中考數(shù)學專題訓練：定值和最值問題解析版(共8頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上定值問題解1、如圖，在平面直角坐標系O中，矩形AOCD的頂點A的坐標是（0,4），現(xiàn)有兩動點P、Q，點P從點O出發(fā)沿線段OC（不包括端點O，C）以每秒2個單位長度的速度，勻速向點C運動，點Q從點C出發(fā)沿線段CD（不包括端點C，D）以每秒1個單位長度的速度勻速向點D運動.點P，Q同時出發(fā)，同時停止，設運動時間為t秒，當t=2秒時PQ=.（1）求點D的坐標，并直接寫出t的取值范圍；（2）連接AQ并延長交軸于點E,把AE沿AD翻折交CD延長線于點F,連接EF，則AEF的面積S是否隨t的變化而變化？若變化，求出S與t的函數(shù)關系式；若不變化，求出S的值.（3）在（2）的條件下，

2、t為何值時，四邊形APQF是梯形？【答案】解：（1）由題意可知，當t=2（秒）時，OP=4，CQ=2，在RtPCQ中，由勾股定理得：PC=4，OC=OP+PC=4+4=8。又矩形AOCD，A（0，4），D（8，4）。t的取值范圍為：0t4。（2）結論：AEF的面積S不變化。AOCD是矩形，ADOE，AQDEQC。，即，解得CE=。由翻折變換的性質可知：DF=DQ=4t，則CF=CD+DF=8t。S=S梯形AOCFSFCESAOE=（OA+CF）OC+CFCEOAOE= 4（8t）×8+（8t）×4×（8）?；喌茫篠=32為定值。所以AEF的面積S不變化，S=32

3、。（3）若四邊形APQF是梯形，因為AP與CF不平行，所以只有PQAF。由PQAF可得：CPQDAF。CP：AD=CQ：DF，即82t：8= t：4t，化簡得t212t16=0，解得：t1=6+2，t2=。由（1）可知，0t4，t1=6+2不符合題意，舍去。當t=秒時，四邊形APQF是梯形。2、如圖所示，在菱形ABCD中，AB=4，BAD=120°，AEF為正三角形，點E、F分別在菱形的邊BCCD上滑動，且E、F不與BCD重合（1）證明不論E、F在BCCD上如何滑動，總有BE=CF；（2）當點E、F在BCCD上滑動時，分別探討四邊形AECF和CEF的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求出這

4、個定值；如果變化，求出最大（或最小）值【答案】解：（1）證明：如圖，連接AC四邊形ABCD為菱形，BAD=120°，BAE+EAC=60°，F(xiàn)AC+EAC=60°，BAE=FAC。BAD=120°，ABF=60°。ABC和ACD為等邊三角形。ACF=60°，AC=AB。ABE=AFC。在ABE和ACF中，BAE=FAC，AB=AC，ABE=AFC，ABEACF（ASA）。BE=CF。（2）四邊形AECF的面積不變，CEF的面積發(fā)生變化。理由如下：由（1）得ABEACF，則SABE=SACF。S四邊形AECF=SAEC+SACF=SAE

5、C+SABE=SABC，是定值。作AHBC于H點，則BH=2，。由“垂線段最短”可知：當正三角形AEF的邊AE與BC垂直時，邊AE最短故AEF的面積會隨著AE的變化而變化，且當AE最短時，正三角形AEF的面積會最小，又SCEF=S四邊形AECFSAEF，則此時CEF的面積就會最大SCEF=S四邊形AECFSAEF。CEF的面積的最大值是。（2） 由運動產生的線段和差問題（最值問題）1、如圖所示，已知A，B為反比例函數(shù)圖像上的兩點，動點P在x正半軸上運動，當線段AP與線段BP之差達到最大時，點P的坐標是【 】A. B. C. D. 【答案】D?！究键c】反比例函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標

6、與方程的關系，三角形三邊關系?！痉治觥堪袮，B分別代入反比例函數(shù) 得：y1=2，y2= ，A（ ，2），B（2， ）。在ABP中，由三角形的三邊關系定理得：|APBP|AB，延長AB交x軸于P，當P在P點時，PAPB=AB，即此時線段AP與線段BP之差達到最大。設直線AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐標代入得： ，解得：。直線AB的解析式是。當y=0時，x= ，即P（ ，0）。故選D。2、如圖，拋物線l交x軸于點A（3，0）、B（1，0），交y軸于點C（0，3）將拋物線l沿y軸翻折得拋物線l1（1）求l1的解析式；（2）在l1的對稱軸上找出點P，使點P到點A的對稱點A1及C兩點的距離差最

7、大，并說出理由；【答案】解：（1）如圖1，設經翻折后，點AB的對應點分別為A1、B1，依題意，由翻折變換的性質可知A1（3，0），B1（1，0），C點坐標不變，拋物線l1經過A1（3，0），B1（1，0），C（0，3）三點，設拋物線l1的解析式為y=ax2+bx+c，則，解得。拋物線l1的解析式為：y=x22x3。（2）拋物線l1的對稱軸為：x=，如圖2，連接B1C并延長，與對稱軸x=1交于點P，則點P即為所求。此時，|PA1PC|=|PB1PC|=B1C。設P為對稱軸x=1上不同于點P的任意一點，則有：|PAPC|=|PB1PC|B1C（三角形兩邊之差小于第三邊），|PAPC|PA1PC|，

8、即|PA1PC|最大。設直線B1C的解析式為y=kx+b，則，解得k=b=3。直線B1C的解析式為：y=3x3。令x=1，得y=6。P（1，6）。3、如圖，已知拋物線y=x2+bx+c與一直線相交于A（1，0），C（2，3）兩點，與y軸交于點N其頂點為D（1）拋物線及直線AC的函數(shù)關系式；（2）設點M（3，m），求使MN+MD的值最小時m的值；（3）若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點B，E為直線AC上的任意一點，過點E作EFBD交拋物線于點F，以B，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點E的坐標；若不能，請說明理由；（4）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求APC的面積的

9、最大值【答案】解：（1）由拋物線y=x2+bx+c過點A（1，0）及C（2，3）得，解得。拋物線的函數(shù)關系式為。設直線AC的函數(shù)關系式為y=kx+n，由直線AC過點A（1，0）及C（2，3）得，解得。直線AC的函數(shù)關系式為y=x+1。（2）作N點關于直線x=3的對稱點N， 令x=0，得y=3，即N（0，3）。N（6，3）由得D（1，4）。設直線DN的函數(shù)關系式為y=sx+t，則，解得。故直線DN的函數(shù)關系式為。根據軸對稱的性質和三角形三邊關系，知當M（3，m）在直線DN上時，MN+MD的值最小，。使MN+MD的值最小時m的值為。（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2）， 當BD為平行

10、四邊形對角線時，由B、C、D、N的坐標知，四邊形BCDN是平行四邊形，此時，點E與點C重合，即E（2，3）。 當BD為平行四邊形邊時，點E在直線AC上，設E（x，x+1），則F（x，）。又BD=2若四邊形BDEF或BDFE是平行四邊形時，BD=EF。，即。若，解得，x=0或x=1（舍去），E（0，1）。若，解得，E或E。綜上，滿足條件的點E為（2，3）、（0，1）、。（4）如圖，過點P作PQx軸交AC于點Q；過點C作CGx軸于點G， 設Q（x，x+1），則P（x，x2+2x+3）。 。 ，當時，APC的面積取得最大值，最大值為。4、如圖，已知拋物線經過A（4，0），B（2，3），C（0，3）三

11、點（1）求拋物線的解析式及對稱軸（2）在拋物線的對稱軸上找一點M，使得MA+MB的值最小，并求出點M的坐標（3）在拋物線上是否存在一點P，使得以點A、B、C、P四點為頂點所構成的四邊形為梯形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由【答案】解：（1）拋物線經過A（4，0），B（2，3），C（0，3）三點， ，解得。拋物線的解析式為：，其對稱軸為：。（2）由B（2，3），C（0，3），且對稱軸為x=1，可知點B、C是關于對稱軸x=1的對稱點。如圖1所示，連接AC，交對稱軸x=1于點M，連接MB，則MAMB=MAMC=AC，根據兩點之間線段最短可知此時MAMB的值最小。設直線AC的解析式為y

12、=kxb，A（4，0），C（0，3）， ，解得。直線AC的解析式為：y=x3。令x=1，得y= 。M點坐標為（1，）。（3）結論：存在。如圖2所示，在拋物線上有兩個點P滿足題意：若BCAP1，此時梯形為ABCP1。由B（2，3），C（0，3），可知BCx軸，則x軸與拋物線的另一個交點P1即為所求。在中令y=0，解得x1=-2，x2=4。P1（2，0）。P1A=6，BC=2，P1ABC。四邊形ABCP1為梯形。若ABCP2，此時梯形為ABCP2。設CP2與x軸交于點N，BCx軸，ABCP2，四邊形ABCN為平行四邊形。AN=BC=2。N（2，0）。設直線CN的解析式為y=k1x+b1，則有： ，解得。直線CN的解析式為：y=x+3。點P2既在