優(yōu)教通同步備課高中數(shù)學北師大版選修21教案第2章 知識歸納平面向量與空間向量

1、知識歸納：平面向量與空間向量平面向量及其運算一、知識導學.模（長度）：向量的大小，記作。長度為的向量稱為零向量，長度等于個單位長度的向量，叫做單位向量。.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共線向量。.相等向量：長度相等且方向相同的向量。.相反向量：我們把與向量長度相等，方向相反的向量叫做的相反向量。記作。.向量的加法：求兩個向量和的運算。已知，。在平面內任取一點，作，則向量叫做與的和。記作。. 向量的減法：求兩個向量差的運算。已知，。在平面內任取一點，作，則向量叫做與的差。記作。.實數(shù)與向量的積：（）定義： 實數(shù)與向量的積是一個向量，記作，并規(guī)定： 的長度； 當時，的方向與

2、的方向相同； 當時，的方向與的方向相反； 當時， （）實數(shù)與向量的積的運算律：設、為實數(shù)，則 ()() () ().向量共線的充分條件：向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)，使得。另外，設（ ）, ()，則.平面向量基本定理：如果、是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數(shù)、使 ，其中不共線向量、叫做表示這一平面內所有向量的一組基底。.定比分點設，是直線上的兩點，點是不同于，的任意一點則存在一個實數(shù),使，叫做分有向線段所成的比。若點、的坐標分別為(，)，()，（），則有 特別當，即當點是線段的中點時，有.平面向量的數(shù)量積()定義：已知兩個非零向量和，

3、它們的夾角為，則數(shù)量叫做與的數(shù)量積(或內積)，記作，即規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是。()幾何意義：數(shù)量積等于的長度與在的方向上的投影的乘積。()性質：設，都是非零向量，是與方向相同的單位向量，是與的夾角，則， 當與同向時， 當與反向時， 特別地，或 ()運算律： (交換律) ()()()（）平面向量垂直的坐標表示的充要條件：設（ ）, ()，則 .平移公式：設（，）是圖形上的任意一點，它在平移后圖形上對應點為（，），且設的坐標為（，），則由，得：（，）（，）（，）二、疑難知識導析向量的概念的理解，尤其是特殊向量“零向量”向量是既有大小，又有方向的量向量的模是正數(shù)或，是可以進行大小比較的，由

4、于方向不能比較大小，所以向量是不能比大小的兩個向量的模相等，方向相同，我們稱這兩個向量相等，兩個零向量是相等的，零向量與任何向量平行，與任何向量都是共線向量；在運用三角形法則和平行四邊形法則求向量的加減法時要注意起點和終點；對于坐標形式給出的兩個向量，在運用平行與垂直的充要條件時，一定要區(qū)分好兩個公式，切不可混淆。因此，建議在記憶時對比記憶；定比分點公式中則要記清哪個點是分點；還有就是此公式中橫坐標和縱坐標是分開計算的；平移公式中首先要知道這個公式是點的平移公式，故在使用的過程中須將起始點的坐標給出，同時注意順序。三、經(jīng)典例題導講例 和 (,)平行的單位向量是；錯解：因為的模等于，所以與平行的

5、單位向量就是，即 (，)錯因：在求解平行向量時沒有考慮到方向相反的情況。正解：因為的模等于，所以與平行的單位向量是，即(，)或(，)點評：平行的情況有方向相同和方向相反兩種。讀者可以自己再求解“和 (,)垂直的單位向量”，結果也應該是兩個。例已知（，），（，），（，），若、是平行四邊形的三個頂點，求第四個頂點的坐標。錯解：設的坐標為（，），則有， ，即，。故所求的坐標為（，）。錯因：思維定勢。習慣上，我們認為平行四邊形的四個頂點是按照的順序。其實，在這個題目中，根本就沒有指出四邊形。因此，還需要分類討論。正解：設的坐標為（，）當四邊形為平行四邊形時，有， ，即 ， 。解得的坐標為（，）；當四邊

6、形為平行四邊形時，有（）， ，即 ， 。解得的坐標為（，）；當四邊形為平行四邊形時，有， ，即 ， 。解得的坐標為（，）。故第四個頂點的坐標為（，）或（，）或（，）。例已知()，（，），若點在直線上，且滿足，求點的坐標。錯解：由得，點 分所成的比為，代入定比分點坐標公式得（）錯因：對于這個等式，它所包含的不僅是點為 ， 的內分點這一種情況，還有點是 ，的外分點。故須分情況討論。正解：當點為 ， 的內分點時， 分所成的比為，此時解得（）； 當點為 ， 的外分點時， 分所成的比為，此時解得（，）。 則所求點的坐標為（）或（，）。點評：在運用定比分點坐標公式時，要審清題意，注意內外分點的情況。也就是

7、分類討論的數(shù)學思想。例 設向量 ，則“”是“”的 .充分不必要條件 .必要不充分條件 .充要條件 .既不充分也不必要條件分析：根據(jù)向量的坐標運算和充要條件的意義進行演算即可解：若，則，代入坐標得：，即且 消去，得；反之，若，則且，即 則， 故“”是“ ”的充要條件答案：點評：本題意在鞏固向量平行的坐標表示例已知（，），（，），（，），求實數(shù)、，使 分析：根據(jù)向量坐標運算和待定系數(shù)法，用方程思想求解即可解：由題意有 又 （，） 且 解之得 且點評：在向量的坐標運算中經(jīng)常要用到解方程的方法例已知（，），（，）， ， ，求點、和向量的坐標分析：待定系數(shù)法設定點、的坐標，再根據(jù)向量 ， 和 關系進行坐

8、標運算，用方程思想解之解：設、的坐標為、，由題意得 又 ， 即 ()() ， ()() 且，且 且 ，且 點、和向量 的坐標分別為（，）、（，）和（，）小結：本題涉及到方程思想，對運算能力要求較高四、典型習題導練 . ，則有（ ）.（年高考浙江卷）設向量滿足,則 . 將函數(shù) 的圖象按向量平移到，的函數(shù)表達式為 ，則向量 . 從點沿向量方向取線段，使，則點坐標為 . 、是單位向量，的夾角為，以、為鄰邊作平行四邊形。求平行四邊形對角線的長。.（年高考遼寧卷）已知的三內角所對邊的長分別為設向量,若,則角的大小為平面向量與代數(shù)、幾何的綜合應用一、知識導學.余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方

9、的和，減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的倍,即.正弦定理 在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，并且都等于外接圓的直徑，即 二、疑難知識導析 初中學過的勾股定理只是余弦定理的一種特殊情況。如當時，此時有； 由于本節(jié)內容與代數(shù)、幾何聯(lián)系比較緊，故讀者需對解斜三角形、解析幾何中的圓錐曲線等知識非常熟悉方可。三 經(jīng)典例題導講例在中，已知，則角為() 或錯解：選錯因：公式記不牢，誤將余弦定理中的“減”記作“加”。正解：() 選.例在中，已知，試判別其形狀。錯解：等腰三角形。錯因：忽視了兩角互補，正弦值也相等的情形。直接由得，即，則。接著下結論，所求三角形為等腰三角形正解：由得，即 則或，故三角形

10、為直角三角形或等腰三角形。例在中，試求周長的最大值。并判斷此時三角形的形狀。錯解：由于題目中出現(xiàn)了角和對邊，故使用余弦定理，進一步想使用不等式或二次函數(shù)求最值錯因：其實這種思路從表面上看是可行的，實際上處理過程中回遇到無法進行下去的困難。正解：由正弦定理,得(), (). 當時,三角形周長最大,最大值為. 此時三角形為等腰三角形 例在中，其內切圓面積為，求面積。分析：題中涉及到內切圓，而內切圓直接與正弦定理聯(lián)系起來了，同時正弦定理和余弦定理又由邊聯(lián)系起來了。解：由已知,得內切圓半徑為. 由余弦定理,得三角形三邊分別為.例已知定點()與定直線,點在上移動,點在線段上,且分的比為,求點的軌跡方程.

11、分析:向量的坐標為用“數(shù)”的運算處理“形”的問題搭起了橋梁,形成了代數(shù)與幾何聯(lián)系的新紐帶 .解:設()()()(),由題知由于,化簡得的軌跡方程為例過拋物線()頂點作兩條互相垂直的弦、(如圖),求證:直線過一定點,并求出這一定點.分析: 對于向量()(),有.可以用來處理解析幾何中的三點共線與兩直線平行問題.證明:由題意知可設點坐標為()點坐標為() 設直線過點(),則()(),由于向量與是共線向量,（）() ()() 化簡得()() 顯然當時等式對任意的成立直線過定點,且定點坐標為() 四 習題導練已知銳角三角形的邊長分別為，則第三邊的取值范圍是（ ）三頂點，則的面積為 。中，若邊：()：，

12、則內角 。某人在點測得塔頂在南偏西，仰角為，此人沿南偏東方向前進米到，測得塔頂仰角為，則塔高。在中，已知，解三角形并判斷三角形的形狀。 在中，已知，判定是什么三角形。空間向量及其運算一、知識導學 空間直角坐標系：（）若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為，這個基底叫單位正交基底，用表示；（）在空間選定一點和一個單位正交基底，以點為原點，分別以的方向為正方向建立三條數(shù)軸：軸、軸、軸，它們都叫坐標軸我們稱建立了一個空間直角坐標系，點叫原點，向量 都叫坐標向量通過每兩個坐標軸的平面叫坐標平面，分別稱為平面，平面，平面；空間直角坐標系中的坐標： 在空間直角坐標系中，對空間任一點，存在唯一的有序實

13、數(shù)組，使，有序實數(shù)組叫作向量在空間直角坐標系中的坐標，記作，叫橫坐標，叫縱坐標，叫豎坐標空間向量的直角坐標運算律：（）若，則，（）若，則一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標 模長公式：若， 則夾角公式：兩點間的距離公式：若，則二、疑難知識導學、對于這部分的一些知識點，讀者可以對照平面向量的知識，看哪些知識可以直接推廣，哪些需要作修改，哪些不能用的，稍作整理，以便于記憶；、空間向量作為新加入的內容，在處理空間問題中具有相當?shù)膬?yōu)越性，比原來處理空間問題的方法更有靈活性，所以本節(jié)的學習難點在于掌握應用空間向量的常用技巧與方法，特別是體會其中的轉化的思想方法

14、如把立體幾何中的線面關系問題及求角求距離問題轉化為用向量解決，如何取向量或建立空間坐標系，找到所論證的平行垂直等關系，所求的角和距離用向量怎樣來表達是問題的關鍵、向量運算的主要應用在于如下幾個方面：()判斷空間兩條直線平行(共線)或垂直；()求空間兩點間的距離；()求兩條異面直線所成的角. 、本節(jié)內容對于立體幾何的應用，讀者需自行復習，這里不再贅述。三、例題導講例下列所表示的空間直角坐標系的直觀圖中，不正確的是（）錯解：、中任選一個錯因：對于空間直角坐標系的表示不清楚。有共同的原點，且兩兩垂直的三條數(shù)軸，只要符合右手系的規(guī)定，就可以作為空間直角坐標系正解：易知()不符合右手系的規(guī)定，應選()例

15、已知點(，)，點(，)，在、軸上分別取點、，使它們與、兩點等距離錯因：對于坐標軸上點的坐標特征不明；使用方程解題的思想意識不夠。分析：設軸上的點的坐標為(，)，由題意可得關于的一元方程，從而解得的值類似可求得點、的坐標解：設、的坐標分別為(，)、(，)、(，)由題意，得()()，分別解得，故評注：空間兩點的距離公式是平面內兩點的距離公式的推廣：若點、的坐標分別為(，)、(，)，則、的距離為 必須熟練掌握這個公式例設，且，記，求與軸正方向的夾角的余弦值錯解：取軸上的任一向量，設所求夾角為，即余弦值為錯因：審題不清。沒有看清“軸正方向”，并不是軸正解：取軸正方向的任一向量，設所求夾角為，即為所求例在中，已知(),()，則解： 例已知空間三點()()(,)，求以向量為一組鄰邊的平行四邊形的面積；若向量分別與向量垂直，且，求向量的坐標分析：設()，則解得或，()或(，).例已知正方體的棱長為，是的中點，是對角線的中點，求