全等幾何模型講解[1]

1、常見(jiàn)的幾何模型一、旋轉(zhuǎn)主要分四大類：繞點(diǎn)、空翻、弦圖、半角。這四類旋轉(zhuǎn)的分類似于平行四邊形、矩形、菱形、正方形的分類。1.繞點(diǎn)型（手拉手模型）（1）自旋轉(zhuǎn)：例題講解：1. 如圖所示，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，PA=2，PB=，PC=4，求ABC的邊長(zhǎng)。2. 如圖，O是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，已知：AOB=115°，BOC=125°，則以線段OA、OB、OC為邊構(gòu)成三角形的各角度數(shù)是多少？3.如圖，P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足PA：PD：PC=1：2：3，則APD= . 4.如圖（2-1）：P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P到正方形的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為PA=

2、1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD面積。（2）共旋轉(zhuǎn)（典型的手拉手模型）模型變形：例題講解： 1. 已知ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為直線BC上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B,C重合），以AD為邊作菱形ADEF(按A,D,E,F逆時(shí)針排列），使DAF=60°,連接CF.(1) 如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，求證： BD=CF  AC=CF+CD.(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上且其他條件不變時(shí)，結(jié)論AC=CF+CD是否成立？若不成立，請(qǐng)寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；  (3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上且其他條

3、件不變時(shí)，補(bǔ)全圖形，并直接寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系。2.（13北京中考）在ABC中，AB=AC，BAC=（），將線段BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BD。（1）如圖1，直接寫出ABD的大?。ㄓ煤氖阶颖硎荆唬?）如圖2，BCE=150°，ABE=60°，判斷ABE的形狀并加以證明；（3）在（2）的條件下，連結(jié)DE，若DEC=45°，求的值。2.半角模型說(shuō)明：旋轉(zhuǎn)半角的特征是相鄰等線段所成角含一個(gè)二分之一角，通過(guò)旋轉(zhuǎn)將另外兩個(gè)和為二分之一的角拼接在一起，成對(duì)稱全等。例題：1.在等腰直角ABCD的斜邊上取兩點(diǎn)M,N,使得,記AM=m,MN=

4、x,BN=n，求證以m，x，n為邊長(zhǎng)的三角形為直角三角形。2.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，AB,AD上各存在一點(diǎn)P、Q，若APQ的周長(zhǎng)為2，求的度數(shù)。3.、分別是正方形的邊、上的點(diǎn)，且，為垂足，求證：4. 已知，正方形ABCD中，MAN=45°，MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M、N，AHMN于點(diǎn)H（1）如圖，當(dāng)MAN點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí)，請(qǐng)你直接寫出AH與AB的數(shù)量關(guān)系：AH=AB；（2）如圖，當(dāng)MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BMDN時(shí)，（1）中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請(qǐng)寫出理由，如果成立請(qǐng)證明；（3）如圖，已知MAN=45&#

5、176;，AHMN于點(diǎn)H，且MH=2，NH=3，求AH的長(zhǎng)（可利用（2）得到的結(jié)論）5.已知：正方形ABCD中，MAN=45°，MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB，DC(或它們的延長(zhǎng)線)于點(diǎn)M，N當(dāng)MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí)(如圖1)，易證BM+DN=MN(1)當(dāng)MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BMDN時(shí)(如圖2)，線段BM，DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?寫出猜想，并加以證明(2)當(dāng)MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段BM，DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)直接寫出你的猜想6.(14房山2模). 邊長(zhǎng)為2的正方形的兩頂點(diǎn)、分別在正方形EFGH的兩邊、上(如圖1)，現(xiàn)將正方形繞點(diǎn)順

6、時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)第一次落在上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，邊交于點(diǎn)，邊交于點(diǎn).（1）求邊在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的面積；（2）旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)和平行時(shí)(如圖2)，求正方形旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；（3）如圖3，設(shè)的周長(zhǎng)為，在旋轉(zhuǎn)正方形的過(guò)程中，值是否有變化？請(qǐng)證明你的結(jié)論.7. (2011石景山一模)已知：如圖，正方形ABCD中，AC，BD為對(duì)角線，將BAC繞頂點(diǎn)A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)°（045），旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別交BD于點(diǎn)P、點(diǎn)Q，交BC，CD于點(diǎn)E、點(diǎn)F，連接EF，EQ（1）在BAC的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，AEQ的大小是否改變？若不變寫出它的度數(shù)；若改變，寫出它的變化范圍（直接在答題卡上寫出結(jié)果，不必證明）；（2）探究APQ

7、與AEF的面積的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論并加以證明8已知在中，于，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在線段上，是的中點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn).（1）如圖1，若點(diǎn)在線段上，請(qǐng)分別寫出線段和之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系：_，_；（2）在（1）的條件下，當(dāng)點(diǎn)在線段上，且時(shí)，求證：；（3）當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，在線段上是否存在點(diǎn)，使得若存在，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由圖1備用圖9.(2014平谷一模24)（1）如圖1，點(diǎn)E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD上的點(diǎn)，EAF=45°，連接EF，則EF、BE、FD之間的數(shù)量關(guān)系是：EF=BE+FD連結(jié)BD，交AE、AF于點(diǎn)M、N，且MN、BM、DN滿足，請(qǐng)證明這個(gè)

8、等量關(guān)系；（2）在ABC中， AB=AC，點(diǎn)D、E分別為BC邊上的兩點(diǎn)如圖2，當(dāng)BAC=60°，DAE=30°時(shí)，BD、DE、EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系是如圖3，當(dāng)BAC=，(0°<<90°)，DAE=時(shí)，BD、DE、EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系是_【參考：】注意：(1) 在正方形ABCD中，AB=AD，BAD=90°，ABM=ADN=45° 把ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到連結(jié)則, EAF=45°，BAM+DAN=45°, DAM+DAF=45°, =MN在中，,（2） ； 3.空翻模型例題：

9、1.如圖，點(diǎn)為正三角形的邊所在直線上的任意一點(diǎn)(點(diǎn)除外)，作，射線與外角的平分線交于點(diǎn)，與有怎樣的數(shù)量關(guān)系?【解析】 猜測(cè).過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，又，而，2.如圖，點(diǎn)為正方形的邊上任意一點(diǎn)，且與外角的平分線交于點(diǎn)，與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【解析】 猜測(cè).在上截取，3.【探究發(fā)現(xiàn)】如圖，是等邊三角形，EF交等邊三角形外角平分線CF所在的直線于點(diǎn)F當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時(shí)，有AE=EF成立；【數(shù)學(xué)思考】某數(shù)學(xué)興趣小組在探究AE、EF的關(guān)系時(shí)，運(yùn)用“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想，通過(guò)驗(yàn)證得出如下結(jié)論：當(dāng)點(diǎn)E是直線BC上（B,C除外）任意一點(diǎn)時(shí)(其它條件不變)，結(jié)論AE=EF仍然成立假如你是該興趣小組中的一員，請(qǐng)你從“點(diǎn)

10、E是線段BC上的任意一點(diǎn)”；“點(diǎn)是線段BC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)”；“ 點(diǎn)是線段BC反向延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)”三種情況中，任選一種情況，在備用圖1中畫出圖形，并進(jìn)行證明【拓展應(yīng)用】當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，若CE = BC，在備用圖2中畫出圖形，并運(yùn)用上述結(jié)論求出的值4.弦圖模型外弦圖 內(nèi)弦圖 總統(tǒng)圖例題：1.兩個(gè)全等的30°，60°三角板ADE,BAC,如右下圖所示擺放，E、A、C在一條直線上，連接BD,取BD的 中點(diǎn)M，連接ME，MC（1）求證：EDMCAM；（2）求證：EMC為等腰直角三角形2.如圖ABC中，已知A=90°，AB=AC,(1)D為AC中點(diǎn)，AE

11、BD于E,延長(zhǎng)AE交BC于F,求證：ADB=CDF(2)若D，M為AC上的三等分點(diǎn)，如圖2，連BD，過(guò)A作AEBD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連MF，判斷ADB與CMF的大小關(guān)系并證明3.(14朝陽(yáng)二模) 已知ABC=90°，D是直線AB上的點(diǎn)，AD=BC（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)A作AFAB，并截取AF=BD，連接DC、DF、CF，判斷CDF的形狀并證明；（2）如圖2，E是直線BC上的一點(diǎn)，直線AE、CD相交于點(diǎn)P，且APD=45°，求證BD=CE圖2圖1二、對(duì)稱全等模型下圖依次是450、300、22.50、150及有一個(gè)角是300直角三角形的對(duì)稱（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角

12、形、等邊三角形、對(duì)稱全等。例題：1. 如圖1，在ABC中，已知BAC=45°，ADBC于D，BD=2，DC=3，求AD的長(zhǎng)小萍同學(xué)靈活運(yùn)用軸對(duì)稱知識(shí)，將圖形進(jìn)行翻折變換如圖1她分別以AB、AC為對(duì)稱軸，畫出ABD、ACD的軸對(duì)稱圖形，D點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為E、F，延長(zhǎng)EB、FC相交于G點(diǎn)，得到四邊形AEGF是正方形設(shè)AD=x，利用勾股定理，建立關(guān)于x的方程模型，求出x的值參考小萍的思路，探究并解答新問(wèn)題：如圖2，在ABC中，BAC=30°，ADBC于D，AD=4請(qǐng)你按照小萍的方法畫圖，得到四邊形AEGF，求BGC的周長(zhǎng)（畫圖所用字母與圖1中的字母對(duì)應(yīng)）2. 問(wèn)題：已知ABC中，BAC=2ACB，點(diǎn)D是ABC內(nèi)一點(diǎn)，且AD=CD，BD=BA.探究DBC與ABC度數(shù)的比值.請(qǐng)你完成下列探究過(guò)程：先將圖形特殊化，得出