隨機(jī)過(guò)程知識(shí)點(diǎn)

1、第一章：預(yù)備知識(shí)§1.1概率空間隨機(jī)試驗(yàn)，樣本空間記為。定義1.1設(shè)是一個(gè)集合，F(xiàn)是的某些子集組成的集合族。如果（1）F；（2）F ，F(xiàn)； （3）若F ，則F；則稱F為代數(shù)(Borel域)。(,F)稱為可測(cè)空間，F(xiàn)中的元素稱為事件。由定義易知：定義1.2 設(shè)(,F)是可測(cè)空間，P(·)是定義在上的實(shí)值函數(shù)。如果則稱P是上的概率，（）稱為概率空間，P(A)為事件A的概率。定義1.3 設(shè)（）是概率空間，如果對(duì)任意，有： 則稱為獨(dú)立事件族。§1.2 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量X，分布函數(shù)，n維隨機(jī)變量或n維隨機(jī)向量，聯(lián)合分布函數(shù)，是獨(dú)立的。§1.3隨機(jī)變量的數(shù)字

2、特征定義1.7 設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為，若，則稱 為X的數(shù)學(xué)期望或均值。上式右邊的積分稱為L(zhǎng)ebesgue-Stieltjes積分。 方差，為X、Y的協(xié)方差，而 為X、Y的相關(guān)系數(shù)。若則稱X、Y不相關(guān)。 （Schwarz不等式）若則 § 1.4 特征函數(shù)、母函數(shù)和拉氏變換 定義1. 10 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為F（x），稱 為X的特征函數(shù)隨機(jī)變量的特征函數(shù)具有下列性質(zhì)：(1)1( 2 ) g (t)在 上一致連續(xù)。（3）(4)若是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則的特征函數(shù)，其中是隨機(jī)變量X的特征函數(shù)，.定義1 . 11 設(shè) 是n維隨機(jī)變量，t = () 則稱,為X的特征函數(shù)。定義1.12 設(shè)

3、X是非負(fù)整數(shù)值隨機(jī)變量，分布列 則稱為X的母函數(shù)。§ 1.5 n維正態(tài)分布 定義1.13 若n維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為 式中，是常向量，是正定矩陣，則稱為n維正態(tài)隨機(jī)變量或服從n維正態(tài)分布，記作。 可以證明，若，則的特征函數(shù)為 為了應(yīng)用的方便，下面，我們不加證明地給出常用的幾個(gè)結(jié)論。 性質(zhì)1 若則。 性質(zhì)2 設(shè)，若正定，則。即正態(tài)隨機(jī)變量的線性變換仍為正態(tài)隨機(jī)變量。性質(zhì)3 設(shè)是四維正態(tài)隨機(jī)變量，則§ 1.6 條件期望 給定Y=y時(shí)，X的條件期望定義為由此可見除了概率是關(guān)于事件Y=y的條件概率以外，現(xiàn)在的定義與無(wú)條件的情況完全一樣。 E(X|Y=y)是y的函數(shù)，y是Y的一個(gè)

4、可能值。若在已知Y的條件下，全面地考慮X的均值，需要以Y代替y，E(X|Y)是隨機(jī)變量Y的函數(shù)，也是隨機(jī)變量，稱為 X在 Y下的條件期望。 條件期望在概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)和隨機(jī)過(guò)程中是一個(gè)十分重要的概念，下面我們介紹一個(gè)極其有用的性質(zhì)。 性質(zhì) 若隨機(jī)變量X與Y的期望存在，則 -(1) 如果Y是離散型隨機(jī)變量，則上式為如果Y是連續(xù)型，具有概率密度f(wàn)(x)，則（1）式為第二章 隨機(jī)過(guò)程的概念與基本類型§2.1 隨機(jī)過(guò)程的基本概念定義2.1 設(shè)（）是概率空間,T是給定的參數(shù)集,若對(duì)每個(gè)tT，有一個(gè)隨機(jī)變量X(t,e)與之對(duì)應(yīng)，則稱隨機(jī)變量族是（）的隨機(jī)過(guò)程,簡(jiǎn)記為隨機(jī)過(guò)程。T稱為參數(shù)集，通常表

5、示時(shí)間。通常將隨機(jī)過(guò)程解釋為一個(gè)物理系統(tǒng)。X(t)表示在時(shí)刻t所處的狀態(tài)。X(t)的所有可能狀態(tài)所構(gòu)成的集合稱為狀態(tài)空間或相空間，記為I。從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)說(shuō)，隨機(jī)過(guò)程是定義在T×上的二元函數(shù)。對(duì)固定的t，X(t,e)是定義在T上的普通函數(shù)，稱為隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)樣本函數(shù)或軌道，樣本函數(shù)的全體稱為樣本函數(shù)的空間。§ 2.2 隨機(jī)過(guò)程的函數(shù)特征=X(t),tT 的有限維分布函數(shù)族。有限維特征函數(shù)族：其中：定義2.3 設(shè)=X(t),tT 的均值函數(shù)，。二階矩過(guò)程，協(xié)方差函數(shù)：相關(guān)函數(shù)： 定義2.4 設(shè)X(t),tT ，Y(t),tT 是兩個(gè)二階矩過(guò)程，互協(xié)方差函數(shù)，互相關(guān)函數(shù)。

6、7; 2.3 復(fù)隨機(jī)過(guò)程 定義 2.5 設(shè)，是取實(shí)數(shù)值的兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程，若對(duì)任意 ，其中 ，則稱為復(fù)隨機(jī)過(guò)程 定理 2.2 復(fù)隨機(jī)過(guò)程的協(xié)方差函數(shù) 具有性質(zhì) （1）對(duì)稱性：；（2）非負(fù)定性§2.4 幾種重要的隨機(jī)過(guò)程一、正交增量過(guò)程定義2.6 設(shè)是零均值的二階矩過(guò)程，若對(duì)任意的有公式，則稱正交增量過(guò)程。二、獨(dú)立增量過(guò)程定義2.7 設(shè)是隨機(jī)過(guò)程，若對(duì)任意的正整數(shù)和隨機(jī)變量是互相獨(dú)立的，則稱是獨(dú)立增量過(guò)程，又稱可加過(guò)程。定義 2.8 設(shè)是平穩(wěn)獨(dú)立增量過(guò)程，若對(duì)任意隨機(jī)變量的分布僅依賴于，則稱是平穩(wěn)獨(dú)立增量過(guò)程。三、馬爾可夫過(guò)程定義2.9設(shè)為隨機(jī)過(guò)程，若對(duì)任意正整數(shù)n及,，且其條件分布=，(

7、2.6) 則稱為馬爾可夫過(guò)程。四、正態(tài)過(guò)程和維納過(guò)程定義 2.10設(shè)是隨機(jī)過(guò)程，若對(duì)任意正整數(shù)n和,(,)是n維正態(tài)隨機(jī)變量，則稱是正態(tài)過(guò)程或高斯過(guò)程。定義 2.11設(shè)為隨機(jī)過(guò)程，如果（1）；（2）它是獨(dú)立、平穩(wěn)增量過(guò)程；（3）對(duì)，增量，則稱為維納過(guò)程，也稱布朗運(yùn)動(dòng)過(guò)程。定理 2.3 設(shè)是參數(shù)為的維納過(guò)程，則（1） 任意t,；（2） 對(duì)任意,特別： 。五、平穩(wěn)過(guò)程定義 2.12 設(shè)是隨機(jī)過(guò)程，如果對(duì)任意常數(shù)和正整數(shù)當(dāng)時(shí)，與有相同的聯(lián)合分布，則稱為嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程，也稱狹義平穩(wěn)過(guò)程。定義 2.13 設(shè)是隨機(jī)過(guò)程，如果（1）是二階矩過(guò)程；（2）對(duì)于任意常數(shù)；（3）對(duì)任意的，則稱為廣義平穩(wěn)過(guò)程，簡(jiǎn)稱為平穩(wěn)

8、過(guò)程。若T為離散集，則稱平穩(wěn)過(guò)程為平穩(wěn)序列。第三章 泊松過(guò)程§.1 泊松過(guò)程的定義和例子 定義3.1 計(jì)數(shù)過(guò)程 定義3.2 稱計(jì)數(shù)過(guò)程為具有參數(shù)0的泊松過(guò)程，若它滿足下列條件 (1) X(0)= 0； (2) X(t)是獨(dú)立增量過(guò)程； (3) 在任一長(zhǎng)度為t的區(qū)間中，事件A發(fā)生的次數(shù)服從參數(shù)t0的泊松分布，即對(duì)任意s,t0，有 注意，從條件(3)知泊松過(guò)程是平穩(wěn)增量過(guò)程且。由于，表示單位時(shí)間內(nèi)事件A發(fā)生的平均個(gè)數(shù)，故稱為此過(guò)程的速率或強(qiáng)度。 定義3.3 稱計(jì)數(shù)過(guò)程為具有參數(shù)0的泊松過(guò)程，若它滿足下列條件 (1) X(0)= 0； (2) X(t)是獨(dú)立、平穩(wěn)增量過(guò)程；(3) X(t)

9、 滿足下列兩式： (3.2) 定理3.1 定義3.2與定義3.3是等價(jià)的。3.2 泊松過(guò)程的基本性質(zhì)一、數(shù)字特征設(shè)是泊松過(guò)程， 一般泊松過(guò)程的有。有特征函數(shù)定義，可得泊松過(guò)程的特征函數(shù)為 二、時(shí)間間隔與等待時(shí)間的分布為第n次事件A出現(xiàn)的時(shí)刻或第n次事件A的等待時(shí)間，是第n個(gè)時(shí)間間隔，它們都是隨機(jī)變量。 定理3.2 設(shè)是具有參數(shù)的泊松分布，是對(duì)應(yīng)的時(shí)間間隔序列，則隨機(jī)變量是獨(dú)立同分布的均值為的指數(shù)分布。 定理3.3 設(shè)是與泊松過(guò)程對(duì)應(yīng)的一個(gè)等待時(shí)間序列，則服從參數(shù)為n與的分布，其概率密度為 三、到達(dá)時(shí)間的條件分布 定理3.4 設(shè)是泊松過(guò)程，已知在0,t內(nèi)事件A發(fā)生n次，則這n次到達(dá)時(shí)間與相應(yīng)于n

10、個(gè)0,t上均勻分布的獨(dú)立隨機(jī)變量的順序統(tǒng)計(jì)量有相同的分布。§3.3 非齊次泊松過(guò)程定義3.4 稱計(jì)數(shù)過(guò)程為具有跳躍強(qiáng)度函數(shù)的非齊次泊松過(guò)程，若它滿足下列條件：(1) ；(2) 是獨(dú)立增量過(guò)程；(3) 非齊次泊松過(guò)程的均值函數(shù)為：定理3.5 設(shè)是具有均值函數(shù)的非齊次泊松過(guò)程，則有或 上式表明不僅是的函數(shù)，也是的函數(shù)。3.4 復(fù)合泊松過(guò)程定義3.5 設(shè)是強(qiáng)度為的泊松過(guò)程，是一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，且與獨(dú)立，令則稱為復(fù)合泊松過(guò)程。 定理3.6 設(shè)是復(fù)合泊松過(guò)程，則（1）。是獨(dú)立增量過(guò)程；（2）X(t)的特征函數(shù)，其中是隨機(jī)變量的特征函數(shù)；是事件的到達(dá)率。（3）若則第4章 馬爾可夫鏈

11、7;4.1 馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率 一、馬爾可夫鍵的定義 定義1 設(shè)有隨機(jī)過(guò)程，若對(duì)于任意的整數(shù)和任意的，條件概率滿足則稱為馬爾可夫鏈，簡(jiǎn)稱馬氏鏈。二、轉(zhuǎn)移概率定義2 稱條件概率為馬爾可夫鏈在時(shí)刻n的一步轉(zhuǎn)移概率，其中，簡(jiǎn)稱為轉(zhuǎn)移概率。 定義 3 若對(duì)任意的，馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率與n無(wú)關(guān)，則稱馬爾可夫鏈?zhǔn)驱R次的，并記為。定義4 稱條件概率為馬爾可夫鏈的n步轉(zhuǎn)移概率， 定理 1 設(shè)為馬爾可夫鏈，則對(duì)任意整數(shù)和，n步轉(zhuǎn)移概率具有下列性質(zhì)：定義5 設(shè)為馬爾可夫鏈，稱為的初始概率和絕對(duì)概率，并分別稱和為的初始分布和絕對(duì)分布，簡(jiǎn)記為和。定理2 設(shè)為馬爾可夫鏈，則對(duì)任意和，絕對(duì)概率具有下列性質(zhì)：定理3

12、 設(shè)為馬爾可夫鏈，則對(duì)任意和，有§4.2 馬爾可夫鏈的狀態(tài)分類一、狀態(tài)分類假設(shè)是齊次馬爾可夫鏈，其狀態(tài)空間，轉(zhuǎn)移概率是, 初始分布為 。定義4.6 如集合非空，則稱該集合的最大公約數(shù)為狀態(tài)的周期。如就稱為周期的，如就稱為非周期的。（若對(duì)每一個(gè)不可被整除的，有=0，且是具有此性質(zhì)的最大正整數(shù)，則稱為狀態(tài)的周期。）引理4.1 如的周期為d，則存在正整數(shù)M，對(duì)一切，有。定義 對(duì)記 （4.15）稱是系統(tǒng)在0時(shí)從出發(fā)經(jīng)過(guò)步轉(zhuǎn)移后首次到達(dá)狀態(tài)的概率，而則是在0時(shí)從出發(fā)，系統(tǒng)在有限步轉(zhuǎn)移內(nèi)不可能到達(dá)狀態(tài)的概率。我們將和統(tǒng)稱為首達(dá)概率（又稱首中概率）。引理 （1） （2） 首達(dá)概率可以用一步轉(zhuǎn)移概率

13、來(lái)表示： 定義4.7 若=1，則稱狀態(tài)為常返的；若<1，則稱狀態(tài)為非常返的。定義4.8 如，則稱常返態(tài)為正常返的；如，則稱常返態(tài)為零常返的，非周期的正常返態(tài)稱為遍歷狀態(tài)。從狀態(tài)是否常返，如常返的話是否正常返，如正常返的話是否非周期等三層次上將狀態(tài)區(qū)分為以下的類型：與有如下關(guān)系：定理4.4 對(duì)任意狀態(tài)，及，有 （4.16）引理4.2 二、常返態(tài)的性質(zhì)及其性質(zhì) 定理4.5 狀態(tài)常返的充要條件為 （4.18）如非常返，則 定理4.7 設(shè)常返且有周期d，則 . （4.26）其中為的平均返回時(shí)間。當(dāng)時(shí)，.推論 設(shè)常返，則(1) 零常返；（2）遍歷。定理4.8 可達(dá)關(guān)系與互通關(guān)系都具有傳遞性，即如果

14、，則；如果，則。定理4.9 如,則（1） 與同為常返或非常返，若為常返，則它們同為正常返或零常返；（2） 與有相同的周期。§4.3 狀態(tài)空間的分解定義4.9 狀態(tài)空間I的子集C稱為（隨機(jī)）閉集，如對(duì)任意及都有。閉集C稱為不可約的，如C的狀態(tài)互通。馬氏鏈稱為不可約的，如其狀態(tài)空間不可約。引理4.4 C是閉集的充要條件為對(duì)任意及kC都有=0，n1。稱狀態(tài)i為吸收的，如=1。顯然狀態(tài)吸收等價(jià)于單點(diǎn)集為閉集。定理4.10 任一馬氏鏈的狀態(tài)空間I，可唯一地分解成有限個(gè)或可列個(gè)互不相交的子集之和，使得 每一是常返態(tài)組成的不可約閉集。 中的狀態(tài)同類，或全是正常返，或全是零常返。它們有相同的周期且,

15、 。 D由全體非常返狀態(tài)組成。自中的狀態(tài)不能到達(dá)D中的狀態(tài)。定義4.10 稱矩陣（）為隨機(jī)矩陣，如其元素非負(fù)且每有1。顯然k步轉(zhuǎn)移矩陣（）為隨機(jī)矩陣。引理4.5 設(shè)C為閉集，又G（）, ,jC,是C上所得的（即與C相應(yīng)的）k步轉(zhuǎn)移子矩陣，則G仍是隨機(jī)矩陣。定理4.11 周期為d的不可約馬氏鏈，其狀態(tài)空間可唯一地分解為個(gè)互不相交地子集之和，即 （4.31）且使得自中任一狀態(tài)出發(fā)，經(jīng)一步轉(zhuǎn)移必進(jìn)入中（其中）。定理4.12 設(shè)是周期為的不可約馬氏鏈，則在定理4.11的結(jié)論下有(1)如只在時(shí)刻上考慮，即得一新馬氏鏈，其轉(zhuǎn)移陣，對(duì)此新鏈，每一是不可約閉集，且中的狀態(tài)是非周期的。(2)如原馬氏鏈 常返，也

16、常返。§4.4 的漸近性質(zhì)與平穩(wěn)分布一、的漸近性質(zhì)定理4.13 如j非常返或零常返，則0， （4.33）推論1 有限狀態(tài)的馬氏鏈，不可能全是非常返狀態(tài)，也不可能含有零常返狀態(tài)，從而不可約的有限馬氏鏈必為正常返的。推論2 如馬氏鏈有一個(gè)零常返狀態(tài)，則必有無(wú)限多個(gè)零常返狀態(tài)。定理4.14 如j正常返，周期為d，則對(duì)任意i及有 （4.37）推論 設(shè)不可約、正常返、周期d的馬氏鏈，其狀態(tài)空間為C，則對(duì)一切,有 （4.38）其中為定理4.11中所給出。特別，如d=1，則對(duì)一切有 (4.39)定理 4.15 對(duì)任意狀態(tài)有推論 如不可約，常返，則對(duì)任意,有 時(shí)，理解0 定義4.11 稱概率分布為馬

17、爾可夫鏈的平穩(wěn)分布，若它滿足 （4.41）值得注意的是，對(duì)平穩(wěn)分布，有 (4.42)定理4.16 不可約非周期馬爾可夫鏈?zhǔn)钦７档某湟獥l件是存在平穩(wěn)分布，且此平穩(wěn)分布就是極限分布。推論1 有限狀態(tài)的不可約非周期馬爾可夫鏈必存在平穩(wěn)分布。推論2 若不可約馬爾可夫鏈的所有狀態(tài)是非常返或零常返的，則不存在平穩(wěn)分布.推論3 若是馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布，則 第五章 連續(xù)時(shí)間的馬爾可夫鏈§5.1連續(xù)時(shí)間的馬爾可夫鏈定義5.1 設(shè)隨機(jī)過(guò)程X(t),t0,狀態(tài)空間,若對(duì)于任意及有= (5.1)則稱X(t),t0為連續(xù)時(shí)間的馬爾可夫鏈。記(5.1)式條件概率的一般形式為 (5.2) 定義 5.2 若(5

18、.2)式的轉(zhuǎn)移概率與s無(wú)關(guān)，則稱連續(xù)時(shí)間馬爾可夫鏈具有平穩(wěn)的或齊次的轉(zhuǎn)移概率，此時(shí)轉(zhuǎn)移概率簡(jiǎn)記為 (5.3)其轉(zhuǎn)移概率矩陣簡(jiǎn)記為。以下的討論均假定我們所考慮的連續(xù)時(shí)間馬爾柯夫鏈都具有齊次轉(zhuǎn)移概率。為方便起見，簡(jiǎn)稱為齊次馬爾可夫過(guò)程。定理5.1.1 齊次馬爾可夫過(guò)程的轉(zhuǎn)移概率具有以下性質(zhì)：其中（3）式為馬爾可夫過(guò)程的Chapman-Kolmogorov（簡(jiǎn)稱C-K）方程。（1），（2）由概率定義及的定義易知，下面只證明（3）。定義5.1.3對(duì)于任一t0,記分別稱和為齊次馬爾可夫過(guò)程的絕對(duì)概率分布和初始概率分布。性質(zhì)5.1.1 齊次馬爾可夫過(guò)程的絕對(duì)概率及有限維概率分布具有以下性質(zhì)：§5

19、.2 柯爾莫哥洛夫微分方程引理5.2.1 設(shè)齊次馬爾可夫過(guò)程滿足正則性條件，則對(duì)于任意固定的是t的一致連續(xù)函數(shù)。定理5.3 設(shè)是齊次馬爾可夫過(guò)程的轉(zhuǎn)移概率，則下列極限存在我們稱為齊次馬爾可夫過(guò)程從狀態(tài)到狀態(tài)的轉(zhuǎn)移速率或跳躍強(qiáng)度。推論對(duì)有限齊次馬爾可夫過(guò)程，有 （5.2.1）定理5.4 (柯爾莫哥洛夫向后方程)假設(shè)，則對(duì)一切及t³0，有 （5.2.4）定理5.2.3 （柯爾莫哥洛夫向前方程）在適當(dāng)?shù)恼齽t條件下 (5.2.6)定理5.2.4 齊次馬爾可夫鏈過(guò)程在t時(shí)刻處于狀態(tài)jI的絕對(duì)概率滿足如下方程： 定理5.2.5 設(shè)馬爾可夫過(guò)程是不可約的，則有下列性質(zhì)：(1)若它是正常返的，則極限

20、存在且等于,這里是方程組 的唯一非負(fù)解，此時(shí)稱是該過(guò)程的平穩(wěn)分布，并且有 (2)若它是零常返的或非常返的，則§5.3 生滅過(guò)程定義 設(shè)齊次馬爾可夫過(guò)程的狀態(tài)空間為，轉(zhuǎn)移概率為，如果則稱為生滅過(guò)程。其中，稱為出生率，稱為死亡率。(1)若 (,為正常數(shù))，則稱為線性生滅過(guò)程；(2)若，則稱為純生過(guò)程；(3)若，則稱為純滅過(guò)程。第六章 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程§6.1 平穩(wěn)過(guò)程的概念與例子 一、平穩(wěn)過(guò)程的定義1.平穩(wěn)過(guò)程定義 §6.2 聯(lián)合平穩(wěn)過(guò)程及相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)一、聯(lián)合平穩(wěn)過(guò)程定義 設(shè)和是兩個(gè)平穩(wěn)過(guò)程，若它們的互相關(guān)函數(shù)及僅與有關(guān)，而與無(wú)關(guān)，則稱和是聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。定理6.1

21、設(shè)為平穩(wěn)過(guò)程，則其相關(guān)函數(shù)具下列性質(zhì):(1) (2) (3) (4) 是非負(fù)定的，即對(duì)任意實(shí)數(shù)及復(fù)數(shù)，有(5) 若是周期為T的周期函數(shù)，即，則；(6) 若是不含周期分量的非周期過(guò)程，當(dāng)時(shí)，與相互獨(dú)立，則類似地，聯(lián)合平穩(wěn)過(guò)程和的互相關(guān)函數(shù)由下列性質(zhì)：(1) (2) § 6.3 隨機(jī)分析 一、收斂性概念1、處處收斂對(duì)于概率空間上的隨機(jī)序列，每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果e都對(duì)應(yīng)一序列。 （6.2）故隨機(jī)序列實(shí)際上代表一族(6.2)式的序列，故不能用普通極限形式來(lái)定義隨機(jī)序列的收斂性。若(6.2)式對(duì)每個(gè)e都收斂，則稱隨機(jī)序列處處收斂，即滿足其中X為隨機(jī)變量。2、以概率1收斂若使隨機(jī)序列滿足的e的集合的概率

22、為1，即我們稱二階矩隨機(jī)序列以概率1收斂于二階矩隨機(jī)變量X(e)，或稱幾乎處處收斂于X(e)，記作。3、依概率收斂若對(duì)于任給的>0， 若有 ，則稱二階矩隨機(jī)序列依概率收斂于二階矩隨機(jī)變量X(e)，記作。4、均方收斂設(shè)有二階矩隨機(jī)序列和二階矩隨機(jī)變量X，若有 (6.3)成立，則稱均方收斂，記作。注：(6.3)式一般記為或。5、依分布收斂設(shè)有二階矩隨機(jī)序列和二階矩隨機(jī)變量X，若相應(yīng)的分布函數(shù)列，在X的分布函數(shù)F(x)的每一個(gè)連續(xù)點(diǎn)處，有則稱二階矩隨機(jī)序列依分布收斂于二階矩隨機(jī)變量X，記作對(duì)于以上四種收斂定義進(jìn)行比較，有下列關(guān)系：(1) 若，則(2) 若，則(3) 若，則定理2 二階矩隨機(jī)序列

23、收斂于二階矩隨機(jī)變量X的充要條件為定理3 設(shè)都是二階矩隨機(jī)序列，U為二階矩隨機(jī)變量，為常數(shù)序列，a，b，c為常數(shù)。令，。則（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ；特別有。定理4 設(shè)為二階矩隨機(jī)序列，則均方收斂的充要條件為下列極限存在。二、均方連續(xù)定義 設(shè)有二階矩過(guò)程，若對(duì)，有，則稱在點(diǎn)均方連續(xù)，記作。若對(duì)T中一切點(diǎn)都均方連續(xù)，則稱在T上均方連續(xù)。定理（均方連續(xù)準(zhǔn)則）二階矩過(guò)程在t點(diǎn)均方連續(xù)的充要條件為相關(guān)函數(shù)。推論 若相關(guān)函數(shù)在上連續(xù)，則它在T×T上連續(xù)三、均方導(dǎo)數(shù)定義7 設(shè)是二階矩過(guò)程，若存在一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，滿足類似的有稱為在的廣義二階導(dǎo)數(shù)，記為定理6 均方可微準(zhǔn)

24、則 二階矩過(guò)程在t點(diǎn)均方可微的充要條件為相關(guān)函數(shù)的廣義二階導(dǎo)數(shù)存在。推論1 二階矩過(guò)程在T上均方可微的充要條件為相關(guān)函數(shù)在上每一點(diǎn)廣義二階可微。推論2 若在上每一點(diǎn)廣義二階可微，則在T上以及在上存在，且有 四、均方積分定義8 如果時(shí)，均方收斂于，即，則稱在上均方可積，并記為定理7 （均方可積準(zhǔn)則）在區(qū)間上均方可積的充要條件為存在。特別的，二階矩過(guò)程在上均方可積的充要條件為在上可積。定理8 設(shè)在區(qū)間上均方可積，則有(1) 特別有 (2) 特別的有 。定理9 設(shè)二階矩過(guò)程在上均方連續(xù)，則在均方意義下存在，且隨機(jī)過(guò)程在上均方可微，且有。推論 設(shè)均方可微，且均方連續(xù)，則特別有§4 平穩(wěn)過(guò)程的各態(tài)歷經(jīng)性定義9 設(shè)為均方連續(xù)的平穩(wěn)過(guò)程，則分別稱為該過(guò)程的時(shí)間均值和時(shí)間相關(guān)函數(shù)。定義10 設(shè)是均方連續(xù)的平穩(wěn)過(guò)程，若，即以概率1成立，則稱該平穩(wěn)過(guò)程的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性。若，即以概率1成立，則稱該平穩(wěn)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性。 定義11 如果均方連續(xù)的平穩(wěn)過(guò)程的均值和相關(guān)函數(shù)都具有各態(tài)歷經(jīng)性，則稱該平穩(wěn)過(guò)程為具有各態(tài)歷經(jīng)性或遍歷性。 定理 10 設(shè)是均方連續(xù)的平穩(wěn)過(guò)程，則它的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件為 (6.9)定理6.11 設(shè)為均方連續(xù)的平穩(wěn)過(guò)程，則其相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件為 (6