高中數(shù)學必修五《海倫公式探究》(共7頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上海倫公式探究背景：海倫公式在數(shù)學學習中使用非常廣泛，它方便了日常數(shù)學學習中三角形的面積計算，使我們只需知道任意三角形的三邊長度，就可以用公式求得三角形的面積大小。但是你知道海倫公式的證明方法嗎？本次探究，著手海倫公式的證明方法、推廣，使同學們能更深刻地記住海倫公式、容易證明，并且合理使用。過程：海倫公式 證明 三斜求積術 推廣 運用 余弦定理海倫公式又譯作希倫公式、海龍公式、希羅公式、海倫秦九韶公式，傳說是古代的敘拉古國王 希倫（Heron,也稱海龍）二世發(fā)現(xiàn)的公式，利用三角形的三條邊長來求取三角形面積。但根據(jù)Morris Kline在1908年出版的著作考證，這條公

2、式其實是阿基米得所發(fā)現(xiàn)，以托希倫二世的名發(fā)表（未查證）。我國宋代的數(shù)學家秦九韶也提出了“三斜求積術”，它與海倫公式基本一樣。如右圖，假設有一個三角形，邊長分別為a、b、c，三角形的面積S可由圖下公式求得。證明： 與海倫在他的著作"Metrica"(度量論)中的原始證明不同，在此我們用三角公式和公式變形來證明。設三角形的三邊a、b、c的對角分別為A、B、C，則余弦定理為：設則上式所以， 證明：我國著名的數(shù)學家九韶在數(shù)書九章提出了“三斜求積術”。 秦九韶他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜?！靶g”即方法。三斜求積術就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相減后余數(shù)的一半

3、，自乘而得一個數(shù)小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那個。相減后余數(shù)被4除馮所得的數(shù)作為“實”，作1作為“隅”，開平方后即得面積。 所謂“實”、“隅”指的是，在方程px 2=qk,p為“隅”，Q為“實”。以、a,b,c表示三角形面積、大斜、中斜、小斜。定理:若三角形的三條邊分別是:大斜、中斜、小斜，則三角形面積為：原文見<數(shù)書九章>卷五第二題:以小斜冪并大斜冪，減中斜冪，余，半之同乘于上，以小斜冪并大斜冪，減上余，四約之為實，開平方，得積證明：如 圖，a=u+v，b2=h2+u2，c2=h2+v2所以，u2-v2=b2-c2(u+v)(u-v)=(b+c)(b-c) a(u-v)=

4、(b+c)(b-c)(u-v)=(b+c)(b-c)/a因(u+v)=a，所以又 h2=b2-u2，三角形面積=ah/2此即：，其中c>b>a.將根號下的多項式分解因式，便成為可見，三斜求積術與古希臘海倫公式是等價的所以這一公式也被稱為“海倫秦九韶公式”。關于三角形的面積計算公式在解題中主要應用的有：設ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，ha為a邊上的高，R、r分別為ABC外接圓、內(nèi)切圓的半徑，p =(a+b+c),則SABC =aha=ab×sinC = r p = 2R­­­­2sinAsinBsinC = =其中，S

5、ABC =就是著名的海倫公式，在希臘數(shù)學家海倫的著作測地術中有記載。海倫公式在解題中有十分重要的應用。一、 海倫公式的變形S= = = = = = 證一：根據(jù)勾股定理證明。分析：先從三角形最基本的計算公式SABC =aha入手，運用勾股定理推導出海倫公式。證二：根據(jù)斯氏定理證明。根據(jù)海倫公式，我們可以將其繼續(xù)推廣至四邊形的面積運算。如下題：已知四邊形ABCD為圓的內(nèi)接四邊形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四邊形ABCD的面積這里用海倫公式的推廣（其中p為周長一半，a,b,c,d,為4邊）代入解得海倫公式在解題中有十分重要的應用。二、 海倫公式的推廣由于在實際應用中，往往需計算四邊形的

6、面積，所以需要對海倫公式進行推廣。由于三角形內(nèi)接于圓，所以猜想海倫公式的推廣為：在任意內(nèi)接與圓的四邊形ABCD中，設p=,則S四邊形=現(xiàn)根據(jù)猜想進行證明。證明：如圖，延長DA，CB交于點E。 設EA = e EB = f1+2 =180 2+3 =1801 =3 EABECD= =解得： e = f = 由于S四邊形ABCD =SEAB將，跟b =代入公式變形，得： 所以，海倫公式的推廣得證。三、 海倫公式的推廣的應用海倫公式的推廣在實際解題中有著廣泛的應用，特別是在有關圓內(nèi)接四邊形的各種綜合題中，直接運用海倫公式的推廣往往事半功倍。例題：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O中，SABCD =,AD = 1,AB = 1, CD = 2.求：四邊形可能為等腰梯形。解：設BC = x 由海倫公式的推廣，得：= (4x)(2x)2 =27 x412x216x27 = 0 x2(x2