立體幾何題型的解題技巧適合總結(jié)提高用

1、第六講立體幾何新題型的解題技巧考點 1 點到平面的距離例 1（ 20XX 年福建卷理） 如圖，正三棱柱ABC A1BC的所有棱長都為2， D 為CC中點111（）求證： AB1 平面 A1 BD ；AA1（）求二面角 A A1D B 的大??；（）求點 C 到平面 A BD 的距離CDC11BB1P例 2.( 20XX 年湖南卷 ) 如圖 ,已知兩個正四棱錐P-ABCD 與Q-ABCD 的高分別為1 和 2,AB=4.( )證明 PQ平面 ABCD ；DCAMOB( )求異面直線AQ 與 PB 所成的角；( )求點 P 到平面 QAD 的距離 .Q考點 2異面直線的距離例 3 已知三棱錐SABC

2、 ，底面是邊長為4 2 的正三角形，棱SC 的長為 2，且垂直于底面 . E、 D 分別為 BC、AB 的中點，求 CD 與 SE 間的距離 .考點 3直線到平面的距離例 4 如圖，在棱長為2 的正方體AC1 中， G 是 AA1 的中點，求 BD 到平面 GB1 D1 的距離 .D1C1O1A1B1HGDCAOB考點 4 異面直線所成的角A例 5（ 20XX 年北京卷文）如圖，在 RtAOB中， OAB，斜邊 AB4 Rt AOC 可以通過 Rt AOB6D以直線 AO 為軸旋轉(zhuǎn)得到， 且二面角 B AOC 的直二面角 D 是 AB 的中點（ I ）求證：平面 COD 平面 AOB ；（ I

3、I ）求異面直線 AO 與 CD 所成角的大小EOBC例 6（20XX 年廣東卷）如圖所示， AF、DE 分別是 O、 O1 的直徑 .AD 與兩圓所在的平面均垂直， AD 8,BC 是 O 的直徑， AB AC 6，OE/AD .( )求二面角B AD F 的大??；( )求直線 BD 與 EF 所成的角 .考點 5直線和平面所成的角例 7.（ 20XX年全國卷理）四棱錐 SABCD 中，底面 ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC底面 ABCD已知 ABC45o ，SAB2，BC22，SASB3（）證明SABC ；（）求直線SD 與平面 SAB 所成角的大小CBDA考點 6 二面角例 8（ 20X

4、X 年湖南卷文）如圖，已知直二面角PQ，APQ ，B， C， CACB ， BAP45o ，直線 CA 和平面所成的角為 30o C（I）證明 BC PQ ；PAQB（II ）求二面角 BACP 的大小例 9( 20XX 年重慶卷 )如圖，在四棱錐 P ABCD 中， PA 底面 ABCD , DAB 為直角， AB CD， AD =CD=2AB, E、F 分別為 PC、 CD 的中點 .（）試證： CD平面 BEF ；（）設(shè) PA k·AB,且二面角 E-BD-C 的平面角大于 30 ,求 k 的取值范圍 .考點 7利用空間向量求空間距離和角例 10（ 20XX年江蘇卷）如圖，已知

5、 ABCD A1B1C1D1是棱長為 3的正方體，點 E 在 AA1上，點 F 在 CC1 上，且 AEFC1 1（1）求證： E，B，F(xiàn)，D1 四點共面；（2）若點 G 在 BC 上， BG2，點 M 在 BB1上，3GM BF ，垂足為 H ，求證： EM 平面 BCC1B1 ；（3）用表示截面EBFD1 和側(cè)面 BCC1B1 所成的銳二面角的大小，求D1A1B1C1FEMDAHCGBtan例 11（ 20XX 年全國卷）如圖 ,l1 、l2 是互相垂直的兩條異面直線，MN 是它們的公垂線段，點A、B 在Cl 1 上， C 在 l2 上， AM =MB =MNA（I）證明 AC NB；NM

6、（II ）若ACB60 ，求 NB 與平面 ABC 所成角的余弦值.B考點8 簡單多面體的有關(guān)概念及應(yīng)用，主要考查多面體的概念、性質(zhì)，主要以填空、選擇題為主，通常結(jié)合多面體的定義、性質(zhì)進行判斷.例 12 . 如圖（ 1），將邊長為1 的正六邊形鐵皮的六個角各切去一個全等的四邊形，再沿虛線折起， 做成一個無蓋的正六棱柱容器， 當(dāng)這個正六棱柱容器的底面邊長為時容積最大 .例 13 .如圖左，在正三角形ABC 中， D、 E、F 分別為各邊的中點，G、H、 I、J 分別為 AF、AD 、BE、 DE 的中點，將 ABC 沿 DE 、EF、 DF 折成三棱錐后， GH 與 IJ 所成角的度數(shù)為（）GF

7、(A、B、C)ACHHGJIDEFDIJBEA、 90°B、 60°C、 45°D、 0°例 14.長方體 ABCD A1B1C1D1 中，D1 設(shè)對角線 D 1B 與自 D 1 出發(fā)的三條棱分別成、 、角C1求證： cos2 cos2cos2 1A1B1 設(shè) D 1B 與自 D1 出發(fā)的三個面成 、 、角，求證：cos2cos2 cos2 2DCAAB考點 9.簡單多面體的側(cè)面積及體積和球的計算例 15. 如圖，在三棱柱ABC A1B1C1 中， AB 2 a， BC CA AA1 a，A 在底面 ABC 上的射影 O 在 AC 上1求 AB 與側(cè)面

8、AC1 所成角；若 O 恰好是 AC 的中點，求此三棱柱的側(cè)面積 .例 16. 等邊三角形ABC 的邊長為4， M、 N 分別為AB、 AC的中點，沿MN 將 AMN 折起，使得面AMN 與面 MNCB 所成的二面角為30°，則四棱錐A MNCB 的體積為（）A1B1OADBAM KBLC1CNC3B、33AA、C、D 、 322NMKCLB例 17.如圖，四棱錐 P ABCD 中，底面是一個矩形， AB 3，AD 1，又 PAAB ，PA4，PAD 60° 求四棱錐的體積； 求二面角 P BC D 的大小 .PHEDCAB例 18 .（ 20XX年全國卷）已知圓O1 是半

9、徑為 R 的球 O 的一個小圓，且圓O1 的面積與球O 的表面積的比值為2 ，則線段9OO1 與 R 的比值為.ORO1rA【專題訓(xùn)練與高考預(yù)測】一、選擇題1如圖，在正三棱柱 ABC -A B C中，已知 AB=1， D 在 BB 上，1111且 BD =1，若 AD 與側(cè)面 AA1CC1所成的角為，則的值為（）A.B.C1B134arctan 106A1C.D. arcsinD442直線 a 與平面成 角， a 是平面的斜線， b 是平面CB內(nèi)與 a 異面的任意直線，則a 與 b 所成的角（）AA.最小值，最大值B.最小值，最大值2C.最小值，無最大值D.無最小值，最大值43在一個 45 的

10、二面角的一平面內(nèi)有一條直線與二面角的棱成45 角，則此直線與二面角的另一平面所成的角為（）A. 30B. 45C.60D.904如圖，直平行六面體ABCD-A B C D的棱長均為2，1111D 1C1BAD 6011 1所成，則對角線 A C與側(cè)面 DCC D的角的正弦值為（）AB111B.3DCA.2223ABD.C.425已知在 ABC 中 ，AB=9，AC=15 ，BAC 120 ，它所在平面外一點P 到ABC 三頂點的距離都是14，那么點 P 到平面ABC 的距離為（）A.13B.11C. 96如圖，在棱長為3 的正方體 ABCD -A BCD中， M、N 分別1111是棱 A1B1

11、、 A1D 1的中點，則點B 到平面 AMN 的距離是（）9B.3A.265D.2C.57將 QMN60，邊長 MN=a 的菱形 MNPQ 沿對角線 NQD. 7D 1NC1A1MB1DAAB折成 60 的二面角，則MP 與 NQ 間的距離等于 ()A.3 aB.3 aC.6 aD.3 a24448二面角l的平面角為 120，在內(nèi)， ABl 于 B，AB=2,在內(nèi)， CDl 于 D ，CD=3,BD =1, M 是棱 l上的一個動點，則 AM +CM 的最小值為 ()A.2 5B.2 2C.26D.269空間四點 A、 B、 C、 D 中 ,每兩點所連線段的長都等于a, 動點 P 在線段 AB

12、 上 , 動點 Q在線段 CD 上，則 P 與 Q 的最短距離為 ()A.1 aB.2 aC.3 aD. a22210在一個正四棱錐，它的底面邊長與側(cè)棱長均為a ，現(xiàn)有一張正方形包裝紙將其完全包住（不能裁剪紙，但可以折疊） ，那么包裝紙的最小邊長應(yīng)為（）A. (26 )aB.26C.(13)aD.13a2a211已知長方體ABCD -A1B1C1D 1 中， A1A=AB=2，若棱 AB 上存在點 P，使 D1PPC ，則棱 AD 的長的取值范圍是 ()A.0,1B.0, 2C. 0,2D. 1,212將正方形 ABCD 沿對角線 AC 折起，使點 D 在平面 ABC 外，則 DB 與平面 A

13、BC 所成的角一定不等于（）A.30B.45C.60D.90二、填空題A11如圖，正方體 ABCD -A1B1C1D1 的棱長為 1， E 是 A1B1 的中點，則下列四個命題：E 到平面 ABC1D1 的距離是1 ；245 ；A直線 BC 與平面 ABC1D1 所成角等于空間四邊形 ABCD 1 在正方體六個面內(nèi)的射影圍成面積最小值為 1 ；2BE 與 CD1所成的角為 arcsin10102如圖，在四棱柱ABCD -A B C D中，P是 AC111111上的動點， E 為 CD 上的動點，四邊形ABCD 滿A1足 _時，體積 VP AEB 恒為定值（寫上你認為正確的一個答案即可）3邊長為

14、 1 的等邊三角形 ABC 中 ,沿 BC 邊高線 AD 折起 ,使得折后二面角 B-AD-C 為 60° ,則點 A 到BC 的距離為 _,點 D 到平面 ABC 的距離A為 _.4在水平橫梁上A、 B 兩點處各掛長為50cm 的細繩，AM、 BN、 AB 的長度為60cm，在 MN 處掛長為60cm的木條， MN 平行于橫梁，木條的中點為O，若木條繞過 O 的鉛垂線旋轉(zhuǎn)60°，則木條比原來升高了_.5多面體上，位于同一條棱兩端的頂點稱為相鄰的.如圖正方體的一個頂點A 在平面內(nèi) .其余頂點在的同側(cè)，正方體上與頂點A 相鄰的三個頂點到的距離分別是1、 2 和 4. P 是正

15、方體其余四個頂點中的一個，則P 到平面 3； 4； 5； 6； 7.以上結(jié)論正確的為.（寫出所有正確結(jié)論的編號）D1C1 B1EDCBD 1C1PB1DECB的距離可能是：? O16. 如圖，棱長為1m 的正方體密封容器的三個面上有三個銹蝕的小孔? O2（不計小孔直徑）O1 、 O2、 O3 它們分別是所在面的中心.如果恰當(dāng)放置? O3容器，容器存水的最大容積是 _m3.三、解答題1 在正三棱柱 ABC ABC中，底面邊長為 a,D 為 BC 為中點，M 在 BB上，且 BM=B M ，1111113又 CM AC 1;（ 1） 求證： CM C1D;（ 2） 求 AA1的長.2 如圖，在四棱

16、錐P-ABCD中， 底面是矩形且AD=2，AB=PA=2 ， PA底面ABCD，E 是AD的中點，F(xiàn) 在PC 上.(1) 求 F 在何處時， EF 平面 PBC ；(2) 在 (1) 的條件下， EF 是不是 PC 與 AD 的公垂線段 .若是，求出公垂線段的長度；若不是，說明理由；(3) 在 (1) 的條件下，求直線 BD 與平面 BEF 所成的角 .3如圖，四棱錐S ABCD 的底面是邊長為1 的正方形， SD 垂直于底面ABCD ，SB=3 （ 1）求證 BC SC；（ 2）求面 ASD 與面 BSC 所成二面角的大?。唬?3）設(shè)棱 SA 的中點為 M ，求異面直線 DM 與 SB 所成角的大小4在直角梯形ABCD中，D=BAD=90,A