第29講 等效應(yīng)力及等效應(yīng)變

1、金屬塑性變形理論第29講張貴杰張貴杰Tel-Mail： 河北聯(lián)合大學(xué)金屬材料及加工工程系河北聯(lián)合大學(xué)金屬材料及加工工程系2022-2-232第十二章 變形力學(xué)方程主要內(nèi)容主要內(nèi)容Main Content 力平衡微分方程力平衡微分方程 屈服條件屈服條件 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系方程應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系方程 等效應(yīng)力、等效應(yīng)變等效應(yīng)力、等效應(yīng)變 平面變形和軸對稱變形平面變形和軸對稱變形 2022-2-23312.4 等效應(yīng)力、等效應(yīng)變等效應(yīng)力、等效應(yīng)變 把把s ss看成經(jīng)過某一變形程看成經(jīng)過某一變形程度下的單向應(yīng)力狀態(tài)的屈度下的單向應(yīng)力狀態(tài)的屈服極限服極限,則可稱則可稱s ss為為變形抗變形

2、抗力力。ABCDe es s 如圖所示，拉伸變形到如圖所示，拉伸變形到C點(diǎn)，然后卸載到點(diǎn)，然后卸載到D點(diǎn)，點(diǎn)，如果再在同方向上拉伸，便近似認(rèn)為在原來開如果再在同方向上拉伸，便近似認(rèn)為在原來開始卸載時(shí)所對應(yīng)的應(yīng)力附近（即點(diǎn)始卸載時(shí)所對應(yīng)的應(yīng)力附近（即點(diǎn)C處）發(fā)生屈處）發(fā)生屈服。這一屈服應(yīng)力比退火狀態(tài)的初始屈服應(yīng)力服。這一屈服應(yīng)力比退火狀態(tài)的初始屈服應(yīng)力提高，是由于金屬加工硬化的結(jié)果。所以在單提高，是由于金屬加工硬化的結(jié)果。所以在單向拉伸的情況下，不論對初始屈服應(yīng)力還是變向拉伸的情況下，不論對初始屈服應(yīng)力還是變形過程中的繼續(xù)屈服極限，統(tǒng)稱為形過程中的繼續(xù)屈服極限，統(tǒng)稱為金屬變形抗金屬變形抗力力。

3、2022-2-23412.4.1 等效應(yīng)力等效應(yīng)力s ss是單向拉伸是單向拉伸的情況下得到的情況下得到的，那么對于的，那么對于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)， s ss與什么對應(yīng)？與什么對應(yīng)？ 1s2s3s2022-2-235 由由Mises屈服條件屈服條件2221323222162kssssssss可以改寫為可以改寫為ssssssss213232221212022-2-236 若令若令sess21323222121ssssssse則金屬屈服時(shí)有則金屬屈服時(shí)有則為則為等效應(yīng)力等效應(yīng)力，等效于單向拉伸時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)。，等效于單向拉伸時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)。s se2011-12-8-22022-2-237 對于

4、單向拉伸對于單向拉伸sss1時(shí)，金屬處于彈性狀態(tài)時(shí)，金屬處于彈性狀態(tài)sss1時(shí)，金屬進(jìn)入塑性狀態(tài)時(shí)，金屬進(jìn)入塑性狀態(tài)同樣同樣，復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，sess時(shí)，金屬處于彈性狀態(tài)時(shí)，金屬處于彈性狀態(tài)sess時(shí)，金屬進(jìn)入塑性狀態(tài)時(shí)，金屬進(jìn)入塑性狀態(tài)2022-2-238 在一般應(yīng)力狀態(tài)下，等效應(yīng)力為在一般應(yīng)力狀態(tài)下，等效應(yīng)力為 2222222621 3zxyzxyxzzyyxeIsssssss當(dāng)材料屈服時(shí)有當(dāng)材料屈服時(shí)有 kse3ss其中其中s ss，為單向應(yīng)力狀態(tài)下獲得的屈服極限，為單向應(yīng)力狀態(tài)下獲得的屈服極限 2022-2-23912.4.2 等效應(yīng)變等效應(yīng)變 在簡單應(yīng)力狀態(tài)下，我們可

5、以得到一條應(yīng)在簡單應(yīng)力狀態(tài)下，我們可以得到一條應(yīng)力力應(yīng)變關(guān)系曲線，若知道了變形程度，應(yīng)變關(guān)系曲線，若知道了變形程度，則其所對應(yīng)的應(yīng)力，從該曲線上也可以得則其所對應(yīng)的應(yīng)力，從該曲線上也可以得到。到。 那么可以說，對同一金屬在同樣的變形溫那么可以說，對同一金屬在同樣的變形溫度度變形速度條件下，等效應(yīng)力取決于變變形速度條件下，等效應(yīng)力取決于變形程度。如果這樣的話，一般應(yīng)力狀態(tài)是形程度。如果這樣的話，一般應(yīng)力狀態(tài)是否存在這一應(yīng)力否存在這一應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線？應(yīng)變關(guān)系曲線？ 2022-2-2310 金屬的加工硬化程度取決于金屬內(nèi)的變形金屬的加工硬化程度取決于金屬內(nèi)的變形潛能，一般應(yīng)力狀態(tài)和簡單應(yīng)力狀態(tài)在加

6、潛能，一般應(yīng)力狀態(tài)和簡單應(yīng)力狀態(tài)在加工硬化程度上等效，意味著兩者的變形潛工硬化程度上等效，意味著兩者的變形潛能相同。變形潛能取決于塑性變形功耗。能相同。變形潛能取決于塑性變形功耗。 可以認(rèn)為，如果一般應(yīng)力狀態(tài)和簡單應(yīng)力可以認(rèn)為，如果一般應(yīng)力狀態(tài)和簡單應(yīng)力狀態(tài)的塑性變形功耗相等，則兩者在加工狀態(tài)的塑性變形功耗相等，則兩者在加工硬化程度上等效。硬化程度上等效。 2022-2-2311 取主軸時(shí)，對于微小的塑性應(yīng)變增量，單取主軸時(shí)，對于微小的塑性應(yīng)變增量，單位體積內(nèi)的塑性變形功為位體積內(nèi)的塑性變形功為 332211esesesddddAp按矢量積有按矢量積有 esescosdddAp 由增量理論，塑

7、性應(yīng)變增量主軸與偏差應(yīng)力主軸重合由增量理論，塑性應(yīng)變增量主軸與偏差應(yīng)力主軸重合 esddAp5-26-32022-2-2312 由由Mises由屈服條件的幾何解釋，屈服軌跡由屈服條件的幾何解釋，屈服軌跡半徑半徑 2322212sssPN21323222131ssssss矢量矢量 的模的模 sePNssssssss32312132322212022-2-2313 而矢量而矢量 的模的模 232221eeeeddddedeepddAes令令則找到則找到 23222132eeeedddde21323222192eeeeeeddddddesddApess322022-2-2314 此式表示的應(yīng)變增量此

8、式表示的應(yīng)變增量 就是主軸時(shí)的就是主軸時(shí)的等效應(yīng)變增量等效應(yīng)變增量ede21323222192eeeeeeeddddddde比例加載時(shí)，即比例加載時(shí)，即 eeddddeeeeeeee3322112322212132322213292eeeeeeeeeeeee為等效應(yīng)變?yōu)榈刃?yīng)變 2022-2-231521323222192eeeeeeeddddddde等式兩邊分別除以變形時(shí)間等式兩邊分別除以變形時(shí)間dt，則得到，則得到21323222192eeeeeeee2011-12-9-32022-2-231612.4.3 等效應(yīng)變與等效應(yīng)力的關(guān)等效應(yīng)變與等效應(yīng)力的關(guān)系系 由由LevyMises流動(dòng)法則，

9、流動(dòng)法則， ijijddse21323222192eeeeeeeddddddde代入代入213232221292ssssssedde213232221292ssssssd2022-2-2317 得到得到eeddse32eeddse23或或此式即為等效應(yīng)變增量此式即為等效應(yīng)變增量與等效應(yīng)力的關(guān)系與等效應(yīng)力的關(guān)系 則則LevyMises流動(dòng)法則可以寫成流動(dòng)法則可以寫成 ijeeijddssee232022-2-2318 這樣，由于引入等效應(yīng)變增量這樣，由于引入等效應(yīng)變增量 與等效應(yīng)與等效應(yīng)力力 ，則本構(gòu)方程中的比例系數(shù)，則本構(gòu)方程中的比例系數(shù) 便可以便可以確定，從而也就可以求出應(yīng)變增量的具體確定，

10、從而也就可以求出應(yīng)變增量的具體數(shù)值。數(shù)值。 edeesd2022-2-231912.4.4 曲線曲線變形抗力曲變形抗力曲線線 不論是一般應(yīng)力狀態(tài)還是簡單應(yīng)力狀態(tài)作不論是一般應(yīng)力狀態(tài)還是簡單應(yīng)力狀態(tài)作出的出的 曲線，就是曲線，就是 曲線，此曲線也曲線，此曲線也叫變形抗力曲線或加工硬化曲線，或真應(yīng)叫變形抗力曲線或加工硬化曲線，或真應(yīng)力曲線。目前常用以下四種簡單應(yīng)力狀態(tài)力曲線。目前常用以下四種簡單應(yīng)力狀態(tài)的試驗(yàn)來做金屬變形抗力曲線。的試驗(yàn)來做金屬變形抗力曲線。 eeseeesesese2012-5-15-22022-2-2320 單向拉伸單向拉伸 200132321eeesssddd；、sesss1

11、011lnllddeeeee2022-2-2321 單向壓縮單向壓縮 200321213eeesssddd；、sesss3013lnhhddeeeee可見單向應(yīng)力狀態(tài)等效應(yīng)力等于金屬變形抗力；可見單向應(yīng)力狀態(tài)等效應(yīng)力等于金屬變形抗力；等效應(yīng)變等于絕對值最大主應(yīng)變。等效應(yīng)變等于絕對值最大主應(yīng)變。 2022-2-2322 平面變形壓縮平面變形壓縮 02002313213eeessssddd、；、sesss323013ln3232hhddeeeeeKkss2155. 1323sss其中其中為平面變形抗力為平面變形抗力2022-2-2323 薄壁管扭轉(zhuǎn)薄壁管扭轉(zhuǎn) 00231213eeesssddd、；

12、、kse331sss113232eeeeddee2022-2-232412.5 平面變形和軸對稱變形平面變形和軸對稱變形 塑性力學(xué)問題共有九個(gè)未知數(shù)，即六個(gè)應(yīng)力分量塑性力學(xué)問題共有九個(gè)未知數(shù)，即六個(gè)應(yīng)力分量和三個(gè)位移分量。與此對應(yīng)，則有三個(gè)力平衡方和三個(gè)位移分量。與此對應(yīng)，則有三個(gè)力平衡方程和六個(gè)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系方程。雖然可解，但在解程和六個(gè)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系方程。雖然可解，但在解析上要求出能滿足這些方程和給定邊界條件的嚴(yán)析上要求出能滿足這些方程和給定邊界條件的嚴(yán)密解是十分困難的。然而，如果應(yīng)力邊界條件給密解是十分困難的。然而，如果應(yīng)力邊界條件給定，對于平面變形問題，靜力學(xué)可以求出應(yīng)力分定，對于平面變形

13、問題，靜力學(xué)可以求出應(yīng)力分布，而成為靜定問題。對于軸對稱問題，引入適布，而成為靜定問題。對于軸對稱問題，引入適當(dāng)假設(shè)，也可以靜定化。塑性加工問題許多是平當(dāng)假設(shè)，也可以靜定化。塑性加工問題許多是平面變形問題和軸對稱問題，也有許多可以分區(qū)簡面變形問題和軸對稱問題，也有許多可以分區(qū)簡化為平面變形問題來處理。化為平面變形問題來處理。 2012-5-14-32022-2-232512.5.1 平面變形平面變形 應(yīng)力特點(diǎn)應(yīng)力特點(diǎn) pyxmzzyzxsssssss21210312，yxfij,s0zeyxzsss210zs0ze平面應(yīng)變狀態(tài)：平面應(yīng)變狀態(tài)：而而 平面應(yīng)力狀態(tài)：平面應(yīng)力狀態(tài)：而而1s)(213

14、12sss3s2022-2-2326 應(yīng)變特點(diǎn)應(yīng)變特點(diǎn) 0zyzxzdddeeeyxddee31ee02e3e2022-2-2327 幾何方程幾何方程 xdudxx)(eydudyy)(exduydudyxxy)()(21e2022-2-2328 力平衡微分方程力平衡微分方程 0yxyxxs0yxyxys2022-2-2329 屈服條件屈服條件 本構(gòu)方程本構(gòu)方程 222222155. 13244Kkssxyyxsssseseseddddxyxyyyxx2022-2-233012.5.2 軸對稱變形軸對稱變形 應(yīng)力特點(diǎn)應(yīng)力特點(diǎn) 應(yīng)變特點(diǎn)應(yīng)變特點(diǎn) zrfij,s0 z rssr變形均勻時(shí)有變形均勻時(shí)有0 zree2022-2-2331 幾何方程幾何方程 rd