DFT分析連續(xù)時間信號頻譜

1、在matlab中對信號進(jìn)行采樣，其中f1=1000Hz，根據(jù)奈奎斯特采樣定理，采樣頻率f>=2*f1，在此我們?nèi)=3000Hz在matlab中仿真也好，實際中處理的信號也罷，一般都是數(shù)字信號。而采樣就是將信號數(shù)字化的一個過程，設(shè)將信號s1(t)數(shù)字化得到信號s1(n)=cos(2*pi*f1/f*n)，其中n=0N-1，N為采樣點數(shù)。為什么說s1(n)=cos(2*pi*f1/f*n)表示以采樣率f對頻率為f1的信號進(jìn)行采樣的結(jié)果呢？采樣，顧名思義，就是對信號隔一段時間取一個值，而隔的這段時間就是采樣間隔，取其倒數(shù)就是采樣率了，那們我們看s1(n)=cos(2*pi*f1/f*n)，將

2、前面的參數(shù)代入，當(dāng)n=0時,s1(0)=cos(0)，當(dāng)n=1時,s1(1)=cos(2*pi*1000/3000*1)，當(dāng)n=2時, s1(2)=cos(2*pi*1000/3000*2)，當(dāng)n=3時,s1(3)=cos(2*pi*1000/3000*3)，這是不是想當(dāng)于對信號s1(t)的一個周期內(nèi)采了三個樣點呢？對一個頻率為1000Hz的信號每周期采三個樣點不就是相當(dāng)于以3倍于頻率的采樣率進(jìn)行采樣呢？注意，當(dāng)n=3時相當(dāng)于下一個周期的起始了。我們?nèi)〔蓸狱c數(shù)N=64，即對64/3=21.3個周期，共計64/3/f1=21.3ms時長。我們在matlab中輸入以下命令：>> n=0

3、:63;>> f1=1000;f=3000;>> s1=cos(2*pi*f1/f*n);>> plot(abs(fft(s1);從理論上講應(yīng)該在1000Hz和-1000Hz兩個頻點上有兩根線，即應(yīng)該在數(shù)字頻率 解得k =21.3上和64-k上有兩根譜線。觀察圖1可知，兩個峰值大約對應(yīng)橫軸坐標(biāo)為21和43=64-21兩個點。圖1 信號頻譜下面引入一個新的概念：頻率分辨率頻率分辯率是指頻域取樣中兩相鄰點間的頻率間隔。更確切的說是如果某一信號含有兩個頻率成分f1和f2，Of=|f2-f1|，頻率分辨率的概念是如果頻率分辨率大于Of，對信號進(jìn)行譜分析后將不能識別出

4、其含有兩個頻率成分，這兩個頻率將混疊在一起?，F(xiàn)在我們設(shè)定信號s(t)=cos(w1*t)+sin(w2*t)，其中w1=2*pi*1000，w2=2*pi*1100在matlab中輸入以下命令計算其頻譜：>> n=0:63;>> f1=1000;f2=1100;f=3000;>> s5=cos(2*pi*f1/f*n)+sin(2*pi*f2/f*n);>> plot(abs(fft(s5); 圖2 采用點數(shù)為64，抽樣頻率為3k 信號頻譜從圖2中可以看出能夠分辨出f1=1000Hz和f2=1100Hz兩個頻率分量。我們利用教材的理論來計算一下此

5、時的頻率分辨率：采樣頻率fs=3000Hz采樣點個數(shù)N=64最長記錄長度tp=N*(1/fs)頻率分辨率F=1/tp=fs/N=3000/64=46.875Hz因為F<f2-f1=100Hz，因此能夠分辨出兩個頻率分量。第一種嘗試：fs不變?nèi)詾?000Hz，即奈奎斯特定理仍然滿足，大于信號s (t)的最高頻率分量1100Hz的兩倍，但將采樣點個數(shù)N減小為24個，在matlab中輸入以下命令：>> n=0:23;>> f1=1000;f2=1100;f=3000;>> s=cos(2*pi*f1/f*n)+sin(2*pi*f2/f*n);>>

6、; plot(abs(fft(s); 圖3采用點數(shù)為24，抽樣頻率為3k 信號頻譜 第二種嘗試：采樣率fs升為8000Hz，即滿足奈奎斯特采樣定理，大于信號s(t)的最高頻率分量1100Hz的兩倍，采樣點個數(shù)N不變，仍為64個，在matlab中輸入以下命令：>> n=0:63;>> f1=1000;f2=1100;f=8000;>> s=cos(2*pi*f1/f*n)+sin(2*pi*f2/f*n);>> plot(abs(fft(s);圖4 采用點數(shù)為64，抽樣頻率為8k 信號頻譜由圖3、圖4，圖5可以看出，這三種嘗試雖然滿足奈奎斯特采樣定

7、理，但都不能分辨出兩個頻率分量，用前面的理論知識可以作如下分析：第一種嘗試的頻率分辨率F=1/tp=fs/N=3000/24=125Hz>100Hz第二種嘗試的頻率分辨率F=1/tp=fs/N=8000/64=125Hz>100Hz因此以上兩種嘗試均不能分辨出頻率間隔為100Hz的兩個頻率分量。第三種嘗試：如圖3所示，頻譜很不平滑，呈很明顯的折線狀態(tài)，采樣率fs仍然為3000Hz，即滿足奈奎斯特采樣定理，大于信號s(t)的最高頻率分量1100Hz的兩倍，采樣點個數(shù)24，補40個零，在matlab中輸入以下命令：n=0:23;f1=1000;f2=1100;f=3000;s5=cos

8、(2*pi*f1/f*n)+sin(2*pi*f2/f*n);s6=s5,zeros(1,40)plot(abs(fft(s6) 圖5 采用點數(shù)N=24，補40個零的頻譜圖圖5是將圖3中的信號在時域補了40個零后才進(jìn)行譜分析的。比較圖3與圖5，雖然相對于圖3來說圖5的頻率分辨率并沒有增加，但其每個點所代表的頻率更小了，也就是密度更高了（同樣3000Hz的頻率，圖3中使用了24點，而圖5中使用了64點），這就是高密度譜。通?？梢钥垦a零的方式來提高頻譜的密度，但補零不能提高頻率分辨率。很多同學(xué)在此很迷惑，在末尾加零后，使一個周期內(nèi)的點數(shù)增加，必然使樣點間隔更近，譜線更密，使用以前看不到的譜分量就可

9、以看到了，能夠看到更多的譜，不是提高分辨力了嗎？其實加零后，并沒有改變原有記錄的數(shù)據(jù)，原有數(shù)據(jù)的頻譜一開始就存在，我們只是有的看不見，加零后只是讓我們看見原來本就存在的頻率，也就是說，原始數(shù)據(jù)代表的該有的頻率就有，沒有的頻率加再多的零（極限是成連續(xù)的），也沒法看見。在數(shù)字信號處理中，高分辨率譜和高密度譜是較為易混淆的兩個概念。獲得高分辨率譜的途徑是增加信號采樣的記錄時間tp，而高密度譜則是通過在時域補零得到的。高分辨譜的用途很明顯，可以分辨出頻率間隔更小的兩個頻率分量，那么高密度譜有什么作用呢？要想明白高密度譜的概念，就不得知道一個名詞：柵欄效應(yīng)。高分密度譜就是為了減小柵欄效效的。實際信號是無限長的，其頻譜是連續(xù)的，但是要用計算機對信號進(jìn)行頻譜分析，就必須把它截短使之成為有限長度為tp的信號，這樣的截短相當(dāng)于對信號加矩形窗。經(jīng)過加窗截取，信號的周期變?yōu)閠p,其頻譜相應(yīng)地由原來的連