第四章 貝塞爾函數(shù)

1、深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院第四章：貝塞爾函數(shù)第四章：貝塞爾函數(shù)深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 幾個(gè)微分方程的引入幾個(gè)微分方程的引入 伽馬函數(shù)的基本知識(shí)伽馬函數(shù)的基本知識(shí) 貝塞爾方程的求解貝塞爾方程的求解 貝塞爾函數(shù)的基本性質(zhì)貝塞爾函數(shù)的基本性質(zhì) 貝塞爾函數(shù)應(yīng)用舉例貝塞爾函數(shù)應(yīng)用舉例本章提要本章提要: :參考了孫秀泉教授的課件深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 貝塞爾函數(shù)是貝塞爾方程的解。除初等函數(shù)外，貝塞爾函數(shù)是貝塞爾方程的解。除初等函數(shù)外，在物理和工程中貝塞爾函數(shù)是最常用的函數(shù)，它們?cè)谖锢砗凸こ讨胸惾麪柡瘮?shù)是最常用的函數(shù)，它們以以19世紀(jì)德國(guó)天文學(xué)家世紀(jì)德國(guó)天文學(xué)家 F.W.B

2、essel 的姓氏命名，他的姓氏命名，他在在1824年第一次描述過(guò)它們。年第一次描述過(guò)它們。深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 德國(guó)天文學(xué)家，數(shù)學(xué)家，天體測(cè)量學(xué)的奠基人。德國(guó)天文學(xué)家，數(shù)學(xué)家，天體測(cè)量學(xué)的奠基人。1784 年年7 月月22日生于日生于明登明登 ，1846 年年3月月17日卒于柯尼斯堡。日卒于柯尼斯堡。15歲輟學(xué)到布萊梅一家商行學(xué)徒，業(yè)歲輟學(xué)到布萊梅一家商行學(xué)徒，業(yè)余學(xué)習(xí)天文、地理和數(shù)學(xué)。余學(xué)習(xí)天文、地理和數(shù)學(xué)。20歲時(shí)發(fā)表了有關(guān)彗星軌道測(cè)量的論文。歲時(shí)發(fā)表了有關(guān)彗星軌道測(cè)量的論文。1810年年任新建的柯尼斯堡天文臺(tái)臺(tái)長(zhǎng)，直至逝世。任新建的柯尼斯堡天文臺(tái)臺(tái)長(zhǎng)，直至逝世。1812年當(dāng)選為柏

3、林科學(xué)院院士。年當(dāng)選為柏林科學(xué)院院士。 貝塞爾的主要貢獻(xiàn)在天文學(xué)，以貝塞爾的主要貢獻(xiàn)在天文學(xué)，以天文學(xué)基礎(chǔ)天文學(xué)基礎(chǔ)（1818）為標(biāo)志發(fā)展了）為標(biāo)志發(fā)展了實(shí)驗(yàn)天文學(xué)實(shí)驗(yàn)天文學(xué) ，還編制基本星表，還編制基本星表 ，測(cè)定恒星視差，測(cè)定恒星視差， 預(yù)言伴星的存在，導(dǎo)出用預(yù)言伴星的存在，導(dǎo)出用于天文計(jì)算的貝塞爾公式，較精確地計(jì)算出歲差常數(shù)等幾個(gè)天文常數(shù)值，還于天文計(jì)算的貝塞爾公式，較精確地計(jì)算出歲差常數(shù)等幾個(gè)天文常數(shù)值，還編制大氣折射表和大氣折射公式，以修正其對(duì)天文觀測(cè)的影響。他在數(shù)學(xué)研編制大氣折射表和大氣折射公式，以修正其對(duì)天文觀測(cè)的影響。他在數(shù)學(xué)研究中提出了貝塞爾函數(shù)，討論了該函數(shù)的一系列性質(zhì)及其

4、求值方法，為解決究中提出了貝塞爾函數(shù)，討論了該函數(shù)的一系列性質(zhì)及其求值方法，為解決物理學(xué)和天文學(xué)的有關(guān)問(wèn)題提供了重要工具。此外，他在大地測(cè)量學(xué)方面也物理學(xué)和天文學(xué)的有關(guān)問(wèn)題提供了重要工具。此外，他在大地測(cè)量學(xué)方面也做出一定貢獻(xiàn)，提出貝塞爾地球橢球體等觀點(diǎn)。貝塞爾重新訂正了做出一定貢獻(xiàn)，提出貝塞爾地球橢球體等觀點(diǎn)。貝塞爾重新訂正了布拉德布拉德萊星表萊星表，并加上了歲差和章動(dòng)以及光行差的改正，并加上了歲差和章動(dòng)以及光行差的改正 ; 還編制了包括比九等星還編制了包括比九等星更亮的更亮的75000多顆恒星的基本星表，后來(lái)由他的繼承人阿格蘭德擴(kuò)充成著名的多顆恒星的基本星表，后來(lái)由他的繼承人阿格蘭德擴(kuò)充成

5、著名的波恩巡天星表波恩巡天星表。 1837年，貝塞爾發(fā)現(xiàn)天鵝座年，貝塞爾發(fā)現(xiàn)天鵝座61正在非常緩慢地改變位置，正在非常緩慢地改變位置， 第二年，他宣布這顆星的視差是第二年，他宣布這顆星的視差是0.31弧秒，這是世界上最早弧秒，這是世界上最早 被測(cè)定的恒星視差之一。被測(cè)定的恒星視差之一。深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院三維波動(dòng)方程：22222222222azyxat三維熱傳導(dǎo)方程：)()(),(tTrutr222222222azyxat分離變量：（亥姆霍茲方程）022uku一、幾個(gè)微分方程的引入一、幾個(gè)微分方程的引入對(duì)u(r)，得到：深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院xyzrcossinsincossinrz

6、ryrx球坐標(biāo)下：022uku0sin1sinsin1122222222ukururrurrr深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，代入原方程設(shè))()()(),(rRru0)()( 2m0)sin(sinsin1222mdddd0)(2222RrkdrdRrdrd球貝塞爾方程球貝塞爾方程022RdrdRrdrd歐拉方程歐拉方程k=0k=0深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院0)sin(sinsin1222mdddd)()(cosxyx0)1()1 (2222yxmdxdyxdxd連帶勒讓德方程：勒讓德方程：0)1 (22ydxdyxdxdm=0深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院xyzrzzyxsincos柱坐標(biāo)下：022

7、uku01)(1222222ukzuuu深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院)()()(),(zZRzu0)()( 2m0)(2222222RmkddRdRd0)()( 2zZzZ貝塞爾方程貝塞爾方程)()()(22Rxykx022222ymxdxdyxdxydx深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院)(,0)()()(bxayxyxqxdydxkxdd?。喝。?)(0)(1)(xxqxk、022 ydxyd亥姆霍茲方程xxxmxqxxk)()()(2、02xyyxmdxdyxdxd參數(shù)形式的參數(shù)形式的貝塞爾方程貝塞爾方程?。喝。?102xyyxmdxdyxdxdSturm-Liouville（ 施圖姆-劉維爾）型

8、方程貝塞爾方程貝塞爾方程101)(2、qxxk0)1 (2ydxdyxdxd勒讓德方程?。喝。毫硪煌緩剑毫硪煌緩剑荷钲诖髮W(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院)0()(01xdttexxt定義：基本性質(zhì)：)() 1(xxx）xxdttexetedtdttexxttxtxxt()(1(0100011證明：!) 1(nn1) 1 (00ttedte1) 1 (1)2(! 2)2(2)3(! 3)3(3)4(二、伽馬函數(shù)的基本知識(shí)二、伽馬函數(shù)的基本知識(shí)深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院21求證：dttexxt01)(令t=u2dueuduedtteuut020212021222)()(21dxdyedvedueyxvu0)(

9、0002222242221rdrddxdyyxr222derdrdedxdyerrryx2000200)(0222222144421其它結(jié)論!2)!2(212nnnn!2)!12(12112nnnn深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院)0(022222xyxdxdyxdxydx）（變系數(shù)的二階線(xiàn)性常微分方程，其解稱(chēng)為貝塞爾函數(shù)階貝塞爾方程01 222yxxyxy不能在x=0附近展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)，因?yàn)閤=0是它的正則奇點(diǎn)對(duì)于變系數(shù)方程y+p(x)y+q(x)y=0，如果xp(x)、x2q(x)都能在x=0附近展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)，則在這個(gè)鄰域內(nèi)方程有廣義冪級(jí)數(shù)解)0(00CxCykkckCk是展開(kāi)系數(shù)，c是待定常數(shù)三

10、、貝塞爾方程的求解三、貝塞爾方程的求解深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院02210)()(kkckkkcxCxCxCxCCxxy01)()(kkckxkcCxy 02)( ) 1()(kkckxkckcCxy代入貝塞爾方程0)()()( ) 1(02201022kkckkkckkkckxCvxxkcCxxkckcCx0)()( ) 1(0200SxCvxkcCxkckcCkkckkkckkkck)2(2202kmxCxCSmmcmkkck022222yvxdxdyxdxydx）（深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院0)() 1()()()( ) 1() 1()()() 1()( ) 1() 1() 1()()(

11、 ) 1(22221221220222122122022221120221102110220200kkckkcckkckkkkcckkckkkckcckkckcckkckccmmcmkkckkkckkkckxCvkcCxvcCxvcCxCCvkcCkckcCxvcCxvcCxCxCvxCvxCvxkcCxcCcxCxkckcCxccCcxcCxCxCvxkcCxkckcC要使等式兩邊成立，則x各次冪的系數(shù)為零深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院)0(0)() 1 (022kCvc) 1(0) 1()2(122kCvc)2(0)() 3(222kCCvkckk0)(22vcvc將c=v代入(2)，得C1=

12、0先考慮c=v情況，代入(3)，得)2()2(2kvkkCCkk0)23( 3)23( 31233vCvCC07531CCCC(4)深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院)1 (2)22(220222vCvCC)2)(1 ( ! 22)24(4)24(4402244vvCvCvCC)3)(2)(1 ( ! 32)26(6)26(6604266vvvCvCvCC)()3)(2)(1 ( !2) 1(202vmvvvmCCmmm一個(gè)特解為02200)()3)(2)(1 ( !2) 1(mvmmmkkckxvmvvvmCxCyC0為任意常數(shù)，通常取)1 (210vCv深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院) 1()1 ()

13、1)(2() 1)(vmvvvvmvm0222(2)(2)( 1)2! (1)(2)(3)(1)()11( 1)2(1)2! (1)(2)(3)(1)()( 1)2!(1)(1)(2)(3)(1)()( 1)2!(1)mmmmvmmm vmm vCCmvvvmv mvvmvvvmv mvmvvvvmv mvmmv vmmmvxvmmxJ202)1(!) 1()(v階第一類(lèi)貝塞爾函數(shù)深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院對(duì)于任意x(-,+)，0)1)(1(1lim2)()(lim21vmmxxuxummmmvmmmmmvxvmmxuxJy20012)1(!) 1()()(因此級(jí)數(shù)y1的收斂區(qū)間為 (-,+)

14、在x=0時(shí)，)0(0)0()0(1)0(vJvJvv令深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院再考慮c=-v情況，得到vmmmvxvmmxJy2022)1(!) 1()(貝塞爾方程的通解為：)()(xBJxAJyvv其中v為實(shí)數(shù)（不是整數(shù)不是整數(shù)），A、B為待定系數(shù)稱(chēng)為第一類(lèi)貝塞爾函數(shù)和)()(xJxJvv深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，故有為正整數(shù)或零時(shí)，當(dāng))!()1(nmnmv), 2 , 1 , 0(2! )( !) 1()(20nxnmmxJnmmmn20( 1)( )(0,1,2,)!(1)2m nmnmxJxnmmn 整數(shù)階貝塞爾函數(shù))() 1()(xJxJnnn經(jīng)過(guò)證明，有是線(xiàn)性相關(guān)的和)()(x

15、JxJnnvxJvxJxYvvvsin)(cos)()(定義其中v不是整數(shù)sin)(cos)(lim)(xJxJxYv當(dāng)v是整數(shù)時(shí)深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院Yv稱(chēng)為第二類(lèi)v階貝塞爾函數(shù)（也稱(chēng)諾伊曼或牛曼函數(shù)），與Jv(x)是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的v階貝塞爾方程的通解：)()(xBYxAJyvv如果v不是整數(shù)，其通解還可表示為)()(xBJxAJyvv深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院第二類(lèi)貝塞爾函數(shù)的圖象貝塞爾函數(shù)的圖象貝塞爾、牛曼函數(shù)的圖象深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院求求方方程程例例0)()()()(2222 xynxxyxxyx 。的的通通解解，這這里里參參數(shù)

16、數(shù)0 ，則則原原方方程程可可以以變變成成作作變變換換解解xz 0)(22222ynzdzdyzdzydz0)(22222ynxxdydxxdydx為階貝塞爾方程，其通解的看出它是關(guān)于nz)()(zYBzJAynn所所以以原原方方程程的的通通解解為為)()()(xYBxJAxynn 為任意實(shí)數(shù)。為任意常數(shù)，、其中，nBA從而得到其通解?？梢曰癁樨惾麪柗匠蹋?，通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q，注：有許多二階微分方深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院四、貝塞爾函數(shù)的基本性質(zhì)四、貝塞爾函數(shù)的基本性質(zhì)1、生成函數(shù)：、生成函數(shù)：如果一個(gè)函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)式的系數(shù)是貝塞爾函數(shù)，則稱(chēng)該函數(shù)為貝塞爾函數(shù)的生成函數(shù)或母函數(shù)。nnnrxJrxf

17、)(),(如果有則稱(chēng)f(x,r)為Jn(x)的生成函數(shù)，r為參數(shù)整數(shù)階貝塞爾函數(shù)的生成函數(shù)為nnnrxJrrx)(12exp深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院2、貝塞爾函數(shù)的遞推公式、貝塞爾函數(shù)的遞推公式)()()()(11xJxxJxdxdxJxxJxdxdvvvvvvvv對(duì)任意v都成立)()(10 xJxJdxd)()(01xxJxxJdxd)()(111xJxdxxJxvvvv)()(111xJxdxxJxvvvv深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院dxxxJ)(2積分利用遞推公式，求不定得利用右式和分部積分，解：)()(1xJxxJxdxdvvvvcxJxxJxJdxxJdxxJxxJdxxJxxxJx

18、xxJxdxdxxJxxdxxxJ)(2)()(2)()(2)()(2)()()()(01011111112112212212 xxx拼湊：拼湊：udvvuvdu )()(12111xJxxJxdxdv 時(shí)，當(dāng)：)()(010 xJxJdxdv時(shí)，有特別當(dāng)：例1深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院例2計(jì)算積分dxxJx)(14)()(111xJxdxxJxvvvv)()(1xJxxJxdxdvvvv)(2)()(2)()(2)()()()(332423242222222212214xJxxJxdxxJxxJxdxxxJxxJxxxJxdxdxxJxxdxxJx利用深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院例3求證：)(

19、)(10axaJaxJdxd證明：利用)()(10 xJxJdxd)()()(10axJaxJaxdd)()(10axaJaxJdxd深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院例4求證：)()(01axaxJaxxJdxd證明：利用)()(01xxJxxJdxd)()()(01axaxJaxaxJaxdd)()()()(011axaxJaxaxJaxddaxxJdxd)()(1xJxxJxdxdvvvv深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院3、貝塞爾函數(shù)的零點(diǎn)、貝塞爾函數(shù)的零點(diǎn)的的值值。的的那那些些，是是指指使使所所謂謂貝貝塞塞爾爾函函數(shù)數(shù)的的零零點(diǎn)點(diǎn)xxJn0)( )(0 xJ)(0 xJx)(1xJ510 零零點(diǎn)點(diǎn)，

20、就就是是方方程程換換言言之之，貝貝塞塞爾爾函函數(shù)數(shù)的的理理方方程程時(shí)時(shí)，具具有有的的根根，它它在在求求解解數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)物物0)( xJn)(xJnn，貝貝塞塞爾爾函函數(shù)數(shù)的的重重要要的的意意義義。對(duì)對(duì)于于給給定定，有有多多少少？它它們們是是怎怎樣樣是是否否存存在在零零點(diǎn)點(diǎn)？如如果果有有的的級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)表表達(dá)達(dá)式式慮慮分分布布的的？為為此此，首首先先考考)(xJn)1(!2)1()(220 mnmxxJmnmnmmn )1(!2)1()(220 mnmxxxJmnmmmnn 部分是奇函數(shù)。的級(jí)數(shù)部分是偶函數(shù)，由此可見(jiàn)，)(xJn成成對(duì)對(duì)出出現(xiàn)現(xiàn)。然然以以原原點(diǎn)點(diǎn)為為對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)中中心心，的的實(shí)實(shí)零零點(diǎn)點(diǎn)存存

21、在在的的話(huà)話(huà)，必必故故若若)(xJn這這樣樣一一個(gè)個(gè)特特征征。同同時(shí)時(shí)，還還應(yīng)應(yīng)注注意意：,0)0(,1)0(10 JJ零點(diǎn)的概念與初步印象零點(diǎn)的概念與初步印象)0(1 )0(2 )1(2 )1(1 深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院)(0 xJ)(0 xJx)(1xJ510 些些重重要要結(jié)結(jié)論論：面面將將不不加加證證明明地地給給出出一一，有有一一系系列列的的定定理理，下下關(guān)關(guān)于于貝貝塞塞爾爾函函數(shù)數(shù)的的零零點(diǎn)點(diǎn)關(guān)于零點(diǎn)的幾個(gè)結(jié)論關(guān)于零點(diǎn)的幾個(gè)結(jié)論(1) Jn(x)有無(wú)窮多個(gè)單重實(shí)零點(diǎn)，且這無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)在x軸上是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)分布著的，因而Jn(x)必有無(wú)窮多個(gè)正的零點(diǎn)(2) Jn(x)的零點(diǎn)與Jn+1

22、(x)的零點(diǎn)是彼此相間分布的，即Jn(x)的任意兩個(gè)零點(diǎn)之間必存在一個(gè)且僅有一個(gè)Jn+1(x)的零點(diǎn)(3) 當(dāng)x的值充分大時(shí)，Jn(x)的兩個(gè)相鄰零點(diǎn)之間的距離接近，即Jn(x)幾乎是以2為周期)()(10 xJxJdxd的的零零點(diǎn)點(diǎn)。的的極極值值點(diǎn)點(diǎn)，就就是是由由此此斷斷言言，)()(10 xJxJ深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院)(0 xJx)(1xJ510），的的非非負(fù)負(fù)零零點(diǎn)點(diǎn)（表表示示換換一一種種說(shuō)說(shuō)法法：若若以以, 2 , 1)()( mxJnnm ，即即幾幾乎乎是是于于時(shí)時(shí)，其其結(jié)結(jié)果果無(wú)無(wú)限限地地接接近近當(dāng)當(dāng)則則 xnmnm)()(1的的圖圖形形如如下下與與為為周周期期的的周周期期函

23、函數(shù)數(shù)。以以)()(210 xJxJ 注意：這里的指標(biāo)注意：這里的指標(biāo)(n)，僅表示第僅表示第n 階貝塞爾階貝塞爾函數(shù)，不要與函數(shù)，不要與n 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)混淆。混淆。)(0 xJ ，也也有有類(lèi)類(lèi)似似的的結(jié)結(jié)論論。對(duì)對(duì)于于)(xYn深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院)(0 xJx)(1xJ510 )(nm , 2 , 1 , 0)(nnn階貝塞爾函數(shù)，階貝塞爾函數(shù)，指指., 2 , 1 mmm，個(gè)零點(diǎn)個(gè)零點(diǎn)第第的的值值。的的那那些些是是指指使使階階貝貝塞塞爾爾函函數(shù)數(shù)的的零零點(diǎn)點(diǎn)，xxJnnnm0)()( )0(1 )1(1 )0(2 )0(3 。確確定定之之后后，即即為為一一常常量量、。一一旦旦零零點(diǎn)

24、點(diǎn)和和其其第第多多少少個(gè)個(gè)階階數(shù)數(shù)它它取取決決于于貝貝塞塞爾爾函函數(shù)數(shù)的的軸軸上上的的一一些些數(shù)數(shù)值值。是是分分布布在在簡(jiǎn)簡(jiǎn)言言之之，mnmnxnm,)( )1(2 深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院算算出出來(lái)來(lái)，點(diǎn)點(diǎn)的的數(shù)數(shù)值值已已被被詳詳細(xì)細(xì)地地計(jì)計(jì)應(yīng)應(yīng)用用，貝貝塞塞爾爾函函數(shù)數(shù)正正零零為為了了便便于于工工程程技技術(shù)術(shù)上上的的個(gè)個(gè)正正零零點(diǎn)點(diǎn)的的前前出出了了并并列列成成了了表表格格。下下表表給給9)5 , 2 , 1 , 0()( nxJn的的近近似似值值：)9 , 2 , 1 , 0()( mnm 深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院希望光纖傳輸單模，要求波導(dǎo)的歸一化頻率滿(mǎn)足0V2.405。光纖（光導(dǎo)纖維

25、）是一種圓柱對(duì)稱(chēng)的介質(zhì)光波導(dǎo)?？v向電場(chǎng)分量Ez滿(mǎn)足)(002222kEkEzz01)(1222222zzzzEkzEErrErrr0)(2222222FrkdrdFrdrFdrziizeerAFzrE)(),(設(shè)后續(xù)課程中的一個(gè)應(yīng)用：圓柱坐標(biāo)系中深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院4、貝塞爾函數(shù)的漸近公式,.)2 , 1 , 0(24cos2)(nnxxxJn深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院5、貝塞爾函數(shù)的正交性、貝塞爾函數(shù)的正交性kmJRJRkmrdrRJrRJrnmnnmnnknnmnR當(dāng)當(dāng))(2)(20)()()(212)(212)()(0說(shuō)明，n階貝塞爾函數(shù)在區(qū)間0,R 上帶權(quán)r正交深圳大學(xué)電子科學(xué)與

26、技術(shù)學(xué)院貝塞爾函數(shù)是正交完備的，可以將一個(gè)定義在區(qū)間0,R的函數(shù)f(r)展開(kāi)為1)()()(mnmnmrRJArf展開(kāi)系數(shù))(2)()()(1220)(nmnRnmnmJRdrrRJrrfA由此式所確定的 Am被稱(chēng)為傅立葉-貝塞爾系數(shù)傅立葉-貝塞爾級(jí)數(shù)深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院例例1）上）上，在（在（的正零點(diǎn)，試將函數(shù)的正零點(diǎn)，試將函數(shù)是函數(shù)是函數(shù)設(shè)設(shè)101)()(), 2 , 1(0)0( xfxJmm 貝塞爾級(jí)數(shù)。貝塞爾級(jí)數(shù)。的傅立葉的傅立葉展成展成-)()0(0 xJm 解解 上上的的帶帶權(quán)權(quán)正正交交性性，在在并并利利用用函函數(shù)數(shù)系系，設(shè)設(shè)10)()()(1)0(0)0(01 mmmmm

27、rRJrRJArf )()(2)(21)1(1)(2)()()0(2110)0(0)0(10210)0(0)(1220)(mmmmnmnRnmnmJdxxxJJdxxJxJRdrrRJrrfA1, 0,Rnxr對(duì)本題而言，得得到到展展開(kāi)開(kāi)系系數(shù)數(shù)上式分子的積分：)0(m令深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院因因此此，展展開(kāi)開(kāi)系系數(shù)數(shù)為為）（）（)0(1)0()0(21)0()0(1)0(2110)0(02)(2)()(2mmmmmmmmJJJJdxxxJA于于是是，展展開(kāi)開(kāi)式式為為1)0(0)0(1)0(21)(mmmmxJJxf）（）（)0()0(111021001020)()(11)()()(1)(

28、)(mmJJxdxJxdxxxJxxJ)()()()(10111xxJdxxxJxJxdxxJxvvvv深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院例例2）上上，在在（個(gè)個(gè)正正零零點(diǎn)點(diǎn)，試試將將函函數(shù)數(shù)的的第第是是函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)10)()(), 2 , 1(1)1(xxfmxJmm 貝貝塞塞爾爾級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)。的的傅傅立立葉葉展展成成-)()1(1xJm ), 2 , 1()()R()(1)1(11)1(1mxJArJArfmmmmmm故設(shè)解解上的帶權(quán)正交，在利用本征函數(shù)系10)(1)n(nmmrRJ)(21)()(21)1()(2)()(221012)1(11210)1(1)(1220)(JdxxJxJdxxJxxJ

29、RdrrRJrrfAmmnmnRnmnm其中，展開(kāi)系數(shù)其中，展開(kāi)系數(shù)1, 1,Rnxr對(duì)本題而言，)1(m令深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院)(21)()(21)()(2)()(201012)1(2010)1(12)(1220)(JdxxJxJdxxJxJRdxxRJxfxAmmnmnRnmnm或或者者備用備用 上式分子的積分：上式分子的積分：依據(jù)基本遞推公式依據(jù)基本遞推公式,)()(1xJxxJxxddnnnn xdxJxm)()1(1210 )()()(1)()()(1)(210223101231012JxJxxdxJxdxxJx)(2)(2)(21)()(21)()1(2)1(22222210

30、12mmmJJJJJdxxJxA1)1(1)1(2)1()()(2mmmmxJJx展開(kāi)系數(shù)展開(kāi)式深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院例例解解，半半徑徑為為圓圓柱柱，其其高高為為布布）由由導(dǎo)導(dǎo)體體壁壁構(gòu)構(gòu)成成的的空空（圓圓柱柱形形域域內(nèi)內(nèi)的的電電勢(shì)勢(shì)分分bh電電勢(shì)勢(shì)分分布布。零零，試試求求圓圓柱柱體體內(nèi)內(nèi)部部的的，側(cè)側(cè)面面和和下下底底的的電電勢(shì)勢(shì)為為設(shè)設(shè)上上底底的的電電勢(shì)勢(shì)為為 U z oxyxo 無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)，邊邊界界條條件件與與角角度度以以采采用用柱柱坐坐標(biāo)標(biāo)系系。由由于于由由于于區(qū)區(qū)域域?yàn)闉閳A圓柱柱形形，所所 題題：是是歸歸結(jié)結(jié)為為求求下下列列定定解解問(wèn)問(wèn)兩兩個(gè)個(gè)自自變變量量的的函函數(shù)數(shù)，于于、只只是是

31、因因此此所所求求的的電電勢(shì)勢(shì)zu 0112222222 zuuuu )61. 4()0,20,0(012222hzbzuuu)62. 4(,00Uuuhzz)63. 4(0bu zRzuuu0,20,01)(122222 套路套路邊界條件邊界條件需需“翻譯翻譯”為為常常數(shù)數(shù)。這這里里，為為簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單計(jì)計(jì)，設(shè)設(shè)U一、建立方程一、建立方程bbh深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院)61. 4()0,20,0(012222hzbzuuu），分離變量，得，代入方程（應(yīng)用分離變量法，令4.61)()(),(zZRzu21 ZZRRR由由此此得得)64. 4(02 ZZ)65. 4(0222 RRR 其通解為）為零階

32、貝塞爾方程，方程（4.65)()()(00DYCJR，由由此此推推出出由由問(wèn)問(wèn)題題的的物物理理意意義義知知， u)66. 4()0(R取D=0第二類(lèi)貝塞爾函數(shù)在=0不是有界的深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院0)()(0bCJbR的正零點(diǎn)，有表示的零點(diǎn)。以是，由此可知即，)()(0)(0)0(00 xJxJbbJm0)()0(0 mJ 函數(shù)）下的本征值以及本征）、（）在條件（從而，得到方程（4.674.664.65)()0(bmm )()()0(0 bJRmm )2 , 1( m二、求本征值、二、求本征值、 本征函數(shù)本征函數(shù)由邊界條件得)67. 4(0)(0bRub深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院三、由疊加原理寫(xiě)出一般解。三、由疊加原理寫(xiě)出一般解。)64. 4(02 ZZ)65. 4(022 RRR ），可得的值代入方程（將上述4.64)exp()exp()()0()0(zbDzbCzZmmmmm從從而而)()exp()exp(),()0(0)0()0(bJzbDzbCzummmmmm）的解為）滿(mǎn)足（由疊加原理，方程（4.634.61)61. 4()0,20,0(012222hzbzuuu)62. 4(,00Uuuhzz)63. 4(0bu )68. 4()()exp()exp(),(1)0(0)0()0(mmmmmmbJzbDzbCzu一般解：本征解：深圳大學(xué)電子