抗震設(shè)計(jì)規(guī)范中對(duì)功率譜的規(guī)定

1、.第七章 抗震設(shè)計(jì)規(guī)范中對(duì)功率譜規(guī)定的建議如第一章所述，隨機(jī)振動(dòng)方法正在逐漸被抗震設(shè)計(jì)規(guī)范接受為一種結(jié)構(gòu)抗震驗(yàn)算方法，地震作用借助功率譜描述，嚴(yán)格地稱為功率譜密度函數(shù)(Power Spectra Density Function，簡(jiǎn)稱PSDF)。從上世紀(jì)四十年代開始，對(duì)PSDF提出了各種建議（例如，Housner，1947；Kanai，1957；屈鐵軍，1995；薛素鐸，2003），本節(jié)在此基礎(chǔ)上，探討直接依據(jù)強(qiáng)地震動(dòng)觀測(cè)數(shù)據(jù)建立基巖地表PSDF參數(shù)的衰減關(guān)系，提出一套可供實(shí)用的關(guān)系式。§7.1 功率譜密度函數(shù)的形式地震工程研究中，最先采用的PSDF是白噪聲譜密度函數(shù)（Housner

2、, 1947）。目前，地震動(dòng)加速度的PSDF通常用金井清譜（金井清，1957）或改進(jìn)金井清譜描述。金井清（Kanai）譜（Kanai, 1957）表達(dá)式為 （7.1）式中，S0稱為譜強(qiáng)度，表示基巖上白噪聲的強(qiáng)度；wg和g為譜參數(shù)，分別稱為特征頻率和特征阻尼比。Housner（1964）建議硬場(chǎng)地wg取15.6rad/s、g取0.64。金井清譜在結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震動(dòng)反應(yīng)分析中被廣泛的應(yīng)用，缺點(diǎn)是過分夸大了地震動(dòng)的低頻含量，導(dǎo)致w0處地震動(dòng)速度和位移的功率譜會(huì)出現(xiàn)奇異點(diǎn)，使速度和位移的方差無界。為此，有許多對(duì)金井清譜的改進(jìn)，稱為改進(jìn)Kanai譜（Clough和Penzien，1983；王君杰，1992；

3、杜修力，1994）。例如，胡聿賢（1962）提出洪峰（1994）證實(shí)這種功率譜與實(shí)際地震記錄計(jì)算得到的功率譜符合得較好。本文采用的PSDF按式（7.2）規(guī)定的形狀。§7.2 強(qiáng)地震動(dòng)記錄的PSDF屈鐵軍（1995）將強(qiáng)震記錄分為三段，每一段均視為一近似平穩(wěn)過程，采用金井清譜分別擬合式（7.1）中的三個(gè)譜參數(shù)g，g和S0，借此考慮地震動(dòng)的非平穩(wěn)性，是一個(gè)可以借鑒的思路，但三段就要有9個(gè)參數(shù)，應(yīng)用中會(huì)很不方便。根據(jù)隨機(jī)振動(dòng)理論（D.E. Newland，1980），可以據(jù)下式計(jì)算一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程樣本的功率譜密度函數(shù) （7.3）式中，R(t) 為自相關(guān)函數(shù)，由下式定義 （7.4）式中，a(

4、t)為各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程的樣本，為時(shí)間延遲。強(qiáng)地震動(dòng)具有明顯的非平穩(wěn)特征，在開始時(shí)幅值總是逐漸增大的，隨后有一個(gè)大體平穩(wěn)的強(qiáng)烈震動(dòng)持續(xù)時(shí)段，然后逐漸減弱，直至振動(dòng)停止。為了表達(dá)上述地震動(dòng)幅值的非平穩(wěn)變化，一個(gè)地震動(dòng)時(shí)程可以用時(shí)程包絡(luò)函數(shù)f(t) 和平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)的乘積來表示 （7.5）當(dāng)f(t)是隨時(shí)間緩慢變化的函數(shù)時(shí)，a(t) 的功率譜密度函數(shù)可以表示為（歐進(jìn)萍，1991；牛狄濤，1994）: （7.6）顯然，將一個(gè)強(qiáng)地震動(dòng)時(shí)程除以f（t），可得到一個(gè)相應(yīng)的近似平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)，進(jìn)而根據(jù)式（7.4）和（7.3）計(jì)算PSDFX。本章選用第2.2節(jié)整理的強(qiáng)地震動(dòng)觀測(cè)數(shù)據(jù)中基巖地表水平記錄

5、82條（峰值加速度20.6-417.8gal），擬合得到一組PSDF的參數(shù)（含時(shí)程包絡(luò)函數(shù)的參數(shù)），建立相應(yīng)的衰減關(guān)系，為抗震設(shè)計(jì)規(guī)范中隨機(jī)振動(dòng)分析方法規(guī)定地震動(dòng)輸入的功率譜提供依據(jù)。§7.3 用基巖地表強(qiáng)震動(dòng)觀測(cè)數(shù)據(jù)擬合PSDF參數(shù)的衰減關(guān)系§7.3.1 時(shí)程包絡(luò)函數(shù)f(t) 的參數(shù)時(shí)間包絡(luò)函數(shù)一般可以取如下的形式（M. Amin，1967）（7.7）式中，t1、t2和c為包絡(luò)參數(shù)，t1、t2分別為強(qiáng)震動(dòng)平穩(wěn)段的起、止時(shí)刻，c 控制下降段的速率。需要注意的是，如果擬合包絡(luò)線的過程中，采用多次“光滑”技術(shù)，可以使包絡(luò)更接近時(shí)程的外包線（霍俊榮，1989），卻有可能帶來使用中

6、對(duì)相當(dāng)一部分時(shí)程的放大。為了避免不必要的夸大、將所有峰值都涵蓋在包絡(luò)線以下，本文取以下三段式時(shí)間包絡(luò)函數(shù) （7.8）式中，t1 和 t2 仍是強(qiáng)震動(dòng)平穩(wěn)段的起、止時(shí)刻，分別由從前向后和從后向前兩個(gè)方向累積能量開始降低為準(zhǔn)則確定，單位為秒；f0為包絡(luò)函數(shù)起始的高度，它是專為早期模擬記錄可能丟頭設(shè)計(jì)的，據(jù)其可以推算相應(yīng)完整記錄的t1，C描述下降段的速率。f0和C 由保證時(shí)程的所有峰值都在包絡(luò)線之下、同時(shí)保持包絡(luò)線最低為準(zhǔn)則確定。圖7.1展示了一個(gè)強(qiáng)地震動(dòng)時(shí)程及其包絡(luò)函數(shù)關(guān)系的一例。每一條記錄除以相應(yīng)的包絡(luò)函數(shù)，可以得出一個(gè)相對(duì)的平穩(wěn)時(shí)程，進(jìn)一步統(tǒng)計(jì)平穩(wěn)時(shí)程的功率譜特征。圖7.1 強(qiáng)地震動(dòng)時(shí)程和包絡(luò)

7、函數(shù)關(guān)系一例上述統(tǒng)計(jì)也可以給式（7.6）中f(t)的參數(shù)取值提供依據(jù)。圖7.2展示了從82個(gè)記錄中擬合的時(shí)程包絡(luò)函數(shù)的t1和C值隨震級(jí)、距離的分布，圖中橫坐標(biāo)是距離（對(duì)數(shù)），縱坐標(biāo)是t1或C的值，符號(hào)“+”表示震級(jí)小于5.5的數(shù)值，“o”表示震級(jí)在5.5-6.5之間的數(shù)值，“”表示震級(jí)大于6.5的數(shù)值。從圖中可以看出，t1隨震級(jí)的變化關(guān)系不明顯，可以確認(rèn)的是震級(jí)小于6.5的范圍內(nèi)，t1均小于6.0，絕大多數(shù)小于4.0；隨距離增大而增大似有兩個(gè)跳躍，震中距小于20 km的范圍內(nèi)t1的值均小于2秒，平均值為1.2秒；震中距20-100 km的范圍內(nèi)，平均值為3.0秒；最大值可達(dá)10秒或10秒以上。

8、C值與震級(jí)無關(guān)，它隨距離的增加緩慢的增加, 平均值約為1.5。圖7.2 從82個(gè)基巖場(chǎng)地記錄中提取到的t1和C值的分布顯然，t1并不是一個(gè)重要的參數(shù)，完全可以簡(jiǎn)單化處理，本文根據(jù)圖中顯示的規(guī)律和以上的歸納，確定了一個(gè)取值的方案，如表7.1。地震動(dòng)平穩(wěn)段的持時(shí)t2 - t1的值十分重要，本文的結(jié)果表明當(dāng)震級(jí)小于5.5時(shí)，一般小于2.0秒，隨震中距的增加略有增加，但不超過3.0秒；震級(jí)在5.5-6.5之間時(shí)，不超過4.0秒；當(dāng)震級(jí)大于6.5秒時(shí)，t2 - t1值顯著增加，平均值達(dá)到了3.1秒，最大值約為11.0秒。出于確保安全、簡(jiǎn)單的考慮，本文建議的t2取值列于表7.2。表7.1 t1的建議取值R

9、<2020R<80R80且M6.5R80且M>6.5t1（秒）2.04.06.08.0表7.2 t2的建議取值 震級(jí)震中距M5.55.5M<6.5 M>6.5R<205.06.08.020R<1007.08.010.0R>10019.0從上述對(duì)式（7.6）的解釋中可以看出，這種偏于保守的處理可能會(huì)帶來非平穩(wěn)時(shí)程某些部分放大不夠，卻可以保證沒有過分的放大，確保原來的強(qiáng)地震動(dòng)平穩(wěn)段起主要作用。§7.3.2 標(biāo)準(zhǔn)化的功率譜密度函數(shù)SX() 的參數(shù)將強(qiáng)震記錄除以它本身的包絡(luò)線后，可得到一近似平穩(wěn)隨機(jī)過程，計(jì)算得出功率譜密度函數(shù)，圖7.3示出一例

10、，按（7.2）式擬合其中4個(gè)參數(shù)，c 是數(shù)值很小的預(yù)設(shè)參數(shù)，圖5中 (a)、(b)、(c)、(d)分別順序給出了從82個(gè)記錄中擬合的S0,g,g和c值的分布，水平軸是震中距(km)，S0 的單位是cm2/sec3,g和c的單位是rad/sec，g無量剛。從中可以看出，S0隨震級(jí)的增加而增加，隨震中距的增加而減??；g隨震中距、震級(jí)的增加均有所減少；g值多在0.4和1.0之間，少數(shù)大于1.0，最大5.7，平均值等于1.0；c與g有相同的變化規(guī)律，所有數(shù)值都小于6.0，平均值在1.0左右。頻率w（Hz ）圖7.3 記錄的功率譜密度函數(shù)圖7.4 從82個(gè)基巖場(chǎng)地記錄中擬合的S0,g,g和c值§

11、;7.3.3 衰減關(guān)系的形式和擬合方法眾所周知，地震動(dòng)是一個(gè)極其復(fù)雜的過程，兩次地震即使同一震級(jí)，引起的地震動(dòng)的衰減都是不同的。本文中，地震動(dòng)參數(shù)取如下衰減關(guān)系（王國新，2000）： (7.9)式中，Y為PSDF的參數(shù)，M為震級(jí)，R為震中距，R0為距離飽和的常數(shù)，C, ,均是待擬合的系數(shù)。對(duì)不同的震級(jí)，上式可以恰當(dāng)?shù)孛枋鼋o定震中距時(shí)Y之間的差別、Y的衰減率的差別。用兩步法擬合上式中的系數(shù)，首先，將Y由下式表達(dá)：式中，Yij是第i次地震中第j個(gè)記錄的地震動(dòng)參數(shù)，Rij 是第i次地震中第j個(gè)記錄的震中距，ai是第i次的系數(shù)，C是回歸系數(shù)，對(duì)第i次地震Ei=1，否則，Ei=0，R0可由最小二乘法得到

12、。在得到ai以后，a與震級(jí)的關(guān)系可由下式通過最小二乘法得到：將式（7.11）代入（7.10），就可得到PSDF參數(shù)的衰減關(guān)系。§7.3.4 S0 和g的衰減關(guān)系通過上述擬合步驟，本文得出如下S0 和g 的衰減關(guān)系 式中，S0 的單位為cm2/sec3, g 和c 的單位是 Hz/2, R 的單位是千米。g和c的衰減關(guān)系沒有進(jìn)一步擬合，主要是由于PSDF對(duì)這兩個(gè)參數(shù)不敏感，且變異的范圍也不大。g可以直接取平均值1.0，c 可以取g的0.04倍。§7.3.5 PSDF參數(shù)衰減關(guān)系的驗(yàn)證為了驗(yàn)證上述衰減關(guān)系的可用性，對(duì)選定的8個(gè)震級(jí)和震中距數(shù)據(jù)對(duì)，分別依上述衰減關(guān)系得到的參數(shù)構(gòu)造

13、PSDF函數(shù)，按式（7.14）換算反應(yīng)譜的最大值Sr和卓越周期g，同時(shí)，根據(jù)王國新（2000）用同樣數(shù)據(jù)集得到的衰減關(guān)系直接估計(jì)EPA、EPV，得到反應(yīng)譜最大值Sr和特征周期，結(jié)果的比較見表7.3。表7.3 兩種方法得到的反應(yīng)譜參數(shù)值的比較震級(jí)5.06.07.08.0震中距 (km)102010501010010100Sr (cm/sec2)24911642580727891267267Sr (cm/sec2)29714459712612001842411595g (rad/s)38.937.822.119.712.59.77.15.4 (rad/s)32.835.021.120.313.59

14、.48.64.5表中，反應(yīng)譜最大值Sr是根據(jù)下式（Kaul，1978；其中取0.05，p 取 0.85），從式（7.2）得到的，按下式換算得來的 （7.14）式中，T為持續(xù)時(shí)間，按前述t2 -t1估計(jì)，為PSDF，其中參數(shù)S0和g的值是據(jù)衰減關(guān)系(7.12)、(7.13)直接算得的，g和c的值按上節(jié)的簡(jiǎn)化方法確定。反應(yīng)譜的最大值Sr按2.5EPA取值，=EPA/EPV?？紤]到相當(dāng)于反應(yīng)譜開始下降的拐角頻率,g比略大是合理的。從上表中，可以看出，兩種方法得到的特征頻率g和很接近，對(duì)5、6級(jí)地震時(shí)，兩種方法得到的反應(yīng)譜最大值大體相當(dāng)，對(duì)7、8級(jí)大震，換算得到的反應(yīng)譜值要小些。兩種結(jié)果的比較涉及非平穩(wěn)激勵(lì)下單自由度體系隨機(jī)振動(dòng)反應(yīng)最大值估計(jì)的問題，很復(fù)雜，本文不討論。§7.4 小結(jié)本章應(yīng)抗震設(shè)計(jì)規(guī)范中抗震驗(yàn)算的功率譜方法的需求，討論了功率譜密度函數(shù)的形式、考慮幅值非平穩(wěn)性的思路；用82條基巖場(chǎng)地實(shí)際強(qiáng)震記錄擬合包絡(luò)曲線，提取時(shí)程包絡(luò)函數(shù)的參數(shù)；逐條記錄計(jì)算相應(yīng)平穩(wěn)隨機(jī)過程的PSDF，擬合標(biāo)準(zhǔn)化譜密度函數(shù)，提取PSDF的參數(shù)。在歸納時(shí)程包絡(luò)函數(shù)參數(shù)、PSDF參數(shù)值隨震級(jí)、距離變化的總體規(guī)律的基礎(chǔ)上，對(duì)時(shí)程包絡(luò)參數(shù)和PSDF參數(shù)g、c建議了簡(jiǎn)化的取值方法，對(duì)S0 和g借助兩步法統(tǒng)計(jì)擬合了一套衰減關(guān)系。為了驗(yàn)證