31　數(shù)學(xué)歸納法原理

1、3.1數(shù)學(xué)歸納法原理3.1.1數(shù)學(xué)歸納法原理3.1.2數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用舉例1.理解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍.2.會(huì)利用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單問題.基礎(chǔ)·初探教材整理1歸納法由有限多個(gè)個(gè)別的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法，通常稱為歸納法.設(shè)函數(shù)f(x)(x>0)，觀察：f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x)，根據(jù)以上事實(shí)，歸納推理，得當(dāng)nN且n2時(shí)，fn(x)f(fn1(x)_.【解析】依題意，先求函數(shù)結(jié)果的分母中x項(xiàng)的系數(shù)所組成數(shù)列的通項(xiàng)公式，由1,3,7,15，可推知a n2n1.又函數(shù)結(jié)果的分母中常數(shù)項(xiàng)依次為2,4

2、,8,16，故其通項(xiàng)bn2n，所以當(dāng)n2時(shí)，fn(x)f(fn1(x).【答案】教材整理2數(shù)學(xué)歸納法對(duì)于某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，常采用下面的方法和步驟來證明它的正確性：(1)證明當(dāng)n取初始值n0(例如n00，n01等)時(shí)命題成立.(2)假設(shè)當(dāng)nk(k為自然數(shù)，kn0)時(shí)命題正確，證明當(dāng)nk1時(shí)命題也正確.在完成了這兩個(gè)步驟后，就可以斷定命題對(duì)于從初始值n0開始的所有自然數(shù)都正確.這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1： 解惑： 疑問2： 解惑： 疑問3： 解惑： 小組合作型數(shù)學(xué)歸納法的概念用數(shù)學(xué)歸納法證明：1aa2an

3、1(a1，nN)，在驗(yàn)證n1成立時(shí)，左邊計(jì)算的結(jié)果是() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：38000054】A.1B.1aC.1aa2D.1aa2a3【精彩點(diǎn)撥】注意左端特征，共有n2項(xiàng)，首項(xiàng)為1，最后一項(xiàng)為an1.【自主解答】實(shí)際是由1(即a0)起，每項(xiàng)指數(shù)增加1，到最后一項(xiàng)為an1，所以n1時(shí)，左邊的最后一項(xiàng)應(yīng)為a2，因此左邊計(jì)算的結(jié)果應(yīng)為1aa2.【答案】C1.驗(yàn)證是基礎(chǔ)：找準(zhǔn)起點(diǎn)，奠基要穩(wěn)，有些問題中驗(yàn)證的初始值不一定為1.2.遞推是關(guān)鍵：正確分析由nk到nk1時(shí)式子項(xiàng)數(shù)的變化是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法成功證明問題的保障.再練一題1.下列四個(gè)判斷中，正確的是()A.式子1kk2kn(nN)，當(dāng)n1時(shí)為1B.式子1kk

4、2kn1(nN)，當(dāng)n1時(shí)為1kC.式子(nN)，當(dāng)n1時(shí)為1D.設(shè)f(n)(nN)，則f(k1)f(k)【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，n1時(shí)，式子應(yīng)為1k；選項(xiàng)B中，n1時(shí)，式子應(yīng)為1；選項(xiàng)D中，f(k1)f(k).【答案】C用數(shù)學(xué)歸納法證明等式用數(shù)學(xué)歸納法證明：1(nN).【精彩點(diǎn)撥】要證等式的左邊共2n項(xiàng)，右邊共n項(xiàng)，f(k)與f(k1)相比左邊增兩項(xiàng)，右邊增一項(xiàng)，而且左、右兩邊的首項(xiàng)不同.因此，由“nk”到“nk1”時(shí)要注意項(xiàng)的合并.【自主解答】當(dāng)n1時(shí)，左邊1右邊，所以等式成立.假設(shè)nk(k1，kN)時(shí)等式成立，即1.則當(dāng)nk1時(shí)，左邊1右邊，所以，nk1時(shí)等式成立.由知，等式對(duì)任意nN成立.

5、1.用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式的關(guān)鍵在于“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項(xiàng)，項(xiàng)的多少與n的取值是否有關(guān).由nk到nk1時(shí)，等式的兩邊會(huì)增加多少項(xiàng)，增加怎樣的項(xiàng).2.利用數(shù)學(xué)歸納法證明代數(shù)恒等式時(shí)要注意兩點(diǎn)：一是要準(zhǔn)確表述nn0時(shí)命題的形式，二是要準(zhǔn)確把握由nk到nk1時(shí)，命題結(jié)構(gòu)的變化特點(diǎn).并且一定要記?。涸谧C明nk1成立時(shí)，必須使用歸納假設(shè)，這是數(shù)學(xué)歸納法證明的核心環(huán)節(jié).再練一題2.用數(shù)學(xué)歸納法證明：(其中nN).【證明】(1)當(dāng)n1時(shí)，等式左邊，等式右邊，等式成立.(2)假設(shè)nk(k1，kN)時(shí)等式成立，即成立，那么當(dāng)nk1時(shí)，即nk1時(shí)等式成立.由(1)(2)可知，對(duì)任

6、意nN等式均成立.數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題求證：an1(a1)2n1能被a2a1整除，nN.【精彩點(diǎn)撥】對(duì)于多項(xiàng)式A，B，如果ABC，C也是多項(xiàng)式，那么A能被B整除.若A，B都能被C整除，則AB，AB也能被C整除.【自主解答】(1)當(dāng)n1時(shí)，a11(a1)2×1-1a2a1，命題顯然成立.(2)假設(shè)nk(kN，且k1)時(shí)，ak+1(a1)2k-1能被a2a1整除，則當(dāng)nk1時(shí)，ak2(a1)2k+1a·ak+1(a1)2·(a1)2k-1aak+1(a1)2k-1(a1)2(a1)2k-1a(a1)2k-1aak+1(a1)2k-1(a2a1)(a1)2k-1.由歸

7、納假設(shè)，得上式中的兩項(xiàng)均能被a2a1整除，故nk1時(shí)命題成立.由(1)(2)知，對(duì)nN，命題成立.利用數(shù)學(xué)歸納法證明整除時(shí)，關(guān)鍵是整理出除數(shù)因式與商數(shù)因式積的形式.這就往往要涉及到“添項(xiàng)”“減項(xiàng)”與“因式分解”等變形技巧，湊出nk時(shí)的情形，從而利用歸納假設(shè)使問題得證.再練一題3.求證：n3(n1)3(n2)3能被9整除.【證明】(1)當(dāng)n1時(shí)，13(11)3(12)336,36能被9整除，命題成立.(2)假設(shè)nk(k1，kN)時(shí)，命題成立，即k3(k1)3(k2)3能被9整除.由nk1時(shí)，(k1)3(k2)3(k3)3(k1)3(k2)3k33k2·33k·3233k3(k

8、1)3(k2)39(k23k3)，由歸納假設(shè)知，上式都能被9整除，故nk1時(shí)，命題也成立.由(1)和(2)可知，對(duì)nN命題成立.證明幾何命題平面內(nèi)有n(n2，nN)條直線，其中任意兩條不平行，任意三條不過同一點(diǎn)，那么這n條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)f(n)是多少？并證明你的結(jié)論.【精彩點(diǎn)撥】(1)從特殊入手，求f(2)，f(3)，f(4)，猜想出一般性結(jié)論f(n)；(2)利用數(shù)學(xué)歸納法證明：【自主解答】當(dāng)n2時(shí)，f(2)1 ；當(dāng)n3時(shí)，f(3)3；當(dāng)n4時(shí)，f(4)6.因此猜想f(n)(n2，nN)，下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)當(dāng)n2時(shí)，兩條相交直線有一個(gè)交點(diǎn)，又f(2)×2×(21

9、)1，n2時(shí)，命題成立.(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2且kN)時(shí)命題成立，就是該平面內(nèi)滿足題設(shè)的任何k條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為f(k)k(k1).當(dāng)nk1時(shí)，任何其中一條直線記為l，剩下的k條直線為l1，l2，lk.由歸納假設(shè)知，它們之間的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為f(k).由于l與這k條直線均相交且任意三條不過同一點(diǎn)，所以直線l與l1，l2，l3，lk的交點(diǎn)共有k個(gè).f(k1)f(k)kk.當(dāng)nk1時(shí)，命題成立.由(1)(2)可知，命題對(duì)一切nN且n2時(shí)成立.1.從特殊入手，尋找一般性結(jié)論，并探索n變化時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)間的關(guān)系.2.利用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題時(shí)，關(guān)鍵是正確分析由nk到nk1時(shí)幾何圖形的變化規(guī)律.并結(jié)合圖形直觀

10、分析，要弄清原因.再練一題4.在本例中，探究這n條直線互相分割成線段或射線的條數(shù)是多少？并加以證明.【解】設(shè)分割成線段或射線的條數(shù)為f(n).則f(2)4，f(3)9，f(4)16.猜想n條直線分割成線段或射線的條數(shù)f(n)n2(n2)，下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明.(1)當(dāng)n2時(shí)，顯然成立.(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2，且kN)時(shí)，結(jié)論成立，f(k)k2，則當(dāng)nk1時(shí)，設(shè)有l(wèi)1，l2，lk，lk1共k1條直線滿足題設(shè)條件.不妨取出直線l1，余下的k條直線l2，l3，lk，lk1互相分割成f(k)k2條射線或線段.直線l1與這k條直線恰有k個(gè)交點(diǎn)，則直線l1被這k個(gè)交點(diǎn)分成k1條射線或線段.k條直線l2，

11、l3，lk1中的每一條都與l1恰有一個(gè)交點(diǎn)，因此每條直線又被這一個(gè)交點(diǎn)多分割出一條射線或線段，共有k條.故f(k1)f(k)k1kk22k1(k1)2.當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論正確.由(1)(2)可知，上述結(jié)論對(duì)一切n2均成立.探究共研型對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的理解探究1應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)的常見問題有哪些？【提示】第一步中的驗(yàn)證，n取的第一個(gè)值n0不一定是1，n0指的是適合命題的第一個(gè)自然數(shù)不是一定從1開始，有時(shí)需驗(yàn)證n2等.對(duì)nk1時(shí)式子的項(xiàng)數(shù)以及nk與nk1的關(guān)系的正確分析是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法成功證明問題的保障.“假設(shè)nk時(shí)命題成立 ，利用這一假設(shè)證明nk1時(shí)命題成立”，這是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的核心環(huán)節(jié)，對(duì)待

12、這一推導(dǎo)過程決不可含糊不清，推導(dǎo)的步驟要完整、嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范.探究2如何理解歸納假設(shè)在證明中的作用？【提示】歸納假設(shè)在證明中起一個(gè)橋梁的作用，聯(lián)結(jié)第一個(gè)值n0和后續(xù)的n值所對(duì)應(yīng)的情形.在歸納遞推的證明中，必須以歸納假設(shè)為基礎(chǔ)進(jìn)行證明.否則，就不是數(shù)學(xué)歸納法.探究3為什么數(shù)學(xué)歸納法能夠證明無限多正整數(shù)都成立的問題呢？【提示】這是因?yàn)榈谝徊绞紫闰?yàn)證了n取第一個(gè)值n0時(shí)成立，這樣假設(shè)就有了存在的基礎(chǔ).假設(shè)nk成立，根據(jù)假設(shè)和合理推證，證明出nk1也成立.這實(shí)質(zhì)上是證明了一種循環(huán).如驗(yàn)證了n01成立，又證明了nk1也成立.這就一定有n2成立，n2成立，則n3也成立；n3成立，則n4也成立.如此反復(fù)，以至無

13、窮.對(duì)所有nn0的整數(shù)就都成立了.數(shù)學(xué)歸納法非常巧妙地解決了一種無限多的正整數(shù)問題，這就是數(shù)學(xué)方法的神奇.用數(shù)學(xué)歸納法證明：(n2，nN). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：38000055】【精彩點(diǎn)撥】因n2，nN，第一步要驗(yàn)證n2.【自主解答】(1)當(dāng)n2時(shí)，左邊1，右邊，等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2，kN)時(shí)，等式成立，即(k2，kN).當(dāng)nk1時(shí)，·.當(dāng)nk1時(shí)，等式成立.根據(jù)(1)和(2)知，對(duì)n2，nN時(shí)，等式成立.用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的兩個(gè)步驟，缺一不可.第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)，缺了第一步遞推失去基礎(chǔ)；缺了第二步遞推失去了依據(jù)，因此無法遞推下去.構(gòu)建·體系數(shù)學(xué)歸

14、納法1.一批花盆堆成三角形垛，頂層一個(gè)，以下各層排成正三角形，第n層和第n1層花盆總數(shù)分別是f(n)和f(n1)，則f(n)與f(n1)的關(guān)系為()A.f(n1)f(n)n1B.f(n1)f(n)nC.f(n1)f(n)2nD.f(n1)f(n)1【答案】A2.在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線為n(n3)條時(shí)，第一步檢驗(yàn)第一個(gè)值n0等于()A.1B.2C.3D.0【解析】邊數(shù)最少的凸n邊形是三角形.【答案】C3.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式“135(2n1)n2”時(shí)，從k到k1左邊需增加的代數(shù)式為()A.2k2B.2k1C.2kD.2k1【解析】等式“135(2n1)n2”中，當(dāng)nk時(shí)，等式的左邊135(2k1)，當(dāng)nk1時(shí)，等式的左邊135(2k1)2(k1)1135(2k1)(2k1)，從k到k1左邊需增加的代數(shù)式為2k1.【答案】D4.用數(shù)學(xué)歸納法證明：“當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，xnyn能被xy整除”時(shí)，在歸納假設(shè)中，假設(shè)當(dāng)nk時(shí)命題成立，那么下一步應(yīng)證明n_時(shí)命題也成立.【解析】?jī)蓚€(gè)奇數(shù)之間相差2，nk2.【答案】k25.證明：12223242(2n1)2(2n)2n(2n1). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：38000056】【證明】(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊1