圖形的運(yùn)動(dòng)內(nèi)容分析與教學(xué)建議

1、圖形的運(yùn)動(dòng)內(nèi)容分析與教學(xué)建議運(yùn)動(dòng)是世間萬(wàn)物的基本特征，是物質(zhì)存在的基本形式。圖形的運(yùn)動(dòng)在義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程中最基本的形式有兩種：一是形狀和大小不變，僅僅位置發(fā)生變化（合同運(yùn)動(dòng)）；二是形狀不變而大小變化（相似運(yùn)動(dòng)）。數(shù)學(xué)家A.D.莫肯說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)的運(yùn)動(dòng)能量不是推理，而是聯(lián)想與變換。”通過(guò)感知和初步學(xué)習(xí)圖形的運(yùn)動(dòng)，不僅有助于學(xué)生從運(yùn)動(dòng)變化的角度去認(rèn)識(shí)事物，去了解圖形之間的關(guān)系，從而發(fā)展學(xué)生的空間觀念與幾何直觀，還有利于學(xué)生體驗(yàn)學(xué)習(xí)“圖形與幾何”的樂(lè)趣，積累幾何活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神。幾何圖形的運(yùn)動(dòng)變換是一個(gè)復(fù)雜的課題。在這一講，我們主要討論有關(guān)圖形的運(yùn)動(dòng)內(nèi)容與教學(xué)建議。

2、問(wèn)題1為什么要在小學(xué)階段增加“圖形的運(yùn)動(dòng)”這個(gè)內(nèi)容？修訂后的標(biāo)準(zhǔn)在“圖形與幾何”領(lǐng)域仍然保留了“平移，旋轉(zhuǎn)，放大與縮小這些內(nèi)容”，只是把“圖形與變換”改為“圖形的運(yùn)動(dòng)”。為什么要在小學(xué)階段新增這個(gè)內(nèi)容，學(xué)習(xí)它的價(jià)值呢？回答這個(gè)問(wèn)題，我們不妨從學(xué)生和數(shù)學(xué)教育發(fā)展的歷史視角切入討論。1、 從學(xué)生角度來(lái)看現(xiàn)實(shí)生活中存在著大量的圖形的變換的現(xiàn)象，學(xué)生有豐富的生活經(jīng)驗(yàn)，例如，電梯、地鐵列車在平行移動(dòng)；鐘面指針、自行車輪、電風(fēng)扇葉片在旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)；許多年畫、卡通動(dòng)物、建筑物的形狀具有對(duì)稱性。這些現(xiàn)象為兒童學(xué)習(xí)圖形的變換提供了豐富多彩的現(xiàn)實(shí)背景。我們希望提供給學(xué)生一種數(shù)學(xué)的眼光，去認(rèn)識(shí)和把握這些現(xiàn)象，通過(guò)圖形的

3、運(yùn)動(dòng)探索發(fā)現(xiàn)并確認(rèn)圖形的一些性質(zhì)，有助于學(xué)生發(fā)展幾何直觀能力和空間觀念，有利于學(xué)生提高研究圖形性質(zhì)的興趣、體會(huì)研究圖形性質(zhì)可以有不同的方法。2、 從數(shù)學(xué)發(fā)展的角度來(lái)看1872年，德國(guó)大數(shù)學(xué)家克萊茵發(fā)表“愛(ài)樂(lè)蘭根綱領(lǐng)”的演說(shuō)，這個(gè)里程碑式的論斷，改變了近兩千年來(lái)人們用靜止的觀點(diǎn)研究幾何的傳統(tǒng)方法。與靜態(tài)地研究圖形與幾何的性質(zhì)不同，圖形的變換是從運(yùn)動(dòng)變化的角度去探索和認(rèn)識(shí)圖形與幾何的性質(zhì)，哲學(xué)與設(shè)計(jì)圖案，是發(fā)展學(xué)生空間觀念和思維能力的重要內(nèi)容。問(wèn)題2“圖形的運(yùn)動(dòng)”這一部分的要求是什么？有什么變化？按照標(biāo)準(zhǔn)的要求，小學(xué)16年級(jí)圖形的運(yùn)動(dòng)主要涉及平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱及簡(jiǎn)單的圖形相似這樣一些內(nèi)容。在第一、二

4、學(xué)段中圖形的運(yùn)動(dòng)主要是合同運(yùn)動(dòng)，包括圖形的平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱。第一學(xué)段中，學(xué)生借助日常生活中對(duì)圖形運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象的觀察與直觀感受，了解平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱；并認(rèn)識(shí)兩個(gè)圖形具有平移或軸對(duì)稱的關(guān)系。提供大量的豐富的圖形運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象，引導(dǎo)學(xué)生充分地觀察、想象，運(yùn)用日常生活中已經(jīng)積累的有關(guān)經(jīng)驗(yàn)，歸納、發(fā)現(xiàn)各種運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，是達(dá)成這個(gè)課程目標(biāo)的有效途徑。新課標(biāo)提倡我們組織學(xué)生分組悼念日常生活中常見(jiàn)的圖形（如新課標(biāo)中案例21）生活中的軸對(duì)稱圖形。引導(dǎo)學(xué)生觀察它們是否有對(duì)稱軸，若有對(duì)稱軸，數(shù)出或說(shuō)出有幾條對(duì)稱軸，嘗試畫出它們的對(duì)稱軸。在課堂中展示、交流大家的發(fā)現(xiàn)，并嘗試設(shè)計(jì)出一些軸對(duì)稱圖形。說(shuō)明這個(gè)活動(dòng)可以鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)觀

5、察，設(shè)法收集（如可以使用數(shù)碼相機(jī)或現(xiàn)場(chǎng)素描等）軸對(duì)稱圖形。學(xué)生可以結(jié)合自己的生活環(huán)境發(fā)現(xiàn)、找出他們熟悉的圖形對(duì)象中隱藏的對(duì)稱軸，并在交流過(guò)程中豐富自己的經(jīng)驗(yàn)。在交流大家收集到的圖形的基礎(chǔ)上，教師進(jìn)一步鼓勵(lì)學(xué)生自己設(shè)計(jì)軸對(duì)稱圖形，并交流自己設(shè)計(jì)的圖形所表達(dá)的意思。第二學(xué)段中，圖形的運(yùn)動(dòng)的課程內(nèi)容及要求主要有以下幾個(gè)方面：（ 1） 按要求在方格紙上畫出一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)平移或旋轉(zhuǎn)后所得的圖形，會(huì)補(bǔ)全一個(gè)軸對(duì)稱圖形圖形的運(yùn)動(dòng)以小學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平來(lái)說(shuō)，是比較抽象的，有一定的難度。把抽象的空間意識(shí)轉(zhuǎn)化為具體的、容易操作的教與學(xué)的過(guò)程，方格紙起到了很好的作用，在第一、二學(xué)段，方格紙是學(xué)生認(rèn)識(shí)圖形運(yùn)動(dòng)的平臺(tái)，利用它

6、可以準(zhǔn)確地描述圖形位置、定量刻畫圖形的運(yùn)動(dòng)，這樣的描述和刻畫又能加深學(xué)生對(duì)圖形運(yùn)動(dòng)的認(rèn)識(shí)和理解。標(biāo)準(zhǔn)只要求圖形沿水平或豎直方向平移，圖形繞著一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90。如在方格紙上認(rèn)識(shí)圖形的平移與旋轉(zhuǎn)，能在方格紙上按水平或垂直方向?qū)⒑?jiǎn)單圖形平移，會(huì)在方格紙上將簡(jiǎn)單圖形旋轉(zhuǎn)90。標(biāo)準(zhǔn)不要求圖形沿其他方向平移或繞著一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度。方格紙能幫助學(xué)生更準(zhǔn)確地認(rèn)識(shí)和理解圖形基本特征，能更好地使學(xué)生認(rèn)識(shí)和描述空間圖形的變換過(guò)程，可以有效地促進(jìn)學(xué)生對(duì)空間概念的建立。（2）研究圖形的相似運(yùn)動(dòng)，即將圖形放大或縮小第二學(xué)段要求“能利用方格紙按一定比例將簡(jiǎn)單圖形放大或縮小”，這里的“放大或縮小”不是嚴(yán)格的相似，主要是直觀感知，

7、即放大或縮小后圖形與原來(lái)的圖形形狀相同而大小不同。這將為第三學(xué)段研究圖形的相似運(yùn)動(dòng)和位似運(yùn)動(dòng)奠定基礎(chǔ)。（3）綜合運(yùn)用圖形的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行圖案的欣賞與設(shè)計(jì)學(xué)生對(duì)圖形運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)的了解、能夠在方格紙上按要求畫出運(yùn)動(dòng)后的圖形是圖案的欣賞和設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。圖案的欣賞與設(shè)計(jì)為學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看世界、看生活提供了機(jī)會(huì)，使學(xué)生進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)的美、數(shù)學(xué)的價(jià)值。欣賞或設(shè)計(jì)一個(gè)圖案時(shí)，不同的學(xué)生會(huì)有不同的感受、不同的解釋、不同的想象，只要是合理的都應(yīng)予以肯定，并進(jìn)行交流與分享；但應(yīng)要求學(xué)生用自己的語(yǔ)言表達(dá)圖案中的圖形運(yùn)動(dòng)關(guān)系，從而更好地體會(huì)圖形的運(yùn)動(dòng)在圖案欣賞和設(shè)計(jì)中的作用。如新課標(biāo)中例35圖畫還原。打亂由幾塊積木或者幾幅圖

8、畫構(gòu)成的平面畫面，請(qǐng)學(xué)生還原并利用平移和旋轉(zhuǎn)記錄還原步驟。說(shuō)明在這個(gè)案例中，學(xué)生通過(guò)實(shí)際操作進(jìn)一步理解平移和旋轉(zhuǎn)，不僅能增加問(wèn)題的趣味性，還可以讓學(xué)生感悟幾何運(yùn)動(dòng)也是可以記錄的，體驗(yàn)選取最佳方案的過(guò)程。教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，可關(guān)注如下要點(diǎn)：（ 1） 完成還原積木的任務(wù)一定要從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，如圖，先打亂四塊積木中的下面兩塊，讓學(xué)生嘗試思考的過(guò)程。學(xué)生有了一定經(jīng)驗(yàn)后，可以打亂三塊或四塊積木，讓學(xué)生繼續(xù)嘗試。（ 2） 可以分小組進(jìn)行。為了記錄準(zhǔn)確，事先要確定每一個(gè)步驟的代表符號(hào)。（ 3） 小組活動(dòng)時(shí)，可以先討論，確定一個(gè)大概的還原路線，然后操作驗(yàn)證。（ 4） 小組成員共同操作，進(jìn)行比較，驗(yàn)證確定的路線。標(biāo)準(zhǔn)修訂

9、前后具體目標(biāo)有一些具體變化總體上看，修訂后的課標(biāo)在這部分降低了難度，更加強(qiáng)調(diào)觀察與操作，積累學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。過(guò)程中大量的操作性活動(dòng)，有利于學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)予以充分的重視。這些畫圖和設(shè)計(jì)圖案的活動(dòng)，既可以加深學(xué)生對(duì)圖形對(duì)稱性的理解，又能激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，感悟數(shù)學(xué)的美及其應(yīng)用價(jià)值。問(wèn)題3什么是平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱？對(duì)于這部分內(nèi)容，小學(xué)生通過(guò)操作活動(dòng)能直觀感受到，平移就是沿著一定的方向移動(dòng)了一定的距離；旋轉(zhuǎn)就是繞一個(gè)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一定的角度。在圖形的變換中有一個(gè)非常重要的變換，就是全等變換，或者叫合同變換。如果圖形經(jīng)過(guò)變換后與原來(lái)的圖形是重合的，也就是圖形的形狀、大小不發(fā)生變化，那么這個(gè)圖

10、形的變換就叫全等變換，它本質(zhì)上是兩點(diǎn)之間的距離不發(fā)生變化，換句話說(shuō)在原來(lái)的圖形中，任意兩點(diǎn)的距離假設(shè)是L，經(jīng)過(guò)變換后的兩點(diǎn)之間的距離仍是L，所以全等變換是一個(gè)保距變換，距離不變，圖形的形狀、大小不變。全等變換的幾種方式?？梢灾庇^地想一想，兩個(gè)圖形是完全一樣的，要由一個(gè)圖形運(yùn)動(dòng)得到另一個(gè)圖形，可以通過(guò)怎樣的運(yùn)動(dòng)。首先可以是平移，平移到一定位置上，或者說(shuō)對(duì)于三角形有一個(gè)頂點(diǎn)能夠重合，這時(shí)候無(wú)非有兩種情況：一種情況是兩個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的順序是一致的，這時(shí)需要經(jīng)過(guò)反射（番轉(zhuǎn)兩個(gè)圖形就重合了。上面的變換就是我們所說(shuō)的平移、旋轉(zhuǎn)變換和反射變換。它們是三種基本的全等變換。反射變換有的教師把它叫軸對(duì)稱變換，

11、實(shí)際一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)反射變換后得到另一個(gè)圖形，這兩個(gè)圖形是成軸對(duì)稱的。具體的什么叫平移，什么叫旋轉(zhuǎn)，什么叫反射，我們不給出數(shù)學(xué)上嚴(yán)格的定義，而是直觀地給予解釋，并指出這些變換的基本要素。如上圖，如果原圖形中任意一個(gè)點(diǎn)到新圖形中相對(duì)應(yīng)點(diǎn)的邊線方向相同，長(zhǎng)度也相等，這樣的全等變換稱為平移變換，簡(jiǎn)稱平移。也就是說(shuō)，平移的基本特征是，圖形平移前后“每一點(diǎn)與它對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的邊線互相平行并且相等”。顯然，確定平移變換需要兩個(gè)要素：一是方向，二是距離。如上圖，旋轉(zhuǎn)的基本特征是圖形旋轉(zhuǎn)前后“對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，并且各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心邊線的夾角都等于旋轉(zhuǎn)的角度”。顯然，確定旋轉(zhuǎn)變換需要兩個(gè)要素：一是旋轉(zhuǎn)中心

12、，二是旋轉(zhuǎn)角度（有方向）。如果連接新圖形與原圖形中每一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段都和同一條直線垂直被該直線平分，這樣的例行變換稱為反射變換。街平分對(duì)稱點(diǎn)所邊線段的直線叫對(duì)稱軸。也就是說(shuō)，反射變換的基本特征是“連接任意一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段都被對(duì)稱軸垂直平分”。顯然，確定反射變換的關(guān)鍵在于找到對(duì)稱軸。問(wèn)題4“圖形的運(yùn)動(dòng)”內(nèi)容常用的教學(xué)策略有哪些？1、 結(jié)合生活實(shí)例，在觀察與比較中認(rèn)識(shí)圖形的運(yùn)動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)要求課程內(nèi)容要反映社會(huì)的需要，數(shù)學(xué)學(xué)科的特征，也要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。課程內(nèi)容的選擇要貼近學(xué)生實(shí)際，有利于學(xué)生體驗(yàn)、思考與探索。因?yàn)閮和某橄笏季S需要具體形象思維與生活經(jīng)驗(yàn)給予支撐，對(duì)感知圖形運(yùn)動(dòng)這樣的抽象概念來(lái)說(shuō)尤其重

13、要。小學(xué)階段關(guān)于圖形的運(yùn)動(dòng)鞋定位是積累感性體驗(yàn)，形成初步認(rèn)識(shí)。因此結(jié)合實(shí)例展開(kāi)教學(xué)是一條相當(dāng)重要的教學(xué)策略。在生活中有很多圖形或圖案呈現(xiàn)出對(duì)稱、平移或旋轉(zhuǎn)的形式，通過(guò)對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)變換同樣可以設(shè)計(jì)制作美麗的圖案。因此，在教學(xué)中，我收集一些這樣的素材，通過(guò)學(xué)生的觀察、比較，引導(dǎo)學(xué)生從運(yùn)動(dòng)變化的角度去發(fā)現(xiàn)不同的圖形變換。例如，教學(xué)“圖形的變換”時(shí)豐富教材中的典型素材，注意融入人像道閘、車輪、鐘擺等素材，并利用信息技術(shù)動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)，讓學(xué)生進(jìn)一步感知旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象。在教學(xué)“軸對(duì)稱變換時(shí)”，可借助一組學(xué)生在生活中喜聞樂(lè)見(jiàn)的民族特點(diǎn)濃厚的素材。這樣做，一方面有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)圖形運(yùn)動(dòng)的興趣，另一方面使學(xué)生進(jìn)一步體

14、會(huì)到數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生的概括能力。2、 借助操作活動(dòng)，加深對(duì)圖形運(yùn)動(dòng)的認(rèn)識(shí)，幫助學(xué)生體會(huì)變換的特征加強(qiáng)學(xué)生操作活動(dòng)也是提高圖形變換教學(xué)成效的一個(gè)策略。操作是一種重要的實(shí)踐活動(dòng)。圖形變換的操作主要是在方格低上畫一個(gè)圖形經(jīng)某變換后的圖形和剪對(duì)稱圖形。教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手操作，并在操作過(guò)程中積極思考、發(fā)展思維能力。學(xué)生對(duì)這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)還存在一些困難，比如學(xué)生在方格紙上進(jìn)行圖形平移，在找平移距離的時(shí)候，不是找平移前后兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離，而是找中間空白那一段的距離。要克服這個(gè)困難，最重要的還是操作。有的教師反映，學(xué)生在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，對(duì)確定旋轉(zhuǎn)角度感覺(jué)很困難，我覺(jué)得這也是鼓勵(lì)學(xué)生去操作。比如，

15、有的教師在教學(xué)中就是這樣處理，甭管是什么圖形，都套在一個(gè)正方形或一個(gè)圓上，運(yùn)動(dòng)時(shí)等于在變換正方形和圓。再如，在教學(xué)“線的旋轉(zhuǎn)”環(huán)節(jié)讓學(xué)生通過(guò)用鉛筆表示線段在桌面方格中以三種不同的旋轉(zhuǎn)中心。筆尖、鉛筆尾與鉛筆中點(diǎn)）進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。來(lái)感悟旋轉(zhuǎn)中心可以是線段上的任意點(diǎn)。為后面在方格紙上畫線段提供實(shí)物依據(jù)。當(dāng)然，操作還應(yīng)該與適應(yīng)的想象相結(jié)合。低年級(jí)學(xué)生可以先操作然后回想變換的過(guò)程，高年級(jí)學(xué)生可以先想象，再操作，再回想。3、 注重從變換的角度，引導(dǎo)學(xué)生欣賞圖形、設(shè)計(jì)圖案學(xué)習(xí)圖形與變換內(nèi)容的一個(gè)重要目的是使學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的眼光看待現(xiàn)實(shí)世界，因此，教學(xué)中應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生從變換的角度欣賞圖形，設(shè)計(jì)圖案。例如，在生活中隨處可

16、見(jiàn)的美麗圖案，學(xué)生在觀察這些圖案時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)其中包含的熟悉的圖形；可以運(yùn)用數(shù)學(xué)的眼光分析圖案的組成（如是否運(yùn)用了變換）；可以欣賞這些各具特色的圖案，發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)涵的對(duì)稱美、和諧美、簡(jiǎn)明美；可以以此為出發(fā)，發(fā)揮自己的修改和創(chuàng)造力，親自動(dòng)手設(shè)計(jì)圖案。標(biāo)準(zhǔn)還要求能畫出簡(jiǎn)單平面圖形（點(diǎn)、線段、直線、三角形等）關(guān)于線段對(duì)稱軸的對(duì)稱圖形；認(rèn)識(shí)并欣賞自然界和現(xiàn)實(shí)生活中的軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱圖形，認(rèn)識(shí)并欣賞平移在自然界和現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用；運(yùn)用圖形的軸對(duì)稱旋轉(zhuǎn)，平移進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)。這些畫圖和設(shè)計(jì)圖案的活動(dòng)，既可以加深學(xué)生對(duì)圖形對(duì)稱性的理解，又可以激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，感悟數(shù)學(xué)的美及其應(yīng)用價(jià)值。如在“圖形旋轉(zhuǎn)”一課“感

17、悟旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用”環(huán)節(jié)中，我借助信息技術(shù)，動(dòng)態(tài)體現(xiàn)一些基本圖形旋轉(zhuǎn)后形成的美麗圖案，鼓勵(lì)學(xué)生從變換的角度哲學(xué)圖形與圖案，感受其中蘊(yùn)涵的對(duì)稱美、和諧美、簡(jiǎn)明美。并能從不同角度觀察圖形，識(shí)別不同的基本圖形發(fā)生了怎樣的變換之后，形成了同一個(gè)圖形，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，為后面學(xué)習(xí)靈活應(yīng)用對(duì)稱、平移和旋轉(zhuǎn)自己設(shè)計(jì)、制作方案做了孕伏。在解決問(wèn)題中注重“圖形的運(yùn)動(dòng)”和相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系，發(fā)展空間想象力，解決問(wèn)題的能力。對(duì)于圖形的認(rèn)識(shí)，可以從靜態(tài)的角度去認(rèn)識(shí)它，也可以從動(dòng)態(tài)的角度豐富對(duì)它的認(rèn)識(shí)。比如對(duì)角的認(rèn)識(shí)，曾經(jīng)有一個(gè)教師列舉過(guò)學(xué)生的一個(gè)常見(jiàn)錯(cuò)誤：低年級(jí)學(xué)生老有一種混淆，認(rèn)為角的大小與畫出的角的兩條邊的長(zhǎng)短有關(guān)，其實(shí)，對(duì)于低年級(jí)學(xué)生也是正常的，如果從靜態(tài)上去觀一個(gè)角，孩子比較容易關(guān)注它的明顯因素兩條邊，而相對(duì)不明顯的“角的張口的大小”，學(xué)生不容易觀察到，如果這時(shí)候，教師鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)態(tài)地去認(rèn)識(shí)角，比如利用活動(dòng)角不斷張開(kāi)，學(xué)生會(huì)慢慢關(guān)注角的張口。事實(shí)上，利用圖形的運(yùn)動(dòng)（變換）來(lái)認(rèn)識(shí)圖形，是將靜態(tài)認(rèn)識(shí)與動(dòng)態(tài)認(rèn)識(shí)相結(jié)合的一個(gè)途徑。（ 1） 從變換角度認(rèn)識(shí)圖形在認(rèn)識(shí)圖形的教學(xué)過(guò)程中，可以借助變換，動(dòng)態(tài)直觀的刻畫圖形的