特殊四邊形分類整理

1、中點(diǎn)四邊形問題及中位線問題1、（2012，湖北孝感，20，8分）我們把依次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形如圖，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，依次連接各邊中點(diǎn)得到中點(diǎn)四邊形EFGH（1）這個(gè)中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀是_；（2分）（2）請(qǐng)證明你的結(jié)論；（6分）【答案】解：（1）平行四邊形； （2）證明：連接AC E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC中點(diǎn)，EFAC，EF=AC 同理HGAC，HG=ACEFHG，EF=HG，四邊形EFGH是平行四邊形2、（2012南京市）如圖，在梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，ACBD,

2、E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn).（1）求證：四邊形EFGH是正方形；（2）若AD=2，BC=4，求四邊形EFGH的面積. 答案：（1）E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)EF是三角形ABC的中位線EFAC、EF=AC,同理得，EHBD,HG=AC，EH=FG=BD,EH=FG=EF=HG四邊形EFGH為菱形EFAC, EHBD, ACBDEHG=900菱形EFGH為正方形.（2）在梯形ABCD中，E、G分別是AB、CD的中點(diǎn).EG為梯形ABCD的中位線EG=（AD+BC）=3 四邊形EFGH的面積=EG2=4.53、（2012·湖南省張家界市）順次連結(jié)矩形四邊中點(diǎn)所得的四邊

3、形一定是（ ）A.正方形B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形4、（2012湖北黃岡）若順次連接四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)所得四邊形是矩形，則四邊形ABCD一定是 （ ）A. 矩形 B. 菱形 C. 對(duì)角線互相垂直的四邊形 D. 對(duì)角線相等的四邊形5、如圖，已知矩形ABCD中，R、P分別是DC、BC上的點(diǎn)，E、F分別是AP、RP的中點(diǎn)，當(dāng)P在BC上從B向C移動(dòng)而R不動(dòng)時(shí)，那么下列結(jié)論成立的是（）A線段EF的長逐漸增大B線段EF的長逐漸減小C線段EF的長不改變D線段EF的長不能確定6、20（2012泰安）如圖，ABCD，E，F(xiàn)分別為AC，BD的中點(diǎn)，若AB=5，CD=3，則EF的長是（）A4B3C2D1

4、7、如圖,EF是ABC的中位線, ADDC交EF于點(diǎn)D,若DF=2,求DE的長= 8、菱形對(duì)角線1、（2012）菱形ABCD中，若對(duì)角線長AC=8cm，BD=6cm則邊長AB= cm2、菱形的兩條對(duì)角線的長分別為6和8，則這個(gè)菱形的周長為 3、（2012貴州省畢節(jié)市，17，5分）我們把順次連接四邊形四條邊的中點(diǎn)所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形?，F(xiàn)有一個(gè)對(duì)角線分別為6cm和8cm的菱形，它的中點(diǎn)四邊形的對(duì)角線長是 .4、（2012山西，11，2分）如圖，已知菱形ABCD的對(duì)角線ACBD的長分別為6cm、8cm，AEBC于點(diǎn)E，則AE的長是（）ABCD解：四邊形ABCD是菱形，CO=AC=3cm，BO=B

5、D=4cm，AOBO，BC=5cm，S菱形ABCD=×6×8=24cm2，S菱形ABCD=BC×AD，BC×AE=24，AE=cm，5、（2012山東省濱州，11，3分）菱形的周長為8cm，高為1cm，則該菱形兩鄰角度數(shù)比為（）A3：1B4：1C5：1D6：16（2012濟(jì)寧）如圖，AD是ABC的角平分線，過點(diǎn)D作DEAB，DFAC，分別交AC、AB于點(diǎn)E和F（1）在圖中畫出線段DE和DF；（2）連接EF，則線段AD和EF互相垂直平分，這是為什么？（2）DEAB，DFAC，四邊形AEDF是平行四邊形，AD是ABC的角平分線，F(xiàn)AD=EAD，ABDE，F(xiàn)A

6、D=EDA，EAD=EDA，EA=ED，平行四邊形AEDF是菱形，AD與EF互相垂直平分梯形問題1、（2012呼和浩特，8，3分）已知：在等腰梯形ABCD中，ADBC，ACBD，AD=3，BC=7，則梯形的面積是A. 25B. 50C. 25D.【解析】作DEAC，交BC的延長線于E，作DFBE于F。四邊形ABCD是等腰梯形ADCE，AC=BD又DEAC，ACBD四邊形ACED是平行四邊形，BDDEDE=AC，AD=CE=3BDE是等腰直角三角形又DFBEBF=EF=DF=BE=(BC+CE)=(BC+AD)=(7+3)=5S梯形ABCD=(AD+BC)·DF=(3+7)×

7、5=252、（四川）四邊形ABCD是梯形，BDAC且BDAC，若AB2，CD4，則S梯形ABCD.3、（2011江蘇省無錫市）如圖，梯形ABCD中，ADBC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分線交BC于E，連接DE，則四邊形ABED的周長等于（ ）A17 B.18 C.19 D.20ABCDE圖44、在等腰梯形ABCD中,ADBC,BDDC,點(diǎn)E是BC 的中點(diǎn)且DEAB,則BCD的度數(shù)是_【解析】ADBC,DEAB,四邊形ABED是平行四邊形AB=DE,在等腰梯形ABCD中,AB=DC,DE=DCBDDC,BDC=900,又點(diǎn)E是BC 的中點(diǎn)DE=EC=DC,即DEC是等邊三角形，故

8、BCD=6005（2012煙臺(tái)）如圖，在平面直角坐標(biāo)中，等腰梯形ABCD的下底在x軸上，且B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），則AC長為（）A4B5C6D不能確定6、（2012濱州）我們知道“連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫三角形的中位線”，“三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半”類似的，我們把連接梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形的中位線如圖，在梯形ABCD中，ADBC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，那么EF就是梯形ABCD的中位線通過觀察、測(cè)量，猜想EF和AD、BC有怎樣的位置和數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論解答：解：結(jié)論為：EFADBC，EF=（AD+BC）理由如下：連接AF并延

9、長交BC于點(diǎn)GADBCDAF=G，在ADF和GCF中，ADFGCF，AF=FG，AD=CG又AE=EB，即EFADBC，EF=（AD+BC）正方形問題1、（2012湖北黃岡）如圖，在正方形ABCD 中，對(duì)角線AC、BD 相交于點(diǎn)O，E、F分別 在OD、OC 上，且DE=CF，連接DF、AE，AE 的延長線交DF于點(diǎn)M. 求證：AMDF.【答案】證明：在正方形ABCD中，AD=CD，ADEDCF=45°，ADC=90°，又DE=CF ADEDCF，DAECDF，又CDF+ADF =90° DAE+ADF =90°ADM=90°即AMDF.補(bǔ)充：如

10、圖1:正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，F(xiàn)是AC上的一點(diǎn)，連接DF，過點(diǎn)A作AMDE，垂足M，AM交BD于點(diǎn)E （1）求證:OE=OF（2）如圖2所示，若點(diǎn)F在AC的延長線上，AMDF的延長線于點(diǎn)M，交DB的延長線于點(diǎn)E，其他條件都不變，則結(jié)論“OE=OF”還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由2、（2012四川宜賓，14，3分）如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，連結(jié)AC、BD,CE平分ACD交BD于點(diǎn)E,則DE= 解：過E作EFDC于F，四邊形ABCD是正方形，ACBD，CE平分ACD交BD于點(diǎn)E，EO=EF，正方形ABCD的邊長為1，AC=，CO=AC=，CF=

11、CO=，DF=DCCF=1，DE=1，3、（2012呼和浩特，20，7分）(7分)如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)G是BC邊上任意一點(diǎn)，DEAG于E，BFDE，交AG于F。（1）求證：AFBF=EF；（2）將ABF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得AB與AD重合，記此時(shí)點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F。若正方形邊長為3，求點(diǎn)F與旋轉(zhuǎn)前的圖中點(diǎn)E之間的距離。（1）證明：正方形ABCDAB=AD,2+3=90°DEAGAED=90°1+3=90°1=2又BFDEAFB=AED=90°在AED和BFA中圖6-1AEDBFABF=AEAFAE=EFAFBF=EF（2）如圖，根據(jù)題意可知：

12、FAF=90°，DE=AF=AF可判斷四邊形AEDF為矩形EF=AD=34、2012深圳市 16 ，3分）如圖6，已知中，以斜邊為邊向外作正方形，且正方形的對(duì)角線交于點(diǎn)，連接。已知 ，則另一直角邊的長為 ?！窘獯稹浚喝鐖D61，過點(diǎn)O作OH、OG分分別垂直于CA、CB，易證，易證四邊形OHCG為正方形，有，知，則。5、（2012黑龍江省綏化市，10，3分）如圖所示，直線a經(jīng)過正方形ABCD的頂點(diǎn)A，分別過此正方形的頂點(diǎn)B、D作BFa于點(diǎn)F、DEa于點(diǎn)E，若DE=8，BF=5，則EF的長為 6、（2012，黔東南州，10）點(diǎn)P是正方形ABCD邊AB上一點(diǎn)（不與A、B重合），連結(jié)PD并將線

13、段PD繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90º，得線段PE，連結(jié)BE，則CBE等于（ ）A、75º B、60º C、 45º D、 30º 解析：過點(diǎn)E作EFAF，交AB的延長線于點(diǎn)F，則F=90°，四邊形ABCD為正方形，AD=AB，A=ABC=90°，ADP+APD=90°，由旋轉(zhuǎn)可得：PD=PE，DPE=90°，APD+EPF=90°，ADP=EPF，在APD和FEP中，APDFEP（AAS），AP=EF，AD=PF，又AD=AB，PF=AB，即AP+PB=PB+BF，AP=BF，BF=EF，又F=90&#

14、176;，BEF為等腰直角三角形，EBF=45°，又CBF=90°，則CBE=45°7、數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)AEF=90°，且EF交正方形外角DCG的平行線CF于點(diǎn)F，求證：AE=EF 經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)AEF=90°，且EF交正方形外角DCG的平分線CF于點(diǎn)F，求證：AE=EF經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點(diǎn)M，連接ME，則AM=EC，易證AMEECF，所以AEEF在此基礎(chǔ)

15、上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：（1）小穎提出：如圖2，如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上（除B，C外）的任意一點(diǎn)”，其它條件不變，那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請(qǐng)說明理由；（2）小華提出：如圖3，點(diǎn)E是BC的延長線上（除C點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論“AE=EF”仍然成立你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；9如圖，將正方形對(duì)折后展開（圖是連續(xù)兩次對(duì)折后再展開），再按圖示方法折疊，能夠得到一個(gè)直角三角形，且它的一條直角邊等于斜邊的一半這樣的圖形有【 】(A)4個(gè)(B)3個(gè)(C)2個(gè)(D)1個(gè)矩形問題1、

16、2012云南省，22 ，7分）(本小題 7分）如圖，在矩形中，對(duì)角線的垂直平分線與相交于點(diǎn),與相較于點(diǎn)，與相較于，連接。 (1)求證：四邊形是菱形； (2) 若求MD的長。（1）證明：四邊形是矩形 是的垂直平分線 在和中是的垂直平分線四邊形是菱形（2）解：設(shè) 則，在中 則有 解得： 即：2、(2012江蘇蘇州，6，3分)如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，CEBD，DEAC，若AC=4，則四邊形CODE的周長（）A4B6C8D10解答：解：CEBD，DEAC，四邊形CODE是平行四邊形，四邊形ABCD是矩形，AC=BD=4，OA=OC，OB=OD，OD=OC= AC=2，四邊形CO

17、DE是菱形，四邊形CODE的周長為：4OC=4×2=83、(2012貴州黔西南州，20，3分)把一張矩形紙片(矩形ABCD)按如圖7方式折疊，使頂點(diǎn)B和點(diǎn)D重合，折痕EF，若AB=3cm，BC=5cm，則重疊部分DEF的面積是_ cm2【解析】設(shè)BF=x，則CF=5x在RtCDF中，由勾股定理得x2=(5x)232，解得x=3.4，所以CF=1.6連接BE，則ABEDCF，BEFDFE，所以SDEF=(3×5×2)=5.14、（2012·哈爾濱，題號(hào)20分值 3）如圖。四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在線段CB的延長線上，連接DE交AB于點(diǎn)F，AED=2CED，點(diǎn)G是DF的中點(diǎn)，若BE=1，AG=