平面向量習(xí)題和公式

1、公式1、向量的加法 向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則.AB+BC=AC.a+b=(x+x',y+y').a+0=0+a=a.向量加法的運(yùn)算律：交換律：a+b=b+a； 結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c).2、向量的減法 如果a、b是互為相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量為0 AB-AC=CB.即“共同起點(diǎn),指向被減” a=(x,y) b=(x',y') 則 a-b=(x-x',y-y').4、數(shù)乘向量 實數(shù)和向量a的乘積是一個向量,記作a,且a=a.當(dāng)

2、0時,a與a同方向； 當(dāng)0時,a與a反方向； 當(dāng)=0時,a=0,方向任意.當(dāng)a=0時,對于任意實數(shù),都有a=0.注：按定義知,如果a=0,那么=0或a=0.實數(shù)叫做向量a的系數(shù),乘數(shù)向量a的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮.當(dāng)1時,表示向量a的有向線段在原方向（0）或反方向（0）上伸長為原來的倍； 當(dāng)1時,表示向量a的有向線段在原方向（0）或反方向（0）上縮短為原來的倍.數(shù)與向量的乘法滿足下面的運(yùn)算律 結(jié)合律：(a)b=(ab)=(ab).向量對于數(shù)的分配律（第一分配律）：(+)a=a+a.數(shù)對于向量的分配律（第二分配律）：(a+b)=a+b

3、.數(shù)乘向量的消去律： 如果實數(shù)0且a=b,那么a=b. 如果a0且a=a,那么=.3、向量的的數(shù)量積 定義：已知兩個非零向量a,b.作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b的夾角,記作a,b并規(guī)定0a,b 定義：兩個向量的數(shù)量積（內(nèi)積、點(diǎn)積）是一個數(shù)量,記作ab.若a、b不共線,則ab=|a|b|cosa,b；若a、b共線,則ab=+-ab.向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示：ab=xx'+yy'.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律 ab=ba（交換律）； (a)b=(ab)(關(guān)于數(shù)乘法的結(jié)合律)； （a+b)c=ac+bc（分配律）；

4、0;向量的數(shù)量積的性質(zhì) aa=|a|的平方.ab =ab=0.|ab|a|b|.向量的數(shù)量積與實數(shù)運(yùn)算的主要不同點(diǎn) 1、向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律,即：(ab)ca(bc)；例如：(ab)2a2b2.2、向量的數(shù)量積不滿足消去律,即：由 ab=ac (a0),推不出 b=c.3、|ab|a|b| 4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.4、向量的向量積 定義：兩個向量a和b的向量積（外積、叉積）是一個向量,記作a×b.若a、b不共線,則a×b的模是：a×b=|a|b|sina,b；a×b的方向是：垂直于a

5、和b,且a、b和a×b按這個次序構(gòu)成右手系.若a、b共線,則a×b=0.向量的向量積性質(zhì)：a×b是以a和b為邊的平行四邊形面積.a×a=0.ab=a×b=0.向量的向量積運(yùn)算律 a×b=-b×a； （a）×b=（a×b）=a×（b）； （a+b）×c=a×c+b×c.注：向量沒有除法,“向量AB/向量CD”是沒有意義的.向量的三角形不等式 1、a-ba+ba+b；  當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時,左邊取等號；  當(dāng)

6、且僅當(dāng)a、b同向時,右邊取等號.2、a-ba-ba+b. 當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時,左邊取等號；  當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時,右邊取等號.平面向量測試題一、選擇題: 1設(shè)點(diǎn)P（3，-6），Q（-5，2），R的縱坐標(biāo)為-9，且P、Q、R三點(diǎn)共線，則R點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（ ）。A、-9 B、-6 C、9 D、6 2已知 =(2,3), b=(-4,7)，則 在b上的投影為（ ）。A、 B、 C、 D、 3設(shè)點(diǎn)A（1，2），B（3，5），將向量 按向量 =（-1，-1）平移后得向量 為（ ）。A、（2，3） B、（1，2） C、（3，4） D、（4，7）4若(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且sin

7、A=sinBcosC，那么ABC是（ ）。A、直角三角形 B、等邊三角形 C、等腰三角形 D、等腰直角三角形5已知| |=4, |b|=3, 與b的夾角為60°，則| +b|等于（ ）。A、 B、 C、 D、 6已知O、A、B為平面上三點(diǎn)，點(diǎn)C分有向線段 所成的比為2，則（ ）。 A、 B、 C、 D、 7O是ABC所在平面上一點(diǎn)，且滿足條件 ，則點(diǎn)O是ABC的（ ）。A、重心 B、垂心 C、內(nèi)心 D、外心8設(shè) 、b、 均為平面內(nèi)任意非零向量且互不共線，則下列4個命題：(1)( ·b)2= 2·b2(2)| +b| -b| (3)| +b|2=( +b)2(4)(

8、b ) -( a)b與 不一定垂直。其中真命題的個數(shù)是（ ）。A、1 B、2 C、3 D、4 9在ABC中，A=60°，b=1， ，則 等于（ ）。A、 B、 C、 D、 10設(shè) 、b不共線，則關(guān)于x的方程 x2+bx+ =0的解的情況是（ ）。A、至少有一個實數(shù)解 B、至多只有一個實數(shù)解C、至多有兩個實數(shù)解 D、可能有無數(shù)個實數(shù)解二、填空題：.11在等腰直角三角形ABC中，斜邊AC=，則=_12已知ABCDEF為正六邊形，且=a，=b，則用a，b表示為_. 13有一兩岸平行的河流，水速為1，速度為 的小船要從河的一邊駛向?qū)Π?，為使所行路程最短，小船?yīng)朝_方向行駛。14如果向量 與b

9、的夾角為，那么我們稱 ×b為向量 與b的“向量積”， ×b是一個向量，它的長度| ×b|=| |b|sin，如果| |=3, |b|=2, ·b=-2，則| ×b|=_。三、解答題：15已知向量 = , 求向量b，使|b|=2| |，并且 與b的夾角為 。（10分）16、已知平面上3個向量 、b、 的模均為1，它們相互之間的夾角均為120。(1) 求證：( -b) ; (2)若|k +b+ |>1 (kR), 求k的取值范圍。（12分）17（本小題滿分12分) 已知e1，e2是兩個不共線的向量，=e1+e2，=-e1-8e2, =3e1-

10、3e2,若A、B、D三點(diǎn)在同一條直線上，求實數(shù)的值. 18某人在靜水中游泳，速度為4公里/小時，他在水流速度為4公里/小時的河中游泳. (1)若他垂直游向河對岸，則他實際沿什么方向前進(jìn)？實際前進(jìn)的速度為多少？ (2)他必須朝哪個方向游，才能沿與水流垂直的方向前進(jìn)？實際前進(jìn)的速度為多少？ 參考答案 一、選擇題： 1. D. 設(shè)R(x, -9), 則由 得(x+5)(-8)=-11×8, x=6. 2. C. |b| , | | = . 3. A. 平移后所得向量與原向量相等。 4A由(a+b+c)(b+c-a)=3bc, 得a2=b2+c2-bc, A=60°. sinA=s

11、in(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC，得cosBsinC=0, ABC是直角三角形。 5D . 6. B 7. B. 由 ，得OBCA，同理OABC，O是ABC的垂心。 8A(1)(2)(4)均錯。 9B由 ，得c=4, 又a2=b2+c2-2bccosA=13, .10B- =x2 +xb，根據(jù)平面向量基本定理，有且僅有一對實數(shù)和，使- = +b。故=x2, 且=x,=2，故原方程至多有一個實數(shù)解。 二、填空題 11. 12. 13. 與水流方向成135°角。 14 。 ·b=| |b|cos, , | ×b|=| |b|sin

12、三、解答題15由題設(shè) , 設(shè) b= , 則由 ,得 . , 解得 sin=1或 。當(dāng)sin=1時，cos=0；當(dāng) 時， 。故所求的向量 或 。 16(1) 向量 、b、 的模均為1，且它們之間的夾角均為120°。 , ( -b) .(2) |k +b+ |>1, |k +b+ |2>1,k2 2+b2+ 2+2k ·b+2k · +2b· >1, ,k2-2k>0, k<0或k>2。17解法一：A、B、D三點(diǎn)共線 與共線，存在實數(shù)k,使=k· 又 =(+4)e1+6e2. 有e1+e2=k(+4)e1+6ke2 有 解法二：A、B、D三點(diǎn)共線 與共線， 存在實數(shù)m,使又=(3+)e1+5e2 (3+)me1+5me2=e1+e2 有 18、解：(1)如圖，設(shè)人游泳的速度為，水流的