空間向量知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)匯報(bào)材料文書(shū)

1、空間向量知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)知識(shí)要點(diǎn)。1. 空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向線段表示 .同向等長(zhǎng)的有向線段表示同一或相等的向量。（2）空間的兩個(gè)向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來(lái)表示。2. 空間向量的運(yùn)算。定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算如下（如圖）uuu uuu uuu r vuuruuuuuu rr uuurOB OA AB a b ;BAOAob ai b ; OPa( R)運(yùn)算律：加法交換律：ab ba加法結(jié)合律：（a b）ca (bc)數(shù)乘分配律：（a b）a b3. 共線向量。（1）如果表示空間向量的有向線段所在的

2、直線平行或重合，那么這些向量也叫做共線 向量或平行向量，a平行于b，記作ab。當(dāng)我們說(shuō)向量a、b共線（或a/ b ）時(shí)，表示a、b的有向線段所在的直線可能是同 一直線，也可能是平行直線。（2）共線向量定理：空間任意兩個(gè)向量a、b （ b豐0 ）, a/ b存在實(shí)數(shù)入，使a =入b。4. 共面向量（1）定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。 說(shuō)明：空間任意的兩向量都是共面的。rr（2） 共面向量定理：如果兩個(gè)向量a,b不共線，p與向量a,b共面的條件是存在實(shí)數(shù) r r rx, y 使 p xa yb。r5. 空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a,b,c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在

3、一個(gè)r唯一的有序?qū)崝?shù)組x, y,z，使p xa yb zc。rrr若三向量a,b,c不共面，我們把叫做空間的一個(gè)基底，a,b,c叫做基向量，空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底。推論：設(shè)0,代B,C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)uuu uuu uuu umrx, y, z，使 OP xOA yOB zOC。6. 空間向量的直角坐標(biāo)系：（1）空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系 O xyz中，對(duì)空間任一點(diǎn) A，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x, y,z），使OA xi yi zk ,有序?qū)崝?shù)組（x, y,z）叫作向量A在空間直角坐標(biāo)系 O xyz中的坐標(biāo)， 記

4、作A（x, y, z） , x叫橫坐標(biāo)，y叫縱坐標(biāo)，z叫豎坐標(biāo)。r r（2）若空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長(zhǎng)為i,這個(gè)基底叫單位正交基底，用i, j, k表示。（3）空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：若 a （aaa），b （dbb），則r rra b 1 bi,a2 bas d）， a （3 a2 a3 a bb2 ab3)aQa2b2a3b3，a1Sa?b2,a3bs(RRa a2p asd 0。uuu若 A(x(, yi,Zi)，則 ABy2X1,zzyy>一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。（4）模長(zhǎng)公式:r rr_則| a| a

5、a（5）夾角公式:(bbb)， b b、p2 b22 b32aiba2b2a3b3（6）兩點(diǎn)間的距離公式：若A(Xi,yi,zO , B(X2,y2,Z2),uuu則 | AB |ULLT 2 -AB.(X2 xj2 (y2 yi)2 (Z2 z,)2 ,或 dA,B . (X2 Xi)2 (y2yi)2 (Z2 乙)27. 空間向量的數(shù)量積。r r（1 ）空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量a,b，在空間任取一點(diǎn)0，作iunruuurr rr rr rOA a,OB b，則 AOB叫做向量a與b的夾角，記作 a,b ;且規(guī)定0 a,b ，r rrrr顯然有a,b b,a ；若a,b，則稱(chēng)a

6、與b互相垂直，記作：a b 。2uuu rULWrr（2） 向量的模：設(shè)oa a，則有向線段oa的長(zhǎng)度叫做向量a的長(zhǎng)度或模，記作：心|。rrrr（3） 向量的數(shù)量積：已知向量a,b，則| a | ib | cos a,b叫做a,b的數(shù)量積，記rrrr作 a b，即 a b |a| |b| cos a,b。（4）空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：ae 1 a 1 cos a,e 。a b a b 0。|af a a。（5）空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：rrrrr（a）b（ar b）a （ b）。 abba （交換律）。設(shè) a =佝月223), b = Qdd)則 r r(1) a + b = d,a2 b2,a3

7、d)；r a -rb = (a1bi,a2b2,a3b3)(3)入 a = ( a1, a2, a3)(入 R)；(4)r a =ajbi玄2匕2a3b3;uuuuuuuuu2.設(shè)人(冷,乙),B(X2,y2,Z2)，則 ABOBOA =(X2X1,y2y1,Z2Z1).rr3、設(shè) a (心心),b (X2, y2,Z2)，則r rrr r rrr raPba b(b 0);aa b0x1x2y2z1z20.4.夾角公式 設(shè) a = (a1,a2,a3), b = (b1,b2,b3)，則 cos a,ba (b c) a b a c (分配律)。(6):空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算：1.向量的直角坐標(biāo)

8、運(yùn)算_ qbia2b2asb? a2a； af , b25 異面直線所成角cos |cos；b；|=4 一1-；l |a|b|,xi26.平面外一點(diǎn) p到平面 的距離已知AB為平面 的一條斜線,以?xún)磞°2Z1Z212 2 y2Z22 2 2 yiZi_ X2n為平面 uur r 向量，A到平面 的距離為：d |ABr?n|n|的一個(gè)法【典型例題】例1.已知平行六面體 ABC® ABCD，化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式，標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量。 uuu uuuuuu UULT UULT AB BC ； AB AD AA ;uuu uuur 1 uuiu1 uuu uuur uuir AB A

9、D CC ;一(AB AD AA)。23例2.對(duì)空間任一點(diǎn) 0和不共線的三點(diǎn) uuuuuuuuu uuirOP xOA yOB zOC (其中 x代B,C，問(wèn)滿足向量式：y z 1)的四點(diǎn)P, A,B,C是否共面?例3.已知空間四邊形 OABC，其對(duì)角線OB, AC , M ,N分別是對(duì)邊OA,BC的中點(diǎn),uuu uuu uur點(diǎn)G在線段MN上，且MG 2GN，用基底向量 OA,OB,OC表示UJLT向量OG。例 4.如圖，在空間四邊形 OABCK OA 8, AB 6, AC 4 , BC 5, OAC 45o, OAB 60o,求OA與BC的夾角的余弦值。uur uuiruur uuur說(shuō)

10、明：由圖形知向量的夾角易出錯(cuò)，女口OA,AC135°易錯(cuò)寫(xiě)成 OA,AC45°,切記！例5.長(zhǎng)方體ABCD A1B1C1D1中，AB BC 4 , E為A&與BQ的交點(diǎn)，F(xiàn)為BC, 與B,C的交點(diǎn)，又AF BE，求長(zhǎng)方體的高 BB1。空間向量與立體幾何練習(xí)題一、選擇題1.如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD AB1GD1在空間直角坐標(biāo)uuu系中，若E,F分別是BC, DD1中點(diǎn)，則EF的坐標(biāo)為（ ）A.(1,2, 1) B. _( 1,2, 1)C.( 1, 2,1) D. (1, 2, 1)AB2.如圖，ABCABCD是正方體，BE = 二 ,貝U BE與 DF4A.1

11、517B.12仝23.在四棱錐P ABCD中,底面ABCD是正方形,uur r uuu ruuuruuuPA a, PB b,PCc ,貝U BE()a 1 r11 rD 1 r11 rA. abcb.abc2 222221 r 3r1 r1 r1 r3rC. 一 abcD.abc2 22222C.817D.E為PD中點(diǎn)，若所成角的余弦值是（、填空題4.若點(diǎn) A(1,2,3),B( 3,2,7),且 AC BC 0 ,則點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 .5在正方體 ABCD ABiGDi中，直線 AD與平面ABG夾角的余弦值為 三、解答題1、在正四棱柱 ABCD-ABCD中，AB i與底面ABCD所成的角為

12、 ，4(1)求證BDi 面ABiC (2)求二面角Bi AC B的正切值C2 在三棱錐 P ABC中, AB AC 3AP 4, PA 面 ABC , BAC 90 , D 是 PA 中點(diǎn)，點(diǎn) E 在 BC 上, 且BE 2CE,(i)求證：AC BD ; (2)求直線DE與PC夾角 的余 弦值；(3)求點(diǎn)A到平面BDE的距離d的值3.在四棱錐 P-ABCC中，底面 ABC是一直角梯形，/ BA=90°, AD/ BC AB=BC=a, At=2a, 且戸汕底面ABCD PD與底面成30。角.(i )若AEL PD E為垂足，求證：BEL PD(2)求異面直線 AE與CD所成角的余弦

13、值.4、已知棱長(zhǎng)為i的正方體ACi,E、F分別是BiCi、CiD的中點(diǎn).(i)求證：E、F、D、B共面;(2)求點(diǎn)A到平面的BDEF的距離；(3)求直線AD與平面BDEF所成的角.5、已知正方體 ABCD ABCD的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)E為棱AB的中點(diǎn)，求：(I) DE與平面BGD所成角的大?。?H)二面角 D- BG C的大小;【模擬試題】1.已知空間四邊形 ABCD，連結(jié)AC,BD，設(shè)M ,G分別是BC,CD的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列各表達(dá)式，并標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果向量：uuuuuuuuuuuu1 uuuuuu(1) ABBCCD;(2) AB-(BDBC)；2uuir i uuu uuur(3) AG (AB A

14、C)。22. 已知平行四邊形 ABCD從平面AC外一點(diǎn)O引向量。uuuuuruLuuuuruLurluuriuruurOE kOAOF kOB,OG kOC,OH kOD ° (1)求證：四點(diǎn) E,F,G,H 共面;(2)平面AC /平面EG。13. 如圖正方體 ABCD A1B1C1D1 中，B1E1 D1F1 AB ,4求BE1與DF1所成角的余弦。4. 已知空間三點(diǎn) A (0, 2, 3) , B ( 2, 1 , 6), C (1 , 1 , 5)。uuu uuur求以向量AB, AC為一組鄰邊的平行四邊形的面積S;ruuu uurrr若向量a分別與向量AB, AC垂直，且|

15、 al = . 3，求向量a的坐標(biāo)。5.已知平行六面體 ABCD ABCD 中，AB 4, AD 3, AA 5, BAD 90o, BAA DAA 60o，求 AC 的長(zhǎng)。UUUuuur uur uuur BC CD ACuuuuuir(1)ABCDAD;uuu1 uuu (BDuuuuuu1 uuu -BC21 uuir BD 。2(2)ABBC)ABuuuuuuu uuuuUULTABBMMGAG ;uuur1 uuu (ABuuuruuuruuurUULUU(3)AGAC)AGAMMG。1.解：如圖,參考答案22.解：(1)證明：四邊形 ABCD是平行四邊形， AC AB AD , u

16、uur umr uuuEGOGOE ,uuuruuuuuuruuuuuuruuuuuurk OCk 1OAk(OCOA)kACk(ABAD)uuruuuuuuruuuuuruuuUULUUUUk(OBOAODOA)OFOEOH OEuuuuuirEFEHE,F,G,H共面；uuuuultuuuuuuuuuuuuuuuruuur(2)解：.- EFOFOEk(OBOA)k AB，又EGk AC , EF /AB, EG/AC。umr uuu umr所以，平面AC/平面EG 。3.解：不妨設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,建立空間直角坐標(biāo)系3 則 B(1,1,0), E1(1-,1) , D(0,0,0),41

17、uuuu,1), DF14uuuu- BE1(0,1(，uuuu BE1uuuuDF1uulu uuuuBE1 DF10 0ujuu uuur cos；. BE1,DF11 1)4 415161517uur4.分析：Q AB(2,4uuur1,3),AC/ BAC= 60°設(shè)a解得5. 解:a =( x,uuurAC xO xyz,1F1(0,-,1),415。16(1, 3,2), cos BACuuu uurS | AB|AC|sin60°r uuuz),則 a AB3y 2z 0,|a |2x2xx= y = z= 1 或 x= y= z = 1 , a = uUuu 2 u