2017年高考數(shù)學(xué)考前回扣教材8 計(jì)數(shù)原理

1、.回扣8計(jì)數(shù)原理1.分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理完成一件事，可以有n類(lèi)方法，在第一類(lèi)方法中有m1種方法，在第二類(lèi)方法中有m2種方法，在第n類(lèi)方法中有mn種方法，那么完成這件事共有Nm1m2mn種方法也稱(chēng)加法原理.2.分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要經(jīng)過(guò)n個(gè)步驟，缺一不可，做第一步有m1種方法，做第二步有m2種方法，做第n步有mn種方法，那么完成這件事共有Nm1m2mn種方法也稱(chēng)乘法原理.3.排列 1排列的定義：從n個(gè)不同元素中取出mmn個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.2排列數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中取出mmn個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元

2、素的排列數(shù)，用A表示.3排列數(shù)公式：Ann1n2nm1.4全排列：n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列，叫做n個(gè)元素的一個(gè)全排列，Ann1n221n！.排列數(shù)公式寫(xiě)成階乘的形式為A，這里規(guī)定0！1.4.組合1組合的定義：從n個(gè)不同元素中取出mmn個(gè)元素合成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.2組合數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中取出mmn個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用C表示.3組合數(shù)的計(jì)算公式：C，由于0！1，所以C1.4組合數(shù)的性質(zhì)：CC；CCC.5.二項(xiàng)式定理abnCanCan1b1CankbkCbnnN*.這個(gè)公式叫做二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫

3、做abn的二項(xiàng)展開(kāi)式，其中的系數(shù)Ck0，1，2，n叫做二項(xiàng)式系數(shù).式中的Cankbk叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，用Tk1表示，即展開(kāi)式的第k1項(xiàng)：Tk1Cankbk.6.二項(xiàng)展開(kāi)式形式上的特點(diǎn)1項(xiàng)數(shù)為n1.2各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n.3字母a按降冪排列，從第一項(xiàng)開(kāi)場(chǎng)，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到n.4二項(xiàng)式的系數(shù)從C，C，一直到C，C.7.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)1對(duì)稱(chēng)性：與首末兩端“等間隔 的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即CC.2增減性與最大值：二項(xiàng)式系數(shù)C，當(dāng)k時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是遞減的.當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，那么其展開(kāi)式中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大

4、.當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，那么其展開(kāi)式中間兩項(xiàng)和的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大.3各二項(xiàng)式系數(shù)的和abn的展開(kāi)式的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n，即CCCCC2n.二項(xiàng)展開(kāi)式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即CCCCCC2n1.1.關(guān)于兩個(gè)計(jì)數(shù)原理應(yīng)用的本卷須知1分類(lèi)加法和分步乘法計(jì)數(shù)原理，都是關(guān)于做一件事的不同方法的種數(shù)的問(wèn)題，區(qū)別在于：分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分類(lèi)問(wèn)題，其中各種方法互相獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分步問(wèn)題，各個(gè)步驟互相依存，只有各個(gè)步驟都完成了才算完成這件事.2混合問(wèn)題一般是先分類(lèi)再分步.3分類(lèi)時(shí)標(biāo)準(zhǔn)要明確，做到不重復(fù)不遺漏.4要恰當(dāng)畫(huà)出示

5、意圖或樹(shù)狀圖，使問(wèn)題的分析更直觀、清楚，便于探究規(guī)律.2.對(duì)于有附加條件的排列、組合應(yīng)用題，通常從三個(gè)途徑考慮：1以元素為主考慮，即先滿(mǎn)足特殊元素的要求，再考慮其他元素；2以位置為主考慮，即先滿(mǎn)足特殊位置的要求，再考慮其他位置；3先不考慮附加條件，計(jì)算出排列數(shù)或組合數(shù)，再減去不合要求的排列數(shù)或組合數(shù).3.排列、組合問(wèn)題的求解方法與技巧1特殊元素優(yōu)先安排；2合理分類(lèi)與準(zhǔn)確分步；3排列、組合混合問(wèn)題先選后排；4相鄰問(wèn)題捆綁處理；5不相鄰問(wèn)題插空處理；6定序問(wèn)題排除法處理；7分排問(wèn)題直排處理；8“小集團(tuán)排列問(wèn)題先整體后部分；9構(gòu)造模型；10正難那么反，等價(jià)條件.4.對(duì)于二項(xiàng)式定理應(yīng)用時(shí)要注意：1區(qū)別

6、“項(xiàng)的系數(shù)與“二項(xiàng)式系數(shù)，審題時(shí)要仔細(xì).項(xiàng)的系數(shù)與a，b有關(guān)，可正可負(fù)，二項(xiàng)式系數(shù)只與n有關(guān)，恒為正.2運(yùn)用通項(xiàng)求展開(kāi)的一些特殊項(xiàng)，通常都是由題意列方程求出k，再求所需的某項(xiàng)；有時(shí)需先求n，計(jì)算時(shí)要注意n和k的取值范圍及它們之間的大小關(guān)系.3賦值法求展開(kāi)式中的系數(shù)和或部分系數(shù)和，常賦的值為0，1.4在化簡(jiǎn)求值時(shí)，注意二項(xiàng)式定理的逆用，要用整體思想對(duì)待a、b.1.用1，2，3三個(gè)數(shù)字組成一個(gè)四位數(shù)，規(guī)定這三個(gè)數(shù)必須全部使用，且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，這樣的四位數(shù)有A.36個(gè) B.18個(gè) C.9個(gè) D.6個(gè)答案B解析利用樹(shù)狀圖考察四個(gè)數(shù)位上填充數(shù)字的情況，如：1，共可確定8個(gè)四位數(shù)，但其中不符合要求

7、的有2個(gè)，所以所確定的四位數(shù)應(yīng)有18個(gè)，應(yīng)選B.2.某學(xué)習(xí)小組男女生共8人，現(xiàn)從男生中選2人，女生中選1人，分別去做3種不同的工作，共有90種不同的選法，那么男，女生人數(shù)為A.2，6 B.3，5 C.5，3 D.6，2答案B解析設(shè)男生人數(shù)為n，那么女生人數(shù)為8n，由題意可知CCA90，即CC15，解得n3，所以男，女生人數(shù)為3，5，應(yīng)選B.3.將甲，乙等5位同學(xué)分別保送到北京大學(xué)，清華大學(xué)，浙江大學(xué)三所大學(xué)就讀，那么每所大學(xué)至少保送一人的不同保送方法有A.150種 B.180種 C.240種 D.540種答案A解析先將5個(gè)人分成三組，3，1，1或1，2，2，分組方法有CC25種，再將三組全排列

8、有A6種，故總的方法數(shù)有256150種.4.從5位男老師和4位女老師中選出3位老師，派到3個(gè)班擔(dān)任班主任每班1位班主任，要求這3位班主任中男、女老師都要有，那么不同的選派方案共有A.210種 B.420種 C.630種 D.840種答案B解析因?yàn)橐?位班主任中男、女老師都要有，所以共有兩種情況，1男2女或2男1女.假設(shè)選出的3位老師是1男2女那么共有CCA180種不同的選派方法，假設(shè)選出的3位老師是2男1女那么共有CCA240種不同的選派方法，所以共有180240420種不同的方案，應(yīng)選B.5.假設(shè)二項(xiàng)式2x7的展開(kāi)式中的系數(shù)是84，那么實(shí)數(shù)a等于A.2 B. C.1 D.答案C解析二項(xiàng)式2

9、x7的通項(xiàng)公式為T(mén)k1C2x7kkC27kakx72k，令72k3，得k5.故展開(kāi)式中的系數(shù)是C22a584，解得a1.6.x144xx136x2x124x3x1x4等于A.1 B.1 C.2x14 D.12x5答案B解析x144xx136x2x124x3x1x4x1x41.7.某班準(zhǔn)備從甲、乙等七人中選派四人發(fā)言，要求甲乙中兩人至少有一人參加，那么不同的發(fā)言順序有A.30種 B.600種 C.720種 D.840種答案C解析AA720種.8.如圖，花壇內(nèi)有5個(gè)花池，有5種不同顏色的花卉可供栽種，每個(gè)花池內(nèi)只能種一種顏色的花卉，相鄰兩池的花色不同，那么栽種方案的種數(shù)為A.180 B.240 C

10、.360 D.420答案D解析假設(shè)5個(gè)花池栽了5種顏色的花卉，方法有A種，假設(shè)5個(gè)花池栽了4種顏色的花卉，那么2，4兩個(gè)花池栽同一種顏色的花，或3，5兩個(gè)花池栽同一種顏色的花，方法有2A種；假設(shè)5個(gè)花池栽了3種顏色的花卉，方法有A種，所以最多有A2AA420種.9.x5的各項(xiàng)系數(shù)和是1 024，那么由曲線(xiàn)yx2和yxa圍成的封閉圖形的面積為_(kāi).答案解析設(shè)x1，那么各項(xiàng)系數(shù)和為151 02445，所以a，聯(lián)立可得交點(diǎn)坐標(biāo)分別為0，0，1，1，所以曲線(xiàn)yx2和yx圍成的封閉圖形的面積為xx2dx.10.圓上有10個(gè)點(diǎn)，過(guò)每三個(gè)點(diǎn)畫(huà)一個(gè)圓內(nèi)接三角形，那么一共可以畫(huà)的三角形個(gè)數(shù)為_(kāi).答案120解析圓上

11、任意三點(diǎn)都不共線(xiàn)，因此有三角形C120個(gè).11.一排共有9個(gè)座位，現(xiàn)有3人就坐，假設(shè)他們每?jī)扇硕疾荒芟噜?，每人左右都有空座，而且至多有兩個(gè)空座，那么不同坐法共有_種.答案36解析可先考慮3人已經(jīng)就座，共有A6種，再考慮剩余的6個(gè)空位怎么排放，根據(jù)要求可產(chǎn)生把6個(gè)空位分為1，1，2，2，放置在由已經(jīng)坐定的3人產(chǎn)生的4個(gè)空中，共有C6，所以不同的坐法共有6636種.12.我國(guó)第一艘航母“遼寧艦在某次艦載機(jī)起降飛行訓(xùn)練中，有5架艦載機(jī)甲、乙、丙、丁、戊準(zhǔn)備著艦，假如甲、乙兩機(jī)必須相鄰著艦，而丙、丁不能相鄰著艦，那么不同的著艦方法有_種.答案24解析先把甲、乙捆綁在一起有A種情況，然后對(duì)甲、乙整體和戊

12、進(jìn)展排列，有A種情況，這樣產(chǎn)生了三個(gè)空位，插入丙、丁，有A種情況，所以著艦方法共有AAA22624種.13.實(shí)驗(yàn)員進(jìn)展一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，先后要施行5個(gè)程序A，B，C，D，E，其中程序A只能出如今第一步或最后一步，程序C或D在施行時(shí)必須相鄰，那么實(shí)驗(yàn)順序的編排方法共有_種.答案24解析依題意，當(dāng)A在第一步時(shí)，共有AA12種；當(dāng)A在最后一步時(shí)，共有AA12種.所以實(shí)驗(yàn)的編排方法共有24種.14.用1，2，3，4，5，6組成數(shù)字不重復(fù)的六位數(shù)，滿(mǎn)足1不在左右兩端，2，4，6三個(gè)偶數(shù)中有且只有兩個(gè)偶數(shù)相鄰，那么這樣的六位數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi).答案288解析從2，4，6三個(gè)偶數(shù)中任意選出2個(gè)看作一個(gè)“整體，方法有A6種，先排3個(gè)奇數(shù)，有A6種，形成了4個(gè)空，將“整體和另一個(gè)偶數(shù)插在3個(gè)奇數(shù)形成