【課件】人A版（2019）數(shù)學(xué)-必修第二冊-第六章平面向量及其應(yīng)用-§2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算

1、6.2.3 6.2.3 向量的數(shù)乘運(yùn)算向量的數(shù)乘運(yùn)算問題：問題：一只兔子向東一秒鐘的位移對(duì)應(yīng)的向量為一只兔子向東一秒鐘的位移對(duì)應(yīng)的向量為 ，那么它在同一，那么它在同一方向上按照相同的速度行走方向上按照相同的速度行走3 3秒鐘的位移對(duì)應(yīng)的向量怎樣表示？是秒鐘的位移對(duì)應(yīng)的向量怎樣表示？是 嗎？兔子在相反方向上按照相同的速度行走嗎？兔子在相反方向上按照相同的速度行走3 3秒鐘的位移對(duì)應(yīng)的向秒鐘的位移對(duì)應(yīng)的向量又怎樣表示？是量又怎樣表示？是 嗎嗎? ? 請同學(xué)們自己思考請同學(xué)們自己思考. .3a3aa1.通過實(shí)例分析，掌握平面向量數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算法則，理解其幾何意義通過實(shí)例分析，掌握平面向量數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)

2、算法則，理解其幾何意義2.了解平面向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義了解平面向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義3.理解兩個(gè)向量共線的含義理解兩個(gè)向量共線的含義.1.運(yùn)用向量的數(shù)乘運(yùn)算培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力運(yùn)用向量的數(shù)乘運(yùn)算培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,數(shù)乘向量可以判斷幾何中數(shù)乘向量可以判斷幾何中三點(diǎn)共線和兩直線平行等問題，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。三點(diǎn)共線和兩直線平行等問題，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。課標(biāo)要求課標(biāo)要求素養(yǎng)要求素養(yǎng)要求 向量數(shù)乘的定義向量數(shù)乘的定義思考思考1 1：已知非零向量已知非零向量 ，如何求作向量，如何求作向量 和和（ ）（ ） （ ）？）？aaaaaaa提示提示:aaaO OA AB BC

3、 CaO C =uuu raaaaaaN NM MO OP P （ ）（）（ ）（）（ ）aaa思考思考2 2：向量向量 和和(- )+(- )+(- )(- )+(- )+(- )分分別如何簡化其表示形式？別如何簡化其表示形式？aaaaaa提示提示: 記為記為3 3 ，（ ）（）（ ）（）（ ）記為）記為3 3 . .思考思考3 3：向量向量3 3 和和3 3 與向量與向量 的大小和方向有的大小和方向有什么關(guān)系？什么關(guān)系？aaaaaaaO OA AB BC CaaaO OM MN NP P思考思考4 4：設(shè)設(shè) 為非零向量，那么為非零向量，那么 還是向量嗎？它們分別與還是向量嗎？它們分別與向量

4、向量 有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？a2a2a3和-a提示提示:a2a32a-思考思考5 5：一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)與向量與向量 的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘叫做向量的數(shù)乘. .記作記作 ，該向量的長度及方向與向量，該向量的長度及方向與向量 有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？aaa提示提示:（1 1）| |=|=| | |；aa（2 2）00時(shí)時(shí), 與與 方向相同；方向相同； 00時(shí)時(shí), 與與 方向相反；方向相反； =0=0時(shí)時(shí), = .= .aaaaa0【即時(shí)訓(xùn)練即時(shí)訓(xùn)練】C 向量數(shù)乘的運(yùn)算律及共線向量基本定理向量數(shù)乘的運(yùn)算律及共線向量基本定理思考思考1

5、1：你認(rèn)為你認(rèn)為2 2（5 5 ），），2 2 2 2 ， 可分別轉(zhuǎn)化為什么運(yùn)算？可分別轉(zhuǎn)化為什么運(yùn)算？aab（3+2 ） a提示提示:-2-2 (5(5 )= -10)= -10 ；2 2 2 2 = = 2(2( + + ) )； (3(3 ) ) =3 =3 aaabab2aaa.2思考思考2 2：一般地，設(shè)一般地，設(shè)，為實(shí)數(shù)，則為實(shí)數(shù)，則( ) )，() ，( ) )分別等于什么？分別等于什么？aaab= =提示提示:)2( 3 a1( a)()a （ ）B BC CA AD DE E3()abab（ ）提升總結(jié)：提升總結(jié)：向量數(shù)乘的運(yùn)算律向量數(shù)乘的運(yùn)算律1()()aa （）2 ()a

6、aa（）3()abab（ ）思考思考3 3：對(duì)于向量對(duì)于向量 （ ）和）和 ，若存在實(shí)數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使使 ，則向量，則向量 與與 的方向有什么關(guān)系？的方向有什么關(guān)系？aa0babab提示：共線提示：共線思考思考4 4：若向量若向量 （ ）與）與 共線，則一定存在實(shí)共線，則一定存在實(shí)數(shù)數(shù)，使，使 成立嗎？成立嗎？aa0bab提示：一定存在提示：一定存在思考思考5 5：綜上可得向量共線定理：向量綜上可得向量共線定理：向量 （ ）與）與共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使，使 = . . 若若 ，上述定理成立嗎？，上述定理成立嗎？aa0bbaa0提示：不成立提示：不成立【即

7、時(shí)訓(xùn)練即時(shí)訓(xùn)練】B 例例1.1.計(jì)算計(jì)算（1 1）（）（3 3）4 4 ； （2 2）3 3（ ）2 2（ ） ；（3 3）（）（2 2 3 3 ）（）（3 3 2 2 ）. .aababaabcabc【解析解析】 （1）1）原原式式 = (-3= (-34)a = -12a;4)a = -12a;（2）2）原原式式 = 3a + 3b -2a + 2b -a = 5b;= 3a + 3b -2a + 2b -a = 5b;（3）3）原原式式 = 2a + 3b -c -3a + 2b -c= 2a + 3b -c -3a + 2b -c = -a + 5b -2c. = -a + 5b -2

8、c.向量與實(shí)數(shù)之間可以像多項(xiàng)式一樣進(jìn)行運(yùn)算向量與實(shí)數(shù)之間可以像多項(xiàng)式一樣進(jìn)行運(yùn)算. .【變式練習(xí)變式練習(xí)】例例2.2.如圖，如圖，ABCDABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)M M，且，且 = = ， = = ，你能用，你能用 , , 表示表示 ， 嗎？嗎？abrabr 在在平平行行四四形形ABCD中ABCD中， 因 因AC = AB+AD = a+b,AC = AB+AD = a+b, DB = AB-AD = a-b. DB = AB-AD = a-b. 又 又因因平平行行四四形形的的角角互互相相平平，解解: :分分邊為為邊兩條對(duì)線M MA B A B D CD CabrD-

9、11111111所所以以MA = -AC = - (a+b)= -a-b;MA = -AC = - (a+b)= -a-b;2222222211111111MB =B = (a b)=a-b;MB =B = (a b)=a-b;22222222【變式練習(xí)變式練習(xí)】 如圖，在平行四邊形如圖，在平行四邊形ABCDABCD中，點(diǎn)中，點(diǎn)M M是是ABAB的中點(diǎn)，點(diǎn)的中點(diǎn)，點(diǎn)N N在線段在線段BDBD上，且上，且有有BN= BDBN= BD，求證：，求證：M M，N N，C C三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線. .31提示：提示：設(shè)設(shè) ，則則 M C1ab2ABCDMN所以所以M M，N N，C C三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線.

10、. 例例3.3.如圖，已知任意兩個(gè)非零向量如圖，已知任意兩個(gè)非零向量 試作試作 你能判斷你能判斷A A，B B，C C三點(diǎn)之間的三點(diǎn)之間的位置關(guān)系嗎？為什么？位置關(guān)系嗎？為什么？a,b ，OAa b ，OBab OCab 2 ，3 .abO OA AB BC Cbb2b3a分析：分析： A A C C = = 2 2A A B B A A，B B，C C三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線. .【解析解析】分別作向量分別作向量 ，過點(diǎn)，過點(diǎn)A A，C C作直線作直線AC.AC.觀察發(fā)現(xiàn)，不論向量觀察發(fā)現(xiàn)，不論向量 怎樣變化，點(diǎn)怎樣變化，點(diǎn)B B始終在直線始終在直線ACAC上，猜想上，猜想A A，B B，C C三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線. . 事實(shí)上，因?yàn)槭聦?shí)上，因?yàn)镺A OB OC ,AB OB OAa2b(ab)b, =-413a,bbta,abt22例已知是兩個(gè)不共線的向量，向量共線，求實(shí)數(shù) 的值312321,31,231 ,21)2321(23212321,tbaatbttbaatbbaatbbaba共線時(shí)，當(dāng)向量解之得，使得存在實(shí)數(shù)共線與有為非零向量不共線，易知解：由D DA AB B-2-212核心素養(yǎng)核心素養(yǎng)方法總結(jié)方法總結(jié)1. 向量數(shù)乘 的定義.2.向量數(shù)乘的