二項(xiàng)式定理練習(xí)題(共6頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) 1 10 0.3.3 二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理 【考綱要求】【考綱要求】 1 1、能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理. . 2 2、會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題. . 【基礎(chǔ)知識(shí)】【基礎(chǔ)知識(shí)】 1 1、二項(xiàng)式定理：二項(xiàng)式定理：nnnrrnrnnnnnnnnbCbaCbaCbaCaCba222110)( 二項(xiàng)式的展開式有二項(xiàng)式的展開式有1n項(xiàng)，而不是項(xiàng)，而不是n項(xiàng)。項(xiàng)。 2 2、二項(xiàng)式通項(xiàng)公式：二項(xiàng)式通項(xiàng)公式：rrnrnrbaCT1 （0,1,2,rn） （1 1）它表示的是二

2、項(xiàng)式的展開式的第）它表示的是二項(xiàng)式的展開式的第1r 項(xiàng)，而不是第項(xiàng)，而不是第r項(xiàng)項(xiàng) （2 2）其中）其中rnC叫二項(xiàng)式展開式第叫二項(xiàng)式展開式第1r 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，而二項(xiàng)式展開式第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，而二項(xiàng)式展開式第1r 項(xiàng)的項(xiàng)的系數(shù)是字母冪前的常數(shù)。系數(shù)是字母冪前的常數(shù)。 （3 3）注意）注意0,1,2,rn 3 3、二項(xiàng)式展開式二項(xiàng)式展開式的的二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) （1 1）對(duì)稱性：在）對(duì)稱性：在二項(xiàng)展開式中，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等。即二項(xiàng)展開式中，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等。即mnC= =mnnC （2 2）增減性和最大值：在二項(xiàng)式的展開式中，

3、二項(xiàng)式系數(shù)先增后減，且在中間取得最）增減性和最大值：在二項(xiàng)式的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)先增后減，且在中間取得最大值，大值， 如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)， 中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大； 如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)， 中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大； 如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大。數(shù)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大。 （3 3）所有二項(xiàng)式系數(shù)的和等于）所有二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n，即，即nnnnnnnnnnCCCCCC212210 奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和相等，即式系數(shù)和相等，即15314202nnnnnnnCCC

4、CCC 4.4.二項(xiàng)展開式的系數(shù)二項(xiàng)展開式的系數(shù)0123,na a a aa的性質(zhì)的性質(zhì)： 對(duì)于對(duì)于2012( )nnf xaa xa xa x0123(1)naaaaaf，0123( 1)( 1)nnaaaaaf 5 5、證明組合恒等式常用賦值法。、證明組合恒等式常用賦值法。 【例題精講】【例題精講】 例例 1 1 若若,.)21 (2004200422102004Rxxaxaxaax求（求（10aa ）+ +（20aa ）+ + +（20040aa ） 解：對(duì)于式子：解：對(duì)于式子：,.)21 (2004200422102004Rxxaxaxaax 令令 x=0 x=0，便得到：，便得到：0

5、a=1=1 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) 令令 x=1x=1，得到，得到2004210.aaaa=1=1 又原式：（又原式：（10aa ）+ +（20aa ）+ + +（20040aa ） = =).(2003).(2004200421002004210aaaaaaaaa 原式原式：（：（10aa ）+ +（20aa ）+ + +（20040aa ）=2004=2004 例例 2 2. . 已知二項(xiàng)式已知二項(xiàng)式nxx)2(2，（，（n nN N*）的展開式中第）的展開式中第 5 5 項(xiàng)的系數(shù)與第項(xiàng)的系數(shù)與第 3 3 項(xiàng)的系數(shù)的項(xiàng)的系數(shù)的 比是比是 1010：1 1， （1 1）

6、求展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和）求展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和 （2 2）求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)以及二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)）求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)以及二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng) 解：（解：（1 1）第）第 5 5 項(xiàng)的系數(shù)與第項(xiàng)的系數(shù)與第 3 3 項(xiàng)的系數(shù)的比是項(xiàng)的系數(shù)的比是 1010：1 1， 110)2()2(2244CCnn，解得，解得 n=8n=8 令令 x=1x=1 得到展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為得到展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為(1(1- -2)2)8=1=1 (2) (2) 展開式中第展開式中第 r r 項(xiàng)項(xiàng), , 第第 r+1r+1 項(xiàng)項(xiàng), ,第第 r+2r+2 項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值分別為項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值分別為rnrC218

7、, ,rrC28, ,1182rrC, , 若第若第 r+1r+1 項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值最大項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值最大, ,則必須滿足：則必須滿足： rnrC218rrC28 并且并且1182rrC rrC28，解得，解得 5 5r r6 6； 所以系數(shù)所以系數(shù)最大的項(xiàng)為最大的項(xiàng)為 T T7=1792=1792111x；二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為；二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為 T T5=1120=112061x 1 10 0.3.3 二項(xiàng)式定理強(qiáng)化訓(xùn)練二項(xiàng)式定理強(qiáng)化訓(xùn)練 【基礎(chǔ)精練】【基礎(chǔ)精練】 1 1在二項(xiàng)式在二項(xiàng)式( (x x2 21 1x x) )5 5的展開式中，含的展開式中，含x x4 4的項(xiàng)的系數(shù)是的項(xiàng)的系數(shù)

8、是 ( ( ) ) A A1010 B B1010 C C5 5 D D5 5 2 2(2009(2009北京高考北京高考) )若若(1(12 2) )5 5a ab b2 2( (a a，b b為有理數(shù)為有理數(shù)) )，則，則a ab b ( ( ) ) A A45 45 B B5555 C C70 70 D D8080 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) 3 3在在( ( 1 1x x 5 51 1x x3 3) )n n的展開式中，所有奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和為的展開式中，所有奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和為 1 0241 024，則中間項(xiàng)系數(shù)，則中間項(xiàng)系數(shù)是是 ( ( ) ) A A330 330

9、B B462462 C C682 682 D D792792 4 4如果如果 3 3x x2 22 2x x3 3n n的展開式中含有非零常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)的展開式中含有非零常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)n n的最小值為的最小值為 ( ( ) ) A A10 10 B B6 6 C C5 5 D D3 3 5 5 在 在 2 2x xy y2 25 5的展開式中， 系數(shù)大于的展開式中， 系數(shù)大于1 1的項(xiàng)共有的項(xiàng)共有 ( ( ) ) A A3 3 項(xiàng)項(xiàng) B B4 4 項(xiàng)項(xiàng) C C5 5 項(xiàng)項(xiàng) D D6 6 項(xiàng)項(xiàng) 6 6二項(xiàng)式二項(xiàng)式41(1)nx 的展開式中，系的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是數(shù)最大的項(xiàng)是 ( ( )

10、 ) A A第第 2 2n n1 1 項(xiàng)項(xiàng) B B第第 2 2n n2 2 項(xiàng)項(xiàng) C C第第 2 2n n項(xiàng)項(xiàng) D D第第 2 2n n1 1 項(xiàng)和第項(xiàng)和第 2 2n n2 2 項(xiàng)項(xiàng) 7 7若若( (x x2 21 1x x3 3) )n n展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為 3232，則其展開式中的常數(shù)項(xiàng)是，則其展開式中的常數(shù)項(xiàng)是_ 8 8（ x x2 2x x2 2) )5 5的展開式中的展開式中x x2 2的系數(shù)是的系數(shù)是_； 其展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為； 其展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為_ ( (用用 數(shù)字作答數(shù)字作答) ) 9 9若若 2 2x x2 22 29 9的展開式的第的展開

11、式的第 7 7 項(xiàng)為項(xiàng)為21214 4，則，則x x_._. 1 10 0已知已知( (x x1 12 24 4x x) )n n的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)的的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值依次成等差數(shù)列絕對(duì)值依次成等差數(shù)列 (1)(1)證明：展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)；證明：展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)； (2)(2)求展開式中所有有理項(xiàng)求展開式中所有有理項(xiàng) 1 11 1設(shè)設(shè)(2(2x x1)1)5 5a a0 0a a1 1x xa a2 2x x2 2a a5 5x x5 5，求求： (1)(1)a a0 0a a1 1a a2 2a a3 3a a4 4； (2)|(2)|a a0 0| | |a a1 1|

12、 | |a a2 2| | |a a3 3| | |a a4 4| | |a a5 5| |； (3)(3)a a1 1a a3 3a a5 5； 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) (4)(4)(a a0 0a a2 2a a4 4) )2 2( (a a1 1a a3 3a a5 5) )2 2. . 【拓展提高】【拓展提高】 1 1在在(3(3x x2 2y y) )2020的展開式中，求：的展開式中，求： (1)(1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)； (2)(2)系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)；系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)； (3)(3)系數(shù)最大的項(xiàng)系數(shù)最大的項(xiàng) 【基礎(chǔ)精練參考答案】【基礎(chǔ)

13、精練參考答案】 1.B1.B【解析解析】：T Tk k1 1C Ck k5 5x x2(52(5k k) )( (x x1 1) )k k( (1)1)k kC Ck k5 5x x10103 3k k( (k k0,10,1，5)5)，由，由 10103 3k k4 4得得k k2.2.含含x x4 4的項(xiàng)為的項(xiàng)為T T3 3，其系數(shù)為，其系數(shù)為 C C2 25 510.10. 2.C2.C【解析解析】：由二項(xiàng)式定理得：由二項(xiàng)式定理得： (1(12 2) )5 51 1C C1 15 52 2C C2 25 5( (2 2) )2 2C C3 35 5( (2 2) )3 3C C4 45

14、5( (2 2) )4 4C C5 55 5(2 2) )5 51 15 52 2202020202 22020 4 42 2414129292 2， a a4141，b b2929，a ab b70.70. 3.B3.B【解析解析】：二項(xiàng)式的展開式的所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為二項(xiàng)式的展開式的所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為 2 2n n，而所有偶數(shù)項(xiàng)，而所有偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和相等由題意得，的二項(xiàng)式系數(shù)和與所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和相等由題意得，2 2n n1 11 0241 024，n n1111，展開式共有展開式共有 1212 項(xiàng)，中間項(xiàng)為第六項(xiàng)、第七項(xiàng)，系數(shù)為項(xiàng)，中間項(xiàng)為第六

15、項(xiàng)、第七項(xiàng)，系數(shù)為 C C5 51111C C6 61111462.462. 4.C4.C【解析解析】：T Tk k1 1C Ck kn n(3(3x x2 2) )n nk k 2 2x x3 3k k ( (1)1)k kCCk kn n3 3n nk k22k kx x2 2n n5 5k k， 由題意知由題意知 2 2n n5 5k k0 0，即，即n n5 5k k2 2，n nNN* *， k kNN， n n的最小值為的最小值為 5.5. 5.B5.B【解析解析】： 2 2x xy y2 25 5的展開式共有的展開式共有 6 6 項(xiàng)，其中項(xiàng)，其中 3 3 項(xiàng)項(xiàng)( (奇數(shù)項(xiàng)奇數(shù)項(xiàng))

16、 )的系數(shù)為正，大于的系數(shù)為正，大于1 1；第六項(xiàng)的系數(shù)為；第六項(xiàng)的系數(shù)為 C C5 55 52 20 0 1 12 25 51 1，故系數(shù)大于，故系數(shù)大于1 1 的項(xiàng)共有的項(xiàng)共有 4 4 項(xiàng)項(xiàng) 6.A6.A【解析解析】：由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式：由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式T Tk k1 141knC ( (x x) )k k( (1)1)k k41knC x xk k，可，可知系數(shù)為知系數(shù)為( (1)1)k k41knC ，與二項(xiàng)式系數(shù)只有符號(hào)之差，故先找中間項(xiàng)為第，與二項(xiàng)式系數(shù)只有符號(hào)之差，故先找中間項(xiàng)為第 2 2n n1 1 項(xiàng)和項(xiàng)和精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) 第第 2 2n

17、 n2 2 項(xiàng)， 又由第項(xiàng)， 又由第 2 2n n1 1 項(xiàng)系數(shù)為項(xiàng)系數(shù)為( (1)1)2 2n n41knC 41knC ， 第， 第 2 2n n2 2 項(xiàng)系數(shù)為項(xiàng)系數(shù)為( (1)1)2 2n n1 12141nnC 2141nnC 0 0，故系數(shù)最大項(xiàng)為第，故系數(shù)最大項(xiàng)為第 2 2n n1 1 項(xiàng)項(xiàng) 7.107.10【解析解析】：展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為：展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為 S SC C0 0n nC C1 1n nC Cn nn n2 2n n3232，n n5 5. . T Tk k1 15kC 52kx ( (1 1x x3 3) )k k5kC 1023kkx5kC 105kx

18、， 展開式中的常數(shù)項(xiàng)為展開式中的常數(shù)項(xiàng)為T T3 3C C2 25 510.10. 8.8. 1010 253253【解析解析】：T Tk k1 1C Ck k5 5x x5 5k k(2 2x x2 2) )k kC Ck k5 5x x5 53 3k k22k k， 由由 5 53 3k k2 2，k k1 1，x x2 2的系數(shù)為的系數(shù)為 10.10. 令令x x1 1 得系數(shù)和為得系數(shù)和為 3 35 5243.243. 9.9. 1 13 3【解析解析】：由：由T T7 7C C6 69 92 23 3x x 2 22 26 621214 4， x x1 13 3. . 10.10.【

19、解解析】析】依題意，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值是依題意，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值是 1 1，C C1 1n n( (1 12 2) )，C C2 2n n( (1 12 2) )2 2， 且且 2C2C1 1n n1 12 21 1C C2 2n n( (1 12 2) )2 2， 即即n n2 29 9n n8 80 0，n n8(8(n n1 1 舍去舍去) )， 展開式的第展開式的第k k1 1 項(xiàng)為項(xiàng)為 C Ck k8 8( (x x) )8 8k k( (1 12 24 4x x) )k k ( (1 12 2) )k kC Ck k8 8x x8 8k k2 2x xk k4 4( (1)1)k

20、 kC Ck k8 82 2k kx x16163 3k k4 4. . (1)(1)證明：若第證明：若第k k1 1 項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)， 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)16163 3k k4 40 0，即，即 3 3k k1616， k kZZ，這不可能這不可能，展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)展開式中沒有常數(shù)項(xiàng) (2)(2)若第若第k k1 1 項(xiàng)為有理項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)項(xiàng)為有理項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)16163 3k k4 4為整數(shù)，為整數(shù)， 00k k88，k kZZ，k k0,4,80,4,8， 即展開式中的有理項(xiàng)共有三項(xiàng)，它們是：即展開式中的有理項(xiàng)共有三項(xiàng)，它們是： T T1 1x x4 4，T T5 535358 8x x，T T9 91 1256256x x2 2. . 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) 11.11.【解解析】析】設(shè)設(shè)f f( (x x) )(2(2x x1)1)5 5a a0 0a a1 1x xa a2 2x x2 2a a5 5x x5 5， 則則f f(1)(1)a a0 0a a1 1a a2 2a a5 51 1， f f( (1)1)a a0 0a a1 1a a2 2a a3 3a a4 4a a5 5( (3)3)5 5243.243. (1)(1)a a5 52 25 53232， a a0 0a a1 1a a2 2a a3 3a a4