《淺析初中數(shù)學(xué)探索性問題之解題對策》

1、淺析初中數(shù)學(xué)探索性問題之解題對策玉溪市紅塔區(qū)大營街一中 申 光 躍摘要：數(shù)學(xué)探索性問題是學(xué)生動手實踐、自主探索的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，全面提高數(shù)學(xué)素質(zhì)有著極其重要的作用和價值，近年來全國各地中考命題更加注重對創(chuàng)新問題的研究和設(shè)計，其中探索性試題無論從素材的選擇、情景的設(shè)置、文字的表達(dá)，都出現(xiàn)了某些新的特點。本文初探這類試題的若干常見類型及解題對策。主題詞 : 探索題 解題 策略 探索性問題是開放性問題的一種，指那些題目條件不完整或結(jié)論不明確的問題。探索性問題既能達(dá)到考查學(xué)生能力的目的，又不至于讓學(xué)生因過于開放而無從下手。它的解題思路對學(xué)生來說若隱若現(xiàn)，解題方法若有若無，需要

2、學(xué)生通過對問題的觀察、分析、嘗試、猜想、判斷、歸納、總結(jié)等活動，逐步探索出正確的條件與結(jié)論。探索性問題的解答過程本身就是一個探索、發(fā)現(xiàn)的過程，這一類問題對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力、想象力和探究力有很大的幫助，對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識有著及其重要的作用，對全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)具有重要的價值。有助于學(xué)生創(chuàng)造性的發(fā)揮，因此倍受中考命題者的青睞。近年來全國各地中考命題更加注重對創(chuàng)新問題的研究和設(shè)計，其中探索性試題無論從素材的選擇、情景的設(shè)置、文字的表達(dá)，都出現(xiàn)了某些新的特點，這類頗具創(chuàng)新的探索性試題脫穎而出。本文初探這類試題的若干常見類型及解題對策，與共商榷。 一、歸納猜想，證明結(jié)論數(shù)學(xué)猜想是指求解過程

3、中，依據(jù)某些數(shù)學(xué)知識和已知事實，運用自己已有的經(jīng)驗和方法，對其作總體的觀察、分析后產(chǎn)生頓悟，從而作出猜想判斷的一種思想方法。有些探索性的問題可以先通過觀察、試驗、比較、分析，從特殊到一般，再由一般到特殊，然后進(jìn)行類比、猜想、歸納，探索出存在的一般規(guī)律，得出結(jié) 第 1頁論，然后加以證明。這就要求學(xué)生必須進(jìn)行多方位、多角度、多層次探索，以檢驗學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)新性例1 .（2000年河北中考題）（1）判斷下列各式是否成立，你認(rèn)為成立的請在括號內(nèi)打“”，不成立的打“”。 ； （ ） ； （ ） ； （ ） . （ ）(2)你判斷完以上各題后,發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?請用含有字母n的式子將這個規(guī)律表示出來,

4、并注明n的取值范圍.(3)請用數(shù)學(xué)知識說明你所寫式子的正確性.解:(1)經(jīng)運算檢驗得知,、都正確.全部打“”.(2) (n為大于1的自然數(shù)).(3) .說明：本例首先對4個具體算式進(jìn)行觀察分析其運算的操作過程，然后概括 第 2頁并猜出一般的規(guī)律，最后再進(jìn)行論證。 解這類題的關(guān)鍵在于觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律，觀察的角度雖然多樣化，但最常見的只有兩種，一是觀察數(shù)字間的大小關(guān)系；二是觀察式子間的結(jié)構(gòu)特征，或者二者兼而有之，對觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律后應(yīng)代入適當(dāng)?shù)臄?shù)字進(jìn)行驗證或換一種角度重新觀察并 加以比較。二、反設(shè)存在，合情探索 對于“是否存在”問題，無論用什么方法，只要找出一個滿足條件的事物，就說明存在。有時可先假設(shè)滿足

5、條件的事物存在，如果經(jīng)過嚴(yán)格的邏輯推理沒有發(fā)生矛盾，即可肯定所作的假設(shè)成立。 例2關(guān)于的方程是否存在負(fù)數(shù)，使方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于4？若存在，求出滿足條件的值；若不存在，請說明理由。 解：設(shè)方程的兩個實數(shù)根是、，由根與系數(shù)的關(guān)系， 得: += , =. 又由題意得： . 所以 =4, 解得(不合題意,舍去) 當(dāng)時, =200. 因此存在滿足條件的負(fù)數(shù).即-1. 說明:本題是一個含有字母系數(shù)的一元二次方程,因此有實數(shù)根的先決條件是判別式0,這個條件可以先給出,也可以在后面做檢驗之用,但是不可以忽略。 第 3頁三、假設(shè)存在，予以反證 對于“是否存在”問題，也可以先假定結(jié)論中相對立的某一方面成

6、立，然后進(jìn)行演繹推理，若出現(xiàn)矛盾，即可否定先前的假設(shè)，從而得出相應(yīng)的結(jié)論。 例3. 如圖1,已知中，AB4，D在AB邊上移動（不與A 、B重合）,DEBC，交 AC于E,連結(jié)CD.設(shè). AECBD 圖1 當(dāng)D為AB中點時,求的值; 若AD=,=,求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍; 是否存在點D,使得成立?若存在,求出D點的位置;若不存在,請說明理由.解:前兩小題這里不作分析,結(jié)果是:=；,自變量的取值范圍是04；第小題是一道典型的不存在探索型題,下面用假設(shè)法來解.假設(shè)存在點D,使得成立,那么,即 . 第 4頁 ,即0. 顯然對于0的不存在.可見假設(shè)不成立. 因此不存在點D,使得成立. 說明

7、:本題的第(3)問是用假設(shè)法予以證明的。首先假設(shè)存在這樣的點D，然后導(dǎo)出0矛盾，究竟在什么地方導(dǎo)出矛盾，常常事先也并不十分清楚，故亦屬于開放的。 四、轉(zhuǎn)化命題，化難為易 有時對于滿足題設(shè)的數(shù)學(xué)對象是否存在，很難作出正確的判斷，這時，可設(shè)法將該命題轉(zhuǎn)化為另一個表達(dá)形式較為通俗的新命題，再去解答。例4.如圖2，有一塊半圓形的木板，現(xiàn)在把它截成三角形板塊，三角形的兩個頂點分別為A、B,另一個頂點在弧AB上。問怎樣截取才能使截出的三角形面積最大（要求說明理由）。CAODB圖2 解:作OCAB交 弧AB于點C，連結(jié)AC、BC,則所裁出的ABC的面積最大，證明如下: 在弧AB上任取一點(不同于點C), 連

8、結(jié) A、B,過點作 DAB,垂足為D(如圖2)，則： ABCO , ABD. 第 5頁連結(jié)O,則O=OC, 在RtOD中 ,OD,所以O(shè)C D,故. 說明:把 與其它的任意三角形情況比較，如果可以證明 最大，就在理論上完成了證明過程。此題的證明辦法是利用圓半徑進(jìn)行轉(zhuǎn)化的，使它們匯聚在一個直角三角形中去比較的。 五、數(shù)形結(jié)合，相互轉(zhuǎn)化 有些題目需要把數(shù)量關(guān)系與圖形特征結(jié)合起來進(jìn)行分析、研究而解決問題的思想,稱之為數(shù)形結(jié)合思想.這一思想在解答函數(shù)與圖象等題目中,非常必要而且非常有效。例5.如圖3,關(guān)于的二次函數(shù)的圖象與交于兩點()，與軸交于點C，且BAC=BCO. CEyxAODBMGH F 圖3

9、（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）以點為圓心作D，與軸相切于點O,過拋物線上一點作軸的平行線與D交于F、G兩點，與拋物線交于另一點H。問：是否存在實數(shù)t，使得EF+GH=FG ?如果存在，求出t值；如果不存在，請說明理由。 解： BACBCO , BOCAOC ,BOCCOA.第 6頁有，得，又AO= , OB= ,=-m0 所以m0 .則CO= m ,AOOB=m 所以,解得 (不合題意,舍去).故拋物線得解析式為 . (2)過D作DMEH于M,連DG. 因為DG=DO=, FG=2MG=若EF+GH=FG成立,則EH=2FG.由EF軸,設(shè)點E的坐標(biāo)為，點H的坐標(biāo)為,又 E、H為拋物線上的

10、兩個點,所以即是方程的兩個不相等的實數(shù)根,所以+=2 , =-(1+t). 因為0 所以0則 EH=-= =. 所以=22.即. 解得 : , (不合題意,舍去). 故存在實數(shù) , 使得EF+GH=FG . 說明:解這類題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，做好數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化。如本例中二次函數(shù)的常數(shù)項是其圖象與軸交點的縱坐標(biāo),圖象與軸的交點的橫坐標(biāo)是與二次函數(shù)相對應(yīng)的一元二次方程的兩實數(shù)根等等，這些都是解題的重要信息。六、分類討論，不重不漏 第 7頁數(shù)學(xué)中的分類討論思想就是把研究對象所可能出現(xiàn)的情況不重復(fù)，無遺漏的分別加以討論，從而獲得完整的解答。 例6已知，是關(guān)于的一元二次方程的兩個非零實數(shù)根。問與能否同號

11、？若能同號，請求出相應(yīng)的m的取值范圍；若不能同號，請說明理由。 解：因為關(guān)于的方程有兩個非零實數(shù)根，則 ,所以,m ,又.假設(shè)、同號,則有兩種可能: 若,則有 0 1-m00 即 0 解得 . 此時的取值范圍是 .若,則有m00 解得1.而當(dāng)時方程才有實數(shù)根.故此種情況不可能存在.綜上所述,當(dāng)?shù)娜≈捣秶鸀闀r,方程的兩個實數(shù)根同號.說明:涉及一元二次方程的參數(shù)問題,常需作分類討論,其中特別要注意判別 第8頁式、二次項的系數(shù)、根與系數(shù)關(guān)系等問題.分類討論的思想應(yīng)用很廣,在開放性試題中應(yīng)尤為注意。探索性問題很好地體現(xiàn)了新課程標(biāo)準(zhǔn)的理念中提出的“逐步培養(yǎng)學(xué)生:會觀察、比較、分析、綜合、抽象和概括；會用歸納演繹和類比進(jìn)行推理；會準(zhǔn)確地闡述自己的思想和觀點；形成良好的思維品質(zhì)?！钡木?。中考數(shù)學(xué)命題：“堅持體現(xiàn)素質(zhì)教育的要求，加強(qiáng)與社會實際和學(xué)生生活實際的聯(lián)系，重視對學(xué)生運用所學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能，分析問題和解決問題的能力的考查。”在中考中出現(xiàn)探索性問題，不僅能反映學(xué)生的思維能力，而且使中考試卷具有較好的區(qū)分度，具有一定的選拔人才的功能，并有