小學(xué)奧數(shù)之第31講圖形變換

1、第31講 圖形變換內(nèi)容概述 本講將涉及到圖形的對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ)及其他等積變換,下面我們就汶些變換的預(yù)備知識(shí)及變換本身進(jìn)行學(xué)習(xí)和探討 1.三角形ABC與,如果它們的對(duì)應(yīng)邊成比例,即,我們就稱它們相似，記作ABC. 這個(gè)比值K叫做兩個(gè)三角形的相似系數(shù)(注意三角形的先后順序),如果相似系數(shù)為1，就稱這兩個(gè)三角形全等,記作ABC. 如果一個(gè)三角形的兩角分別與另一個(gè)三角形的兩角對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形相似； 如果一個(gè)三角形的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例,并且夾角相等,那么這兩個(gè)三角形相似； 如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例,那么這兩個(gè)三角形相似(以上3條判定定理中

2、,如果含有邊的比例的關(guān)系,而其中的比例系數(shù)為l,則這兩個(gè)三角形全等) 2.兩條直線平行,則：反之,如果知道上面某種情況的成立,則那兩條直線平行3.兩個(gè)相似三角形的面積比值為相似系數(shù)的平方典型問題2.四邊形ABCD中,AB=30,AD=48,BC=14,CD=40.又已知ABD+BDC=900,求四邊形ABCD的面積 【分析與解】 如下圖,以BD的垂直平分線為對(duì)稱軸L,做ABD關(guān)于L的對(duì)稱圖形BD.連接C 因?yàn)锳BD+BDC=9000而ABD=DB=900,所以有DB+BDC=900 那么CD為直角三角形,由勾股定理知=2500,所以.而在BC中,有B=AD=48,有482+142=2500,即

3、B2+BC2=C2,即BC為直角三角形有.而|. 評(píng)注:.本題以ABC+BDC=900突破口,通過對(duì)稱變換構(gòu)造出與原圖形相關(guān)的角三角形.這樣面積就很好解決了.對(duì)于這道題我們還可以將BCD作L的對(duì)稱圖形.如下：4.如圖,在三角形ABD中,當(dāng)AB和CD的長(zhǎng)度相等時(shí),請(qǐng)求出“?”所示的角是多少度,給出過程【分析與解】 因?yàn)锳B=CD,于是可以將三角形ABC的邊BA邊與CD對(duì)齊,如下圖 在下圖中有BCA=1100,所以ACD=700 于是=+=+=700+400=1100； 即=1100=；又因?yàn)橹皇且苿?dòng)的變化,所以=；則是一等腰梯形 于是,=1800-1100=700； 又=300,所以=700-3

4、00=400.6.如下圖,ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,BCD是等腰三角形BD=CD，頂角BDC=1200,MDN=600,求AMN的周長(zhǎng) 【分析與解】 如下圖, 延長(zhǎng)AC至P,使CP=MB,連接DP.則有MBD=600+PCD；CP=BM；BD=CD,所以有MBDPCD.于是MDC=PDC；又因?yàn)镸DB+NDC=600,所以PDC+NDC=NDP=600；MD=PD在MDN、PND中,NDM=NDP,ND=ND,MD=PD,于是MNDPND.有MN=PN 因?yàn)镹P=NP=NC+CP,而AM=AB-MB=AB-CP,所以AM+AN+MN=(AB-CP)+AN+(NC+CP)=AB+AN+NC=

5、2.即AMN的周長(zhǎng)為2.8.下圖為半徑20厘米、圓心角為1440的扇形圖.點(diǎn)C、D、E、F、G、H、J是將扇形的B、K弧線分為8等份的點(diǎn).求陰影部分面積之和 【分析與解】 如下圖,做出輔助線 KMA與ANG形狀相同(對(duì)應(yīng)角相等),大小相等(對(duì)應(yīng)邊相等),有KMAANG,而LMA是兩個(gè)三角形的公共部分,所以上圖中的陰影部分面積相等所以,GNMK與扇形KGA的面積相等,那么KGEB的面積為2倍扇形KGA的面積 扇形KGA的圓心角為3=540,所以扇形面積為平方厘米 那么KGEB的面積為60=120平方厘米 如下圖,做出另一組輔助線 JQA與ARH形狀相同(對(duì)應(yīng)角相等),大小相等(對(duì)應(yīng)邊相等),有JQAARH,=5A,而PQA是兩個(gè)三角形的公共部分,所以右圖中的陰影部分面積相等 所以,JHRQ與扇形JHA的面積相等,那么JHDC的