Drucker_Prager準(zhǔn)則在拉剪區(qū)的修正

1、第29卷增1巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)V ol.29 Supp.1 2010年5月Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering May,2010 Drucker-Prager準(zhǔn)則在拉剪區(qū)的修正李平恩1,殷有泉2(1. 中國地震局地球物理研究所,北京 100081;2. 北京大學(xué)力學(xué)與工程科學(xué)系,北京 100871摘要:針對(duì)在巖石塑性力學(xué)領(lǐng)域廣泛應(yīng)用的Drucker-Prager準(zhǔn)則(簡稱D-P準(zhǔn)則是一個(gè)壓剪屈服準(zhǔn)則,在拉剪受力狀態(tài)下不適用的情況,提出在拉剪區(qū)修正D-P準(zhǔn)則的2種可行性方案。第一種方案是在壓剪區(qū),仍采用D-P準(zhǔn)則的錐面式,而在拉剪區(qū)及

2、其鄰近,采用一個(gè)球形屈服面代替原來的錐頂附近的錐面。第二種方案是使用一個(gè)雙曲旋轉(zhuǎn)面近似地代替D-P圓錐面。將這2種方法定義的新的修正的D-P準(zhǔn)則簡稱為D-P-Y準(zhǔn)則,它是一個(gè)三參數(shù)準(zhǔn)則,不僅在壓剪區(qū)符合三軸壓縮實(shí)驗(yàn)結(jié)果,而且在拉剪區(qū)也可擬合抗拉強(qiáng)度的資料。同時(shí),它還是一個(gè)在全區(qū)域處處光滑的正則函數(shù),可以使用經(jīng)典的正交法則和一致性條件建立本構(gòu)關(guān)系,而不必做任何奇異點(diǎn)的處理,這給應(yīng)用和編程都帶來方便,具有廣泛的應(yīng)用前景。特別地,對(duì)于雙曲型的D-P-Y準(zhǔn)則,當(dāng)相關(guān)參數(shù)取0時(shí),可分別退化為D-P準(zhǔn)則和Mises準(zhǔn)則,因此,在編程中可只編入D-P-Y準(zhǔn)則。關(guān)鍵詞:巖石力學(xué);D-P準(zhǔn)則;拉剪區(qū)修正;球形屈

3、服面;雙曲旋轉(zhuǎn)面;修正的D-P準(zhǔn)則;正則函數(shù)中圖分類號(hào):TU 45 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):10006915(2010增1302905MODIFICATION OF DRUCKER-PRAGER CRITERION IN TENSILESHEAR REGIONLI Pingen1,YIN Youquan2(1. Institute of Geophysics,China Earthquake Administration,Beijing100081,China;2. Department of Mechanics and Engineering Science,Peking Universi

4、ty,Beijing100871,ChinaAbstract:Drucker-Prager criterion(D-P criterion has been widely used in the field of rock plastic mechanics. However,it is a type of compression shear yield criteria and not suitable for tensile shear stress states. According to this case,two feasible schemes are proposed to mo

5、dify D-P criterion in tensile shear region. The first scheme is that the conical surface expression is still retained in compression shear region while in tensile shear region and its neighbor,a spherical yield surface is employed in place of the original conical surface near cone apex. The second s

6、cheme uses a hyperbolic rotating surface to approximately replace D-P conical surface. The modified new criteria defined by the two methods are called as D-P-Y criterions. They are three-parameter criteria and not only agree with the experimental result in triaxial compression test in compression sh

7、ear stress states,but also can fit the tensile strength date in tensile shear regions. Meanwhile,the D-P-Y criteria are everywhere-smooth regular functions in all compression shear and tensile shear regions,and the constitutive equations can be established by using classic normality rule as well as

8、consistency condition,needing no treating any singular points specially, which brings conveniences for application and programming. Particularly,for hyperbolic type D-P-Y criterion,when the relevant parameters are zero,it can be degenerated into D-P and Mises criterion,respectively. Therefore,it收稿日期

9、:20090204;修回日期:20090511基金項(xiàng)目:中國地震局地球物理研究所中央級(jí)公益性科研院所基本科研業(yè)務(wù)專項(xiàng)資助項(xiàng)目(DQJB08B21作者簡介:李平恩(1977,男,博士,2007年于北京大學(xué)工學(xué)院力學(xué)與工程科學(xué)系固體力學(xué)專業(yè)獲博士學(xué)位,主要從事巖石力學(xué)、復(fù)雜介質(zhì)地震波理論和數(shù)值模擬方面的研究工作。E-mail:pingen2000 3030 巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào) 2010年 can be incorporated into D-P-Y criterion only in programming.Key words :rock mechanics ;D-P criterion ;mod

10、ification in tensile shear region ;spherical yield surface ;hyperbolic rotating surface ;modified D-P criterion ;regular function1 引 言材料的屈服準(zhǔn)則很多,對(duì)于不同類別的材料也不盡相同。對(duì)于金屬材料而言,采用Tresca 準(zhǔn)則或者M(jìn)ises 準(zhǔn)則研究材料或結(jié)構(gòu)的屈服可以獲得良好的結(jié)果。在靜水壓力作用下,金屬材料的體積變形是彈性的,屈服準(zhǔn)則不包含應(yīng)力的第一不變量1I 。與之不同,對(duì)于巖石類材料而言,靜水壓力對(duì)材料的破壞性質(zhì)有很大影響,因此在屈服準(zhǔn)則中必須含有應(yīng)力張量

11、的第一不變量1I 。Coulomb 于1773年提出的Mohr-Coulomb 破壞準(zhǔn)則(簡稱Coulomb 準(zhǔn)則,考慮了靜水壓力效應(yīng),它能反映多數(shù)巖石三軸壓縮實(shí)驗(yàn)結(jié)果,可以認(rèn)為是Tresca 準(zhǔn)則的推廣。Coulomb 準(zhǔn)則在主應(yīng)力空間是一個(gè)六棱錐,在平面上是一個(gè)包含奇異點(diǎn)的不規(guī)則的六邊形,稱為Coulomb 六邊形。奇異點(diǎn)處理的困難給使用帶來了不便。1952年,D. C. Drucker 和W. Prager 1在土力學(xué)研究中將Mises 準(zhǔn)則進(jìn)行了簡單的修正,為考慮靜水壓力分量的影響,引入一個(gè)附加項(xiàng),給出了D-P 準(zhǔn)則,即1/2120f I J k =+=(1k =(2式中:f 稱為屈服

12、函數(shù);k ,均為正的材料常數(shù);1I 為應(yīng)力分量的第一不變量;2J 為偏應(yīng)力張量的第二不變量。在不計(jì)靜水壓力影響時(shí),它退化為Mises 準(zhǔn)則,因而它也稱為廣義的Mises 準(zhǔn)則。D-P 準(zhǔn)則在主應(yīng)力空間是一個(gè)圓錐面,在平面上是一個(gè)圓,稱為D-P 圓。通常將D-P 準(zhǔn)則看做是Coulomb 準(zhǔn)則光滑化的近似,式(2中取“+”“-”號(hào)為D-P 圓錐分別與Coulomb 棱錐外接和內(nèi)接時(shí),D-P 準(zhǔn)則參數(shù)和k 與工程上常用的黏聚力c (Coulomb 準(zhǔn)則中剪切強(qiáng)度的截?cái)嘀岛蛢?nèi)摩擦角之間的關(guān)系。巖石類材料的c ,值通?？稍赗. E. Goodman 2中查到,從而可用式(2確定D-P 準(zhǔn)則中的材料參數(shù)

13、k ,。最近十幾年,在巖土類材料強(qiáng)度理論的研究方面取得了一些進(jìn)展。俞茂宏3基于雙剪強(qiáng)度理論,提出了一個(gè)能夠適用于各種巖土類材料的統(tǒng)一強(qiáng)度理論及其線性表達(dá)式,包含或線性逼近了現(xiàn)有各種主要強(qiáng)度理論和可能有的強(qiáng)度理論,在對(duì)各種強(qiáng)度理論的研究方面具有重要的理論意義。基于這一思想,周鳳璽和李世榮4試圖用一個(gè)表達(dá)式來統(tǒng)一描述材料的強(qiáng)度特性,提出了具有Drucker-Prager 準(zhǔn)則表達(dá)形式的廣義非線性強(qiáng)度理論。該強(qiáng)度理論在偏平面上的強(qiáng)度函數(shù)是介于D-P 準(zhǔn)則和Mohr-Coulomb 準(zhǔn)則外包線的光滑外凸函數(shù)。隨后,俞茂宏5又提出了更具普遍意義的統(tǒng)一強(qiáng)度理論,使線性和非線性屈服準(zhǔn)則得到了完全數(shù)學(xué)形式上的

14、統(tǒng)一。隨后,俞茂宏等6通過補(bǔ)充一個(gè)拉伸破壞條件,將統(tǒng)一強(qiáng)度理論擴(kuò)展到了三向拉伸區(qū),從而使其在理論上更趨完整。曹文貴等7,8修正了采用細(xì)觀損傷力學(xué)建立起來的巖石統(tǒng)計(jì)本構(gòu)模型。在此基礎(chǔ)上,采用多元函數(shù)求極值的方法建立巖石強(qiáng)度理論,分別對(duì)D-P 準(zhǔn)則和Coulomb 準(zhǔn)則進(jìn)行了修正。在D-P 準(zhǔn)則的參數(shù)特性分析方面,劉金龍等9深入探討了D-P 準(zhǔn)則中常用材料參數(shù)與中主應(yīng)力之間的相互關(guān)系。在屈服準(zhǔn)則的可靠度分析方面,張 浪等10以D-P 準(zhǔn)則為研究對(duì)象,從可靠度理論入手,視強(qiáng)度參數(shù)為滿足正態(tài)分布的隨機(jī)變量,導(dǎo)出了D-P 準(zhǔn)則可靠度判別的解析表達(dá)式。從而使在數(shù)值計(jì)算中使用D-P 準(zhǔn)則的可靠度判據(jù)成為可能

15、。巖土類材料的屈服準(zhǔn)則是與本構(gòu)關(guān)系密切聯(lián)系的,在動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型方面,肖詩云等11基于一致黏塑性模型理論,在實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上,通過引入應(yīng)變率的影響,推導(dǎo)了混凝土D-P 材料的一致率型本構(gòu)模型?；谕瑯拥睦碚?褚衛(wèi)江等12將線性D-P 模型推廣到一致性的黏塑性模型。俞茂宏等13詳細(xì)總結(jié)了強(qiáng)度理論的發(fā)展過程,并討論了今后的發(fā)展方向。隨著數(shù)值計(jì)算技術(shù)(特別是有限元的發(fā)展,在巖石力學(xué)和巖石工程中廣泛采用非線性有限元分析。巖石力學(xué)在20世紀(jì)的最后20 a 得到了快速的發(fā)展。人們使用剛性伺服實(shí)驗(yàn)機(jī)得到了各種巖石類第29卷 增1 李平恩,等.Drucker-Prager 準(zhǔn)則在拉剪區(qū)的修正 3031 材料的應(yīng)力應(yīng)變?nèi)?/p>

16、過程曲線,認(rèn)識(shí)到在峰值應(yīng)力后這些材料還可經(jīng)受較大的變形。用宏觀唯象理論,將巖石卸載后的殘余變形(不可逆變形看作為塑性變形,建立了巖石塑性力學(xué)。而在巖石塑性本構(gòu)理論中的屈服準(zhǔn)則通常采用Coulomb 破壞準(zhǔn)則和D-P 破壞準(zhǔn)則的形式,在巖石塑性力學(xué)中分別稱為Coulomb 屈服準(zhǔn)則和D-P 屈服準(zhǔn)則。在此基礎(chǔ)上發(fā)展了不少用于巖石力學(xué)與巖石工程的非線性有限元程序。Coulomb 屈服面是含有棱線的奇異曲面,在奇異點(diǎn)處的本構(gòu)理論雖然已經(jīng)給出,但比較復(fù)雜,要采用Koiter 流動(dòng)法則,要區(qū)分部分加載和完全加載等等。D-P 屈服面在壓剪應(yīng)力狀態(tài)下處處光滑,本構(gòu)公式表述簡單,編程和使用方便。此外,D-P

17、準(zhǔn)則還考慮了中間主應(yīng)力的影響。因而D-P 準(zhǔn)則在國內(nèi)外巖石塑性力學(xué)的數(shù)值分析領(lǐng)域得到廣泛的使用。盡管如此,D-P 準(zhǔn)則在拉剪區(qū)卻不適用,如何將其適用范圍擴(kuò)展到拉剪區(qū)始終是一個(gè)在理論上值得探討的問題。為此,本文通過2種方法構(gòu)造處處光滑的正則函數(shù),將D-P 準(zhǔn)則推廣到拉剪區(qū),既符合實(shí)驗(yàn)結(jié)果,又給應(yīng)用和編程帶來了方便,具有廣泛的應(yīng)用前景。2 在拉剪區(qū)修正的D-P 準(zhǔn)則與Coulomb 準(zhǔn)則一樣,D-P 準(zhǔn)則同樣是一個(gè)壓剪型的屈服準(zhǔn)則,不適應(yīng)于拉剪型應(yīng)力狀態(tài),因此在拉剪區(qū)1(0I >將失去其實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)。特別地,用它預(yù)言的錐頂處的*1I 值(0=,*1/I k =,遠(yuǎn)大于實(shí)驗(yàn)值t 112233t (

18、I =+=t ,其中t 為抗拉強(qiáng)度。例如對(duì)Berea 砂巖,按相關(guān)研究2,c =27.2 MPa ,=37.2°,由式(2可得0.29=,k =31.3 MPa ,因而D-P 準(zhǔn)則預(yù)言的抗拉強(qiáng)度*1t I =107.9 MPa ,遠(yuǎn)大于實(shí)測抗拉強(qiáng)度 1.17 MPa 2。為解決這一矛盾,以往在工程計(jì)算中,用一個(gè)過點(diǎn)t ( 0I ,的垂直于橫軸的拉伸截?cái)嗝鎭砭植康厝〈鶧-P 錐面。如圖1(a所示,這樣做,雖然避免了出現(xiàn)過大的t I 值,但這個(gè)截?cái)嗝媾c原D-P 錐面卻交匯成新的奇異點(diǎn),在處理上構(gòu)成新的困難。為避免奇異點(diǎn)的出現(xiàn),提出在拉剪區(qū)(10I >內(nèi)修正D-P 準(zhǔn)則的2種可行性方

19、案。(a(b圖1 修正的D-P 準(zhǔn)則示意圖Fig.1 Schematic diagram of modified D-P criterion第一種方案如圖1(a所示,在壓剪區(qū),1B I I <時(shí)仍采用D-P 錐面式(1,而在拉剪區(qū)及其鄰近,1B I I ,采用一個(gè)球形屈服面代替原來的錐頂附近的錐面。因此,修正的D-P 準(zhǔn)則為1/212121/221t 10(0(B A A B I J k I I f J I I I I I I +=+=< (3其中,21/2t 21/2t t 21/2(1(1(1A B k I kI +=+=+(4 不難看出,這個(gè)球面既通過點(diǎn)t (0I ,又在點(diǎn)B

20、 與D-P 錐面相切,因而由式(3定義的新的屈服準(zhǔn)則是一個(gè)處處光滑的正則函數(shù),不過是分區(qū)給出表達(dá)式,稍微復(fù)雜一些罷了。形如式(3的準(zhǔn)則稱為球頂型的修正D-P 準(zhǔn)則。第二種修正方案是使用一個(gè)雙曲旋轉(zhuǎn)面近似地代替D-P 圓錐面,而后者是前者的漸近面,如圖1(b所示。這時(shí)的屈服準(zhǔn)則為221/221(0f J a k I k =+= (511A B t 11 3032 巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào) 2010年 其中, t1a k=(0a 1 (6如果0a =,就回到原D-P 準(zhǔn)則。由式(5給出的雙曲旋轉(zhuǎn)屈服面通過點(diǎn)t (0I ,且處處光滑。形如式(5的準(zhǔn)則稱為雙曲型的修正D-P 準(zhǔn)則。本文給出2種新的準(zhǔn)則,也可

21、稱為D-P-Y 準(zhǔn)則,因?yàn)樗鼈兪且笥腥?4首先提出并應(yīng)用于工程計(jì)算的。本文建議在巖石塑性力學(xué)的有限元計(jì)算中盡量采用正則屈服準(zhǔn)則。例如,金屬材料用Mises 準(zhǔn)則,巖石類材料用D-P 準(zhǔn)則和雙曲型的D-P-Y 準(zhǔn)則。這三類準(zhǔn)則的屈服函數(shù),正則性和參數(shù)見表1。表1 正則屈服準(zhǔn)則及參數(shù) Table 1 Some regular yield criterions屈服準(zhǔn)則 正則性 參數(shù)Mises 準(zhǔn)則:在編程中可只編入D-P-Y 準(zhǔn)則,其中令0a =,得到D-P 準(zhǔn)則,令0a =得到Mises 準(zhǔn)則。對(duì)Berea 砂巖,k =31.3 MPa ,0.29=,t =1.17 MPa ,在1I 不變量空間表

22、示的屈服面如圖2所示。圖2 Berea 砂巖的屈服準(zhǔn)則 Fig.2 Yield criterion of Berea sandrock由于用于計(jì)算參數(shù)k ,的c ,值的數(shù)據(jù)通常是由三軸和直剪的巖石試件破壞實(shí)驗(yàn)得到的,圖2中的屈服面應(yīng)該是峰值屈服面。用塑性力學(xué)語言來說,這是一種后繼屈服面(有時(shí)也稱加載面,即對(duì)應(yīng)于應(yīng)力應(yīng)變?nèi)^程曲線峰值的屈服面。而實(shí)驗(yàn)也可得到殘余的c ,值,由它們確定D-P 準(zhǔn)則參數(shù)k ,對(duì)應(yīng)于殘余屈服面。然而缺少初始屈服面(巖石在力作用開始出現(xiàn)微破裂時(shí)的參數(shù),在實(shí)用中通常將峰值參數(shù)按一定比例折減而得到。最一般情況,t k ,等參數(shù)應(yīng)是塑性內(nèi)變量(可以是塑性功p w ,塑性擴(kuò)容p

23、 ,等效塑性應(yīng)變p 的函數(shù)。t k ,按不同方式變化,可以得到各種復(fù)雜的強(qiáng)化軟化方案。如果3個(gè)材料參數(shù)t k ,均不隨內(nèi)變量變化,那么D-P 錐面在應(yīng)力空間保持不動(dòng),雙曲型D-P-Y 屈服面也在應(yīng)力空間保持不動(dòng),這些相當(dāng)于理想塑性。如果2個(gè)參數(shù)t ,不隨內(nèi)變量變化,只有k 隨內(nèi)變量變化,這相當(dāng)于D-P 錐面在應(yīng)力空間相似的膨脹和收縮(錐面母線保持平行,相應(yīng)地D-P-Y 雙曲旋轉(zhuǎn)面隨之膨脹和收縮,但其頂點(diǎn)不動(dòng)。3 結(jié) 論針對(duì)D-P 準(zhǔn)則在拉剪區(qū)不適用的情況,本文提出了2種方法在拉剪區(qū)對(duì)其進(jìn)行修正。修正后的D-P 屈服準(zhǔn)則符合拉剪狀態(tài)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果,并且在全區(qū)域內(nèi)處處正則光滑而沒有奇異點(diǎn),這給使用帶來

24、了很大的方便。一個(gè)好的破裂或屈服準(zhǔn)則應(yīng)該具有兩方面特點(diǎn),一是符合實(shí)驗(yàn)資料,一是便于應(yīng)用。本文提出的修正的Drucker-Prager 準(zhǔn)則(簡稱D-P-Y 準(zhǔn)則具有這兩方面的特點(diǎn)。D-P-Y 準(zhǔn)則是一個(gè)三參數(shù)準(zhǔn)則,不僅在壓剪區(qū)能擬合三軸壓縮實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)資料,而且在拉剪區(qū)可擬合抗拉強(qiáng)度的資料。同時(shí),D-P-Y 準(zhǔn)則是一個(gè)全區(qū)域處處光滑的正則函數(shù),可以使用經(jīng)典的正交法則和一致性條件建立本構(gòu)方程,應(yīng)用和編程較為方便,而不必做任何奇異點(diǎn)的處理,它將有廣泛的應(yīng)用前景。雙曲型的D-P-Y 準(zhǔn)則在重力壩的分析研究中得到成功的應(yīng)用15。對(duì)巖石類材料而言,即使對(duì)同一種巖石做實(shí)驗(yàn),同一批試件的實(shí)驗(yàn)結(jié)果也有較大的分散

25、性。因而用這類資料擬合屈服或破裂準(zhǔn)則,允許在精度上比較粗糙。在符合實(shí)驗(yàn)資料的前提下,不宜追求破裂準(zhǔn)則的細(xì)節(jié)。這就是,對(duì)巖石類材料的破裂或屈服準(zhǔn)則的奇異點(diǎn)進(jìn)行局部光滑化是有物理基礎(chǔ)或?qū)嶒?yàn)基礎(chǔ)。在國內(nèi)外一些學(xué)者熱衷于提出各種強(qiáng)度準(zhǔn)則,這些準(zhǔn)則往往包括很多奇異點(diǎn)。在巖石塑性力學(xué)領(lǐng)域,把過多的精力投注在各種奇異的屈服準(zhǔn)則的討J 2 /M P aI 1/MPa1/2第29卷增1 李平恩,等.Drucker-Prager準(zhǔn)則在拉剪區(qū)的修正 3033 論和建立,而不顧Koiter流動(dòng)法則和相應(yīng)的一致性條件,不考慮應(yīng)用和編程問題,不免有些偏頗和得不償失。參考文獻(xiàn)(References:1DRUCKER D C

26、,PRAGER W. Solid mechanics and plastic analysis orlimit designJ. Quarterly of Applied Mathematics,1952,10(2: 157165.2GOODMAN R E. Introduction to rock mechanicsM. 2nd ed. NewYork:John Wiley and Sons,Inc.,1989.3俞茂宏. 巖石類材料的統(tǒng)一強(qiáng)度理論及其應(yīng)用J. 巖土工程學(xué)報(bào),1994,16(2:110.(YU Maohong. Unified strength theory for geom

27、aterials and its applicationJ. Chinese Journal of Geotechnical Engineering,1994,16(2:110.(in Chinese4周鳳璽,李世榮. 廣義Drucker-Prager強(qiáng)度準(zhǔn)則J. 巖土力學(xué),2008,29(3:747751.(ZHOU Fengxi,LI Shirong. Generalized Drucker- Prager strength critersionJ. Rock and Soil Mechanics,2008,29(3: 747751.(in Chinese5俞茂宏. 線性和非線性的統(tǒng)一強(qiáng)度

28、理論J. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào),2007,26(4:662669.(YU Maohong. Linear and nonlinear unified strength theoryJ. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2007,26(4:662669.(in Chinese6俞茂宏,劉繼明,YOSHIYA O,等. 論巖土材料屈服準(zhǔn)則的基本特性和創(chuàng)新J. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào),2007,26(9:1 7451 759.(YU Maohong,LIU Jiming,YOSHIYA O,et al. On basic characte

29、ristics and innovation of yield criteria for geomaterialsJ.Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2007,26(9:1 7451 759.(in Chinese7曹文貴,趙明華,劉成學(xué). 基于統(tǒng)計(jì)損傷理論的德魯克普拉格巖石強(qiáng)度準(zhǔn)則的修正J. 水利學(xué)報(bào),2004,(9:18.(CAO Wengui, ZHAO Minghua,LIU Chengxue. Modified Drucker-Prager strength criterion based on statistica

30、l damage theory for rockJ. Journal of Hydraulic Engineering,2004,(9:18.(in Chinese8曹文貴,趙明華,劉成學(xué). 基于統(tǒng)計(jì)損傷理論的莫爾庫侖巖石強(qiáng)度判據(jù)修正方法之研究J. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào),2005,24(14:2 4032 408.(CAO Wengui,ZHAO Minghua,LIU Chengxue. Studyon rectified method of Mohr-Coulomb strength criterion for rock based on statistical damage theoryJ

31、. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2005,24(14:2 4032 408.(in Chinese9劉金龍,欒茂田,徐成順,等. Drucker-Prager準(zhǔn)則參數(shù)特性分析J.巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào),2006,25(增2:4 0094 015.(LIU Jinlong, LUAN Maotian,XU Chengshun,et al. Study of parametric characters of Drucker-Prager criterionJ. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2006,25(Supp.2:4 0094 015.(in Chinese 10張浪,劉東升,宋強(qiáng)輝,等. Drucker-Prager準(zhǔn)則可靠度解析J. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),2008,29(1:111117.(ZHANG Lang,LIU Dongsheng,SONG Qianghui,et al. Analytical expression of reliability solution f