣本,總體X的均值為 , 方差為 .則n(1) 樣本均值 是 的無(wú)偏估計(jì)量;n(2) 樣本方差 是 的無(wú)偏估計(jì)量;n(3) 樣本二階中心矩 是 的有偏估計(jì)量.nXX,12X2S2niiXXn12)(12n2有效性有效性n一個(gè)參數(shù) 常有多

6、個(gè)無(wú)偏估計(jì)量,在這些估計(jì)量中,自然應(yīng)選用對(duì) 的偏離程度較小的為好,即一個(gè)較好的估計(jì)量的方差應(yīng)該較小.由此引入評(píng)選估計(jì)量的另一標(biāo)準(zhǔn)有效性.n定義定義2 設(shè) 和 都是參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量, 若n則稱(chēng) 較 有效.n注注: 在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中常用到最小方差無(wú)偏估計(jì), 其定義如下:n設(shè) 是取自總體X的一個(gè)樣本, 是未知參數(shù) 的一個(gè)估計(jì)量, 若滿(mǎn)足:n(1) 即 為 的無(wú)偏估計(jì);n(2) 是 的任一無(wú)偏估計(jì).n則稱(chēng) 為 的最小方差無(wú)偏估計(jì)(也稱(chēng)最佳無(wú)偏估計(jì)).),(111nXX ),(122nXX )()(21DD12nXX,1),(1nXX ,)(E),()(En3相合性相合性(一致性一致性)n我們不僅希望一個(gè)估

7、計(jì)量是無(wú)偏的, 并且具有較小的方差, 還希望當(dāng)樣本容量無(wú)限增大時(shí), 估計(jì)量能在某種意義下任意接近未知參數(shù)的真值, 由此引入相合性(一致性)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn).n定義定義3 設(shè) 為未知參數(shù) 的估計(jì)量, 若依概率收斂于 , 即對(duì)任意 , 有n或n則稱(chēng) 為 的(弱)相合估計(jì)量.),(1nXX 0, 1|limPn, 0|limPnn例題選講：例題選講：n 點(diǎn)估計(jì)的概念點(diǎn)估計(jì)的概念n（講義例（講義例1）設(shè)X表示某種型號(hào)的電子元件的壽命(以小時(shí)計(jì))，它服從指數(shù)分布：n 為未知參數(shù), . 現(xiàn)得樣本值為n168, 130, 169, 143, 174, 198, 108, 212, 252,n試估計(jì)未知參數(shù) . 0

8、, 00,1),(/xxexfXx0n解解 由題意知, 總體 的均值為 即 因此, 如用樣本均值 作為 的估計(jì)量看起來(lái)是最自然的. 對(duì)給定的樣本值計(jì)算得n故 與 分別為 的估計(jì)量與估計(jì)值.X,),(XEX, 7 .172)252130168(91xX7 .172 xn評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)n例例2（講義例（講義例2）設(shè)總體 ,是來(lái)自這一總體的樣本.n(1) 證明 是 的無(wú)偏估計(jì);n(2) 求), 0(2NXnxxx,21niixn12212).(2Dn解解 (1) n故 是 的無(wú)偏估計(jì).n(2) 因 而n且它們相互獨(dú)立, 故依 分布定義n n由此知)(1)(1)(122iniiXDn

9、XEnE221nn22niiniiXX1212,), 2 , 1() 1 , 0(niNXi2)(2212nXniinXDnii2212.2211)(44221224122nnnXDnXnDDniiniin例例3（講義例（講義例3）設(shè) 是總體 n 的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本. 求 使n 為 的無(wú)偏估計(jì).nXXX,21),(2NkninjjiXXk11|n解解 由于 且相互獨(dú)立, 于是當(dāng) 時(shí) n因?yàn)楫?dāng) 時(shí), 所以n故當(dāng) 時(shí), 有 為 n 的無(wú)偏估計(jì).),(2NXiji ),2 , 0(2NXXjidxexXXExji2242221|)(|.202222222404xxedxxeji , 0|)(|jiX

10、XE,2) 1() |(|) (11nnkXXEkEninjji) 1(2nnkninjjiXXnn11|) 1(2n例例4（講義例（講義例4）設(shè) 為來(lái)自總體X的樣本, , 均為總體均值 的無(wú)偏估計(jì)量, 問(wèn)哪一個(gè)估計(jì)量有效?nXXX,21X), 2 , 1(niXi)(XEn解解 由于 所以 為 和無(wú)偏估計(jì)量, 但n故 較 更有效.), 2 , 1()(,)(niXEXEi), 2 , 1(,niXXi,)(11)(2121nXDnXnDXDniinii), 2 , 1()(2niXDiX), 2 , 1(niXin例例5 設(shè)總體X在區(qū)間 上服從均勻分布, 是取自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本, n求常

11、數(shù) 使 均為的無(wú)偏估計(jì), 并比較其有效性., 0nXXX,21,11niiXnX).,max(1)(nnXXX,ba)(21,nbXXan解解 已知 其分布函數(shù)為n因 故n當(dāng) 時(shí), 為無(wú)偏估計(jì), 且n又n所以, 000,/1)(其它xxfX, 10,/0, 0)()(xxxxdttfxFx, 2/)(xE,12/)(2XD. 2/)()(1aXaEE2a,)(1E1).3/()12/(4)(4)2()(221nnXDXDD, 00,/)()()(11其它xnxxfxFnxfnnnn,11)(010)(nnxnndxnxXEnnnnn,2)(2012)(nndxnxXEnnnn故 當(dāng) 時(shí), 即

12、為 的無(wú)偏估計(jì), 且n所以 比 更有效.,) 1)(2()(22)(nnnXDn,1)()()(2nnbXbEEnnnb1,)(2E)(21nXnn222)(22) 1)(2(1)()(nnnnnXDbDn)(3)2(122Dnnn21 n例例6（講義例（講義例5）設(shè)分別自總體 和 n 中抽取容量為 的兩獨(dú)立樣本.其樣本方差分別為 . 試證, 對(duì)于任意常數(shù) 都是 的無(wú)偏估計(jì), 并確定常數(shù) 使 達(dá)到最小.),(21N),(22N21,nn2221,SS2221),1(,bSaSZbaba2ba,)(ZDn解解 由第5章第三節(jié)的定理2, 知n且相互獨(dú)立, 所以 故當(dāng) 時(shí), n即 是 的無(wú)偏估計(jì).

13、由 相互獨(dú)立, 及,)(221SE,)(222SE),1(/) 1(122211nSn) 1(/) 1(222222nSn),1/(2)(1421nSD),1/(2)(1222nSD1 ba,)()()(22221SbESaEZEZ22221,SS)()(2221bSaSDZD422122)1() 1/(nbna422122)1/()1 () 1/(nanan令 得駐點(diǎn) n又 知該點(diǎn)為極小值點(diǎn), 所以, 當(dāng) 時(shí), 統(tǒng)計(jì)量 n具有最小方差.n(注注: 此例結(jié)果表明, 第5章第三節(jié)定理4中的統(tǒng)計(jì)量是方差的最佳無(wú)偏估計(jì))., 01)1 (2122)(2142nanadaZdD,21211nnna,

14、012122)(21422nndaZDd,21211nnna222221121) 1() 1(21wdefSSnSnnnZ n例例7（講義例（講義例6）設(shè) 是取自總體 n 樣本, 且 存在 為正整數(shù), 則 為 的相合估計(jì)量.nXX,1X)(kXEknikiXn11)(kXE n證證 事實(shí)上, 對(duì)指定的 , 令n由大數(shù)定理知 從而 是 的相合估計(jì)量.n作為特例, 樣本均值 是總體均值 的相合估計(jì)量.k,kXY ,kiiXY nikiniiXnYnY11,11),()(limknXEYEYnikiXn11)(kXEX)(XEn例例8（講義例（講義例7）設(shè)總體 , 為其樣本. 試證樣本方差 是 的相合估計(jì)量.),(2NXnXX,12S2 n證證 由本節(jié)定理1, 又由第5章第三節(jié)定理2, 知 n從而 故由切比雪夫不等式推得,