華師大八年級(jí)數(shù)學(xué)暑假專題輔導(dǎo) 函數(shù)解題中的數(shù)學(xué)思想應(yīng)用

1、. 暑假專題函數(shù)解題中的數(shù)學(xué)思想應(yīng)用重點(diǎn)、難點(diǎn) 數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用【典型例題】一. 方程思想的應(yīng)用 例1. 點(diǎn)Px，x+y與點(diǎn)Qy+5，x-7關(guān)于x軸對(duì)稱，那么點(diǎn)Q坐標(biāo)為_。 分析：P點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí)，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)相反 構(gòu)造方程組 解得： Q點(diǎn)坐標(biāo)為4，-3 例2. 一次函數(shù)的圖像經(jīng)過第一、二、三象限，求m的值。 分析：一次函數(shù)條件：x的次數(shù)為1 即： 得： 解得： 而當(dāng) 此時(shí)圖像經(jīng)過一、三、四象限 不符合題意，舍去 故m=3 例3. ：在ABC中，P為AB上一動(dòng)點(diǎn)P不與A、B重合，過點(diǎn)P作PE/BC交AC于E，連結(jié)BE，設(shè)AP=x，BPE的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并求自變量x的取

2、值范圍。 分析： 知道PE的長(zhǎng)、EC的長(zhǎng)是關(guān)鍵，而PE、EC與三角形相似有關(guān)。 所以此題借助比例式找出PE、EC與x之間的等量關(guān)系。 即：用含x的式子表示PE、EC，進(jìn)而得到函數(shù)關(guān)系式。 解： 二. 數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 例1. 一次函數(shù)的圖像經(jīng)過第_象限。 分析：充當(dāng)中的k，此時(shí)大于0 充當(dāng)中的b，此時(shí)小于0 那么根據(jù)直線，當(dāng)?shù)膱D象示意圖：可知圖像經(jīng)過一、三、四象限。 例2. 反比例函數(shù)是反比例函數(shù)圖象上的三個(gè)點(diǎn)，假設(shè)，試判斷的大小關(guān)系。 分析：反比例函數(shù)的圖像位于二、四象限 只需將在圖像上找到相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，那么可確定相應(yīng)的函數(shù)值。從而根據(jù)位置判斷大小。 y軸上，越往上數(shù)越大，所以。 例3. 如

3、下圖，一次函數(shù)的圖像過第一、三、四象限，且與雙曲線的圖像交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C，是終邊上的一點(diǎn)，假設(shè)，原點(diǎn)O到A點(diǎn)的間隔 為 1求A點(diǎn)坐標(biāo)； 2求反比例函數(shù)的解析式； 3假設(shè)，求一次函數(shù)的解析式。 分析：此題關(guān)鍵是在平面直角坐標(biāo)系中借助及，在Rt中求A點(diǎn)坐標(biāo)。從而進(jìn)一步借助到y(tǒng)軸間隔 等于，求出b，確定一次函數(shù)的解析式。 解：1設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為a，b，且 過A作軸交x軸于M 那么 在 所以點(diǎn)A坐標(biāo)為5，1 2此反比例函數(shù)解析式為 3，且OC=|b|，C在x軸下方 一次函數(shù)解析式為： 又直線過點(diǎn) 一次函數(shù)解析式為三. 分類討論思想的應(yīng)用 例1. 點(diǎn)N在x軸下方，且到x軸間隔 為2，到y(tǒng)軸間隔

4、為，那么點(diǎn)N的坐標(biāo)為_。 分析：設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為x，y 由題意得： 那么 又點(diǎn)N在x軸下方，y0 例2. 直線與直角坐標(biāo)系的兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為9，那么直線解析式為_。 分析：設(shè)直線與x軸交點(diǎn)為A，與y軸交點(diǎn)為B 那么 直線解析式為 例3. 點(diǎn)A為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)第四象限夾角平分線上一點(diǎn)，且OA=5，試在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)C，使得AOC為等腰三角形，并寫出C點(diǎn)坐標(biāo)。 分析：首先應(yīng)分別在x軸和y軸上找點(diǎn)C 其次，AOC應(yīng)分類找：1OA為腰；2OA為底當(dāng)C點(diǎn)在x軸上時(shí) 當(dāng)C點(diǎn)在y軸上時(shí) 四. 轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用 例1. 一次函數(shù)的圖像經(jīng)過二、三、四象限，求k的取值范圍。 分析：直線經(jīng)過二、三、四象限

5、那么 得： 所以 例2. 待定系數(shù)解題轉(zhuǎn)化為方程組 如：與成正比例，其中m，n是常數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系。 分析：設(shè) 當(dāng)時(shí)，得： 當(dāng)時(shí)，得： 解方程組 解得： 所求函數(shù)關(guān)系式為： 例3. 如下圖，直線與y軸交于點(diǎn)A0，3與x軸交于點(diǎn)B，正方形OPQR的兩邊在坐標(biāo)軸上，Q在直線AB上，OP：PB=1：2，求直線的解析式。 分析：求直線AB解析式，需要知道A、B坐標(biāo)。而A點(diǎn)0，3，那么OA=3，求B點(diǎn)即可，即求OB長(zhǎng)，此問題轉(zhuǎn)化為幾何問題。 又知PQRO為正方形，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為x，那么 B點(diǎn)坐標(biāo)為6，0 直線解析式為五. 幾何解題思想的綜合應(yīng)用 例：反比例函數(shù)和一次函數(shù)，其中一次函數(shù)

6、的圖象經(jīng)過a，b，a+1，b+k兩點(diǎn)。 1求反比例函數(shù)的解析式； 2如下圖，點(diǎn)A是上述兩個(gè)函數(shù)的圖象在第一象限的交點(diǎn)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)； 3利用2的結(jié)果，答復(fù)：在x軸上是否存在點(diǎn)P，使AOP為等腰三角形？假設(shè)存在，把符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)都求出來；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由。 分析：1由一次函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點(diǎn)a，b，a+1，b+k，代入消去a，b，可得k=2，進(jìn)而可確定反比例函數(shù)的關(guān)系式。 2將聯(lián)立成方程組，易求出點(diǎn)A的坐標(biāo)； 3應(yīng)根據(jù)OA為腰和底進(jìn)展分類，結(jié)合2探求出點(diǎn)P的存在性。 解：1依題意可得： 兩式相減，得 所以反比例函數(shù)的解析式為 2由，得， 經(jīng)檢驗(yàn)都是原方程組的解。 因?yàn)锳點(diǎn)在第一象限，所以

7、A點(diǎn)坐標(biāo)為1，1 3，OA與x軸所夾銳角為45 如圖下所示，當(dāng)OA為腰時(shí)，由OA=OP，得 由，得 當(dāng)OA為底時(shí)，得 所以這樣的點(diǎn)有4個(gè)，分別是、【模擬試題】答題時(shí)間：30分鐘 1. 反比例函數(shù)的圖象上兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有，那么m的取值范圍是_。 2. 反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限，那么一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第_象限。 3. 直線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，且y隨x的增大而減小，那么m的取值范圍是_。 4. 三角形三邊長(zhǎng)為3cm，5cm，xcm，那么三角形的周長(zhǎng)為與的函數(shù)關(guān)系式是_，自變量x的取值范圍是_。 5. 當(dāng)m取何值時(shí)，函數(shù)是x的一次函數(shù)？它是否是正比例函數(shù)？ 6. 一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三、

8、四象限，求m的取值范圍。 7. 直線和直線的交點(diǎn)在第_象限。 8. 兩個(gè)一次函數(shù)的圖象交于y軸上一點(diǎn)A，分別交x軸于點(diǎn)B、C，如下圖，假設(shè)|OB|：|OA|：|OC|=1：2：3，且ABC的面積是16，求兩函數(shù)的解析式。 9. 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在第二象限，且m為整數(shù)，那么過點(diǎn)A的反比例函數(shù)的解析式為_。 10. 假如一次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為10，那么此一次函數(shù)為_。 11. 點(diǎn)A是正比例函數(shù)和反比例函數(shù)在第一象限的交點(diǎn) 1求點(diǎn)A的坐標(biāo)； 2假如直線經(jīng)過點(diǎn)A且與x軸交于點(diǎn)C，求b及點(diǎn)C的坐標(biāo)。 12. 如下圖，在第四象限內(nèi)的矩形OABC，兩邊在坐標(biāo)軸上，一個(gè)頂點(diǎn)在一次

9、函數(shù)的圖象上，當(dāng)點(diǎn)A從左向右挪動(dòng)時(shí)，矩形的周長(zhǎng)與面積也隨之發(fā)生變化，設(shè)線段OA長(zhǎng)m，矩形的周長(zhǎng)為，面積為s。 1試分別寫出與m的函數(shù)關(guān)系； 2能否求出當(dāng)m取何值時(shí)，矩形的周長(zhǎng)最大？為什么？ 3你能否估計(jì)矩形的面積是否有最大值，簡(jiǎn)單說一下你的想法？【試題答案】 1. 2. 三 3. 4. 5. 解：， 那么 ，它是一次函數(shù)也是正比例函數(shù)。 6. 解：， 7. 三 8. 解：設(shè) 直線AB解析式為，直線AC解析式為 9. 10. 11. 解：1，解得：不合題意，舍去 2經(jīng)過點(diǎn) 那么 12. 解：1由題意得， 2周長(zhǎng)的一次函數(shù)，且的增大而增大。是否有最大值，關(guān)鍵在于m的取值范圍。與x軸交點(diǎn)為6，0，所以