構(gòu)造全等三角形常見(jiàn)輔助線法

1、ABDEFMN如圖如圖,AB=AD,BC=DC,AB=AD,BC=DC,求證求證:B=D.:B=D.ACBD連接連接ACAC構(gòu)造全等三角形構(gòu)造全等三角形連線連線 構(gòu)造全等構(gòu)造全等連線連線 構(gòu)造全等構(gòu)造全等如圖如圖,AB,AB與與CDCD交于交于O, O, 且且AB=CDAB=CD，AD=BCAD=BC，OB=5cmOB=5cm，求，求ODOD的長(zhǎng)的長(zhǎng). .連接連接BDBD構(gòu)造全等三角形構(gòu)造全等三角形ACBDO如何利用三角形的中線來(lái)構(gòu)造全等三角形？如何利用三角形的中線來(lái)構(gòu)造全等三角形？ 可以利用可以利用倍長(zhǎng)中線法倍長(zhǎng)中線法，即把中線，即把中線延長(zhǎng)一倍，來(lái)構(gòu)造全等三角形。延長(zhǎng)一倍，來(lái)構(gòu)造全等三角形

2、。 如圖，若如圖，若AD為為ABC的中線，的中線， 必有結(jié)論必有結(jié)論：ABCDE12 延長(zhǎng)延長(zhǎng)AD到到E，使，使DE=AD，連結(jié)連結(jié)BE（也可連結(jié)（也可連結(jié)CE）。）。ABD ECD，1=E，B=2，EC=AB，CEAB。已知，如圖已知，如圖ADAD是是ABCABC的中線，的中線，ABCDE)(21ACABAD求證：延長(zhǎng)延長(zhǎng)ADAD到點(diǎn)到點(diǎn)E E，使，使DE=ADE=AD D，連結(jié)連結(jié)CE.CE.思考：若思考：若AB=3,AC=5AB=3,AC=5求求ADAD的取值范圍？的取值范圍？倍長(zhǎng)中線m = 42.35m = 42.23已知在已知在ABC中，中，C=2B, 1=2求證求證:AB=AC+C

3、DADBCE12在在AB上取點(diǎn)上取點(diǎn)E使得使得AE=AC，連接，連接DE截長(zhǎng)截長(zhǎng)F在在AC的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F使得使得CF=CD，連接，連接DF補(bǔ)短補(bǔ)短A1BCD234如圖所示，已知如圖所示，已知ADBC，1=2，3=4，直線，直線DC經(jīng)過(guò)點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)E交交AD于點(diǎn)于點(diǎn)D，交交BC于點(diǎn)于點(diǎn)C。求證：。求證：AD+BC=ABEF在在AB上取點(diǎn)上取點(diǎn)F使得使得AF=AD,連接連接EF截長(zhǎng)補(bǔ)短證明證明：例例1 1已知：如圖，在四邊形已知：如圖，在四邊形ABCDABCD中，中，BDBD是是ABCABC的的角平分線，角平分線，AD=CDAD=CD，求證：，求證：A+C=180A+C=180DABC

4、E在在BC上截取上截取BE，使，使BE=AB，連結(jié)，連結(jié)DE。 BD是是ABC的角平分線（已知）的角平分線（已知）1=2（角平分線定義）（角平分線定義）在在ABD和和EBD中中 AB=EB（已知）（已知） 1=2（已證）（已證） BD=BD（公共邊）（公共邊）ABD EBD（S.A.S）1243 3+ 4180（平角定義），（平角定義），A3（已證）（已證）A+ C180 （等量代換）（等量代換）3 32 21 1* * A3（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等） AD=CD（已知），（已知），AD=DE（已證）（已證）DE=DC（等量代換）（等量代換）4=C（等邊對(duì)等角）（等邊

5、對(duì)等角）AD=DE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）證明證明: :例例1 1已知：如圖，在四邊形已知：如圖，在四邊形ABCDABCD中，中，BDBD是是ABCABC的的角平分線，角平分線，AD=CDAD=CD，求證：，求證：A+C=180A+C=180DABCF延長(zhǎng)延長(zhǎng)BA到到F，使，使BF=BC，連結(jié)，連結(jié)DF。 BD是是ABC的角平分線（已知）的角平分線（已知）1=2（角平分線定義）（角平分線定義）在在BFD和和BCD中中 BF=BC（已知）（已知） 1=2（已證）（已證） BD=BD（公共邊）（公共邊）BFD BCD（S.A.S）1243 FC（已證）（已證）4=C（等

6、量代換）（等量代換）3 32 21 1* * FC（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等） AD=CD（已知），（已知），DF=DC（已證）（已證）DF=AD（等量代換）（等量代換）4=F（等邊對(duì)等角）（等邊對(duì)等角） 3+ 4180 （平角定義）（平角定義）A+ C180 （等量代換）（等量代換）DF=DC（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）練習(xí)練習(xí)1 1如圖，已知如圖，已知ABCABC中，中，ADAD是是BACBAC的角平分線，的角平分線，AB=AC+CDAB=AC+CD，求證：，求證：C=2BC=2BABCDE122 21 1證明證明: :在在AB上截取上截取A

7、E，使，使AE=AC，連結(jié)，連結(jié)DE。 AD是是BAC的角平分線（已知）的角平分線（已知）1=2（角平分線定義）（角平分線定義）在在AED和和ACD中中 AE=AC（已知）（已知） 1=2（已證）（已證） AD=AD（公共邊）（公共邊）AED ACD（S.A.S）3B=4（等邊對(duì)等角）（等邊對(duì)等角）4* * C3（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)又又 AB=AC+CD=AE+EB（已知）（已知）EB=DC=ED（等量代換）（等量代換） 3= B+4= 2B（三角形的一個(gè)外角等于（三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和）和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和）C=2B（等量代換）（等量代換）

8、ED=CD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）練習(xí)練習(xí)1 1如圖，已知如圖，已知ABCABC中，中，ADAD是是BACBAC的角平分線，的角平分線，AB=AC+CDAB=AC+CD，求證：，求證：C=2BC=2BABCDF12證明證明: :延長(zhǎng)延長(zhǎng)AC到到F，使，使CF=CD，連結(jié)，連結(jié)DF。 AD是是BAC的角平分線（已知）的角平分線（已知）1=2（角平分線定義）（角平分線定義） AB=AC+CD，CF=CD（已知）（已知） AB=AC+CF=AF（等量代換）（等量代換） ACB= 2F（三角形（三角形的一個(gè)外角等于和它不相的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和）鄰的兩個(gè)內(nèi)角和

9、）ACB=2B（等量代換）（等量代換）32 21 1* *在在ABD和和AFD中中 AB=AF（已證）（已證） 1=2（已證）（已證） AD=AD（公共邊）（公共邊）ABD AFD（S.A.S） FB（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等） CF=CD（已知）（已知）B=3（等邊對(duì)等角）（等邊對(duì)等角）如圖，已知直線如圖，已知直線MNPQMNPQ，且，且AEAE平分平分BANBAN、BEBE平分平分QBAQBA，DCDC是過(guò)是過(guò)E E的任意線段，交的任意線段，交MNMN于點(diǎn)于點(diǎn)D D，交，交PQPQ于于點(diǎn)點(diǎn)C C。求證：。求證：AD+AB=BCAD+AB=BC。證明證明: :延長(zhǎng)延長(zhǎng)

10、AEAE，交直線，交直線PQPQ于點(diǎn)于點(diǎn)F F。* *3 30 0* * *22222121ABCDEMNPQ1234F51. 1.如圖如圖, ,ABCABC中中,C=90,C=90o o,AC=BC,AD,AC=BC,AD平分平分ACB,ACB, DEAB. DEAB.若若AB=6cm,AB=6cm,則則DBEDBE的周長(zhǎng)是多少的周長(zhǎng)是多少? ?.“.“周長(zhǎng)問(wèn)題周長(zhǎng)問(wèn)題”的轉(zhuǎn)化的轉(zhuǎn)化 借助借助“角平分線性質(zhì)角平分線性質(zhì)”BACDEBE+BD+DEBE+BD+CDBE+BCBE+ACBE+AEAB2. 2.如圖如圖, ,ABCABC中中, D, D在在ABAB的垂直平分線上的垂直平分線上, ,

11、E E在在ACAC的垂直平分線上的垂直平分線上. .若若BC=6cm,BC=6cm,求求ADEADE的周長(zhǎng)的周長(zhǎng). .“.“周長(zhǎng)問(wèn)題周長(zhǎng)問(wèn)題”的轉(zhuǎn)化的轉(zhuǎn)化 借助借助“垂直平分線性質(zhì)垂直平分線性質(zhì)”BACDEAD+AE+DEBD+CE+DEBC5. 5.如圖如圖, , ABCABC中，中，BPBP、CPCP是是ABCABC的角平分線，的角平分線，MN/BC.MN/BC.若若BC=6cm, BC=6cm, AMNAMN周長(zhǎng)為周長(zhǎng)為13cm13cm，求，求ABCABC的周長(zhǎng)的周長(zhǎng). .“.“周長(zhǎng)問(wèn)題周長(zhǎng)問(wèn)題”的轉(zhuǎn)化的轉(zhuǎn)化 借助借助“等腰三角形性質(zhì)等腰三角形性質(zhì)”BACPAB+AC+BCAM+ BM+

12、AN+NC+6NAM+ MP+AN+NP+613+6MAM+AN+MN+6 ABC中中,ABAC ，A的平分線與的平分線與BC的垂直平分線的垂直平分線DM相交于相交于D，過(guò)，過(guò)D作作DE AB于于E，作，作DFAC于于F。 求證：求證：BE=CFABCDEFM連接連接DB,DC垂直平分線上點(diǎn)向兩端連線段垂直平分線上點(diǎn)向兩端連線段 如圖，已知三角形如圖，已知三角形ABC中中,BC邊上的垂直邊上的垂直平分線平分線DE與角與角BAC的平分線交于點(diǎn)的平分線交于點(diǎn)E，EF垂直垂直AB交交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，EG垂直垂直AC交交AC于點(diǎn)于點(diǎn)G。求證：。求證：(1)BF=CG (2)判定判定AB

13、+AC與與AF的關(guān)系的關(guān)系如圖如圖, ,ABCABC中中, C =90, C =90o o,BC=10,BD=6,BC=10,BD=6, AD AD平分平分BAC,BAC,求點(diǎn)求點(diǎn)D D到到ABAB的距離的距離. .過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)D D作作DEABDEAB于點(diǎn)于點(diǎn)E EACDBE角平分線上的點(diǎn)向角兩邊做垂線段角平分線上的點(diǎn)向角兩邊做垂線段證明證明: :例例1 1已知：如圖，在四邊形已知：如圖，在四邊形ABCDABCD中，中，BDBD是是ABCABC的的角平分線，角平分線，AD=CDAD=CD，求證：，求證：A+C=180A+C=180DABCM作作DMBC于于M，DNBA交交BA的延長(zhǎng)線于的延長(zhǎng)線于

14、N。 BD是是ABC的角平分線（已知）的角平分線（已知）1=2（角平分線定義）（角平分線定義） DNBA，DMBC（已知）（已知）N=DMB=90（垂直的定義）（垂直的定義）在在NBD和和MBD中中 N=DMB （已證）（已證） 1=2（已證）（已證） BD=BD（公共邊）（公共邊）NBD MBD（A.A.S）12 4=C（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等） N433 32 21 1* * ND=MD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等） DNBA，DMBC（已知）（已知）NAD和和MCD是是Rt在在RtNAD和和RtMCD中中 ND=MD （已證）（已證） AD=CD（已知）（已知）RtNAD RtMCD（H.L） 3+ 4180（平角定義），（平角定義）， A3（已證）（已證）A+ C180（等量代換）（等量代換）PD=PE.PD=PE.如圖如圖,OC ,OC 平分平分AOB,AOB,角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P P作作PFOA,PG OBPFOA,PG OB垂足為點(diǎn)垂足為點(diǎn)F, F,點(diǎn)點(diǎn)G GFGACDBEPODOE +DPE =180DOE +DPE