數(shù)值分析第五版習(xí)題答案

1、第一章 緒論1、設(shè)，x的相對(duì)誤差為，求的誤差。解設(shè)為x的近似值，則有相對(duì)誤差為，絕對(duì)誤差為，從而的誤差為，相對(duì)誤差為。2、設(shè)x的相對(duì)誤差為2%，求的相對(duì)誤差。解設(shè)為x的近似值，則有相對(duì)誤差為，絕對(duì)誤差為，從而的誤差為，相對(duì)誤差為。3、下列各數(shù)都是經(jīng)過(guò)四舍五入得到的近似數(shù)，即誤差不超過(guò)最后一位的半個(gè)單位，試指出它們是幾位有效數(shù)字：，。解有5位有效數(shù)字；有2位有效數(shù)字；有4位有效數(shù)字；有5位有效數(shù)字；有2位有效數(shù)字。4、利用公式（3.3）求下列各近似值的誤差限，其中均為第3題所給的數(shù)。（1）；解；（2）；解；（3）。解。5、計(jì)算球體積要使相對(duì)誤差限為1%，問(wèn)度量半徑R允許的相對(duì)誤差是多少？解由可知

2、，從而，故。6、設(shè)，按遞推公式計(jì)算到，若?。ㄎ逦挥行?shù)字，）試問(wèn)計(jì)算將有多大誤差？解令表示的近似值，則，并且由，可知，即，從而，而，所以。7、求方程的兩個(gè)根，使它至少具有四位有效數(shù)字（）解由與（五位有效數(shù)字）可知，（五位有效數(shù)字）。而，只有兩位有效數(shù)字，不符合題意。但是。8、當(dāng)N充分大時(shí)，怎樣求？解因?yàn)?，?dāng)N充分大時(shí)為兩個(gè)相近數(shù)相減，設(shè)，則，從而，因此。9、正方形的邊長(zhǎng)大約為100cm，應(yīng)怎樣測(cè)量才能使其面積誤差不超過(guò)1?解由可知，若要求，則，即邊長(zhǎng)應(yīng)滿(mǎn)足。10、設(shè)，假定g是準(zhǔn)確的，而對(duì)t的測(cè)量有秒的誤差，證明當(dāng)t增加時(shí)S的絕對(duì)誤差增加，而相對(duì)誤差卻減少。證明因?yàn)?，所以得證。11、序列滿(mǎn)足遞推

3、關(guān)系，若（三位有效數(shù)字），計(jì)算到時(shí)誤差有多大？這個(gè)計(jì)算過(guò)程穩(wěn)定嗎？解設(shè)為的近似值，則由與可知，即，從而，因此計(jì)算過(guò)程不穩(wěn)定。12、計(jì)算，取，利用下列公式計(jì)算，哪一個(gè)得到的結(jié)果最好？，。解因?yàn)?，所以?duì)于，有一位有效數(shù)字；對(duì)于，沒(méi)有有效數(shù)字；對(duì)于，有一位有效數(shù)字；對(duì)于，沒(méi)有有效數(shù)字。13、，求的值。若開(kāi)平方用六位函數(shù)表，問(wèn)求對(duì)數(shù)時(shí)誤差有多大？若改用另一等價(jià)公式計(jì)算，求對(duì)數(shù)時(shí)誤差有多大？解因?yàn)椋挥行?shù)字），所以，。14、試用消元法解方程組，假定只有三位數(shù)計(jì)算，問(wèn)結(jié)果是否可靠？解精確解為。當(dāng)使用三位數(shù)運(yùn)算時(shí)，得到，結(jié)果可靠。15、已知三角形面積，其中c為弧度，且測(cè)量a，b，c的誤差分別為，證明面積

4、的誤差滿(mǎn)足。解因?yàn)椋?。第二?插值法（40-42）1、根據(jù)（2.2）定義的范德蒙行列式，令，證明是n次多項(xiàng)式，它的根是，且。證明由可得求證。2、當(dāng)時(shí)，求的二次插值多項(xiàng)式。解。3、給出的數(shù)值表用線性插值及二次插值計(jì)算的近似值。X解若取，則，則，從而。若取，則，則，從而。4、給出的函數(shù)表，步長(zhǎng)，若函數(shù)具有5位有效數(shù)字，研究用線性插值求近似值時(shí)的總誤差界。解設(shè)插值節(jié)點(diǎn)為，對(duì)應(yīng)的值為，函數(shù)表值為，則由題意可知，近似線性插值多項(xiàng)式為，所以總誤差為，從而。5、設(shè)，求。解。令，則，從而極值點(diǎn)可能為，又因?yàn)?，顯然，所以。6、設(shè)為互異節(jié)點(diǎn)，求證：1）；2）；解1）因?yàn)樽髠?cè)是的n階拉格朗日多項(xiàng)式，所以求證成立

5、。2）設(shè)，則左側(cè)是的n階拉格朗日多項(xiàng)式，令，即得求證。7、設(shè)且，求證。解見(jiàn)補(bǔ)充題3，其中取即得。8、在上給出的等距節(jié)點(diǎn)函數(shù)表，若用二次插值求的近似值，要使截?cái)嗾`差不超過(guò)，問(wèn)使用函數(shù)表的步長(zhǎng)h應(yīng)取多少？解由題意可知，設(shè)x使用節(jié)點(diǎn)，進(jìn)行二次插值，則插值余項(xiàng)為，令，則，從而的極值點(diǎn)為，故，而，要使其不超過(guò)，則有，即。9、若，求及。解。10、如果是m次多項(xiàng)式，記，證明的k階差分是次多項(xiàng)式，并且（l為正整數(shù)）。證明對(duì)k使用數(shù)學(xué)歸納法可證。11、證明。證明。12、證明。證明因?yàn)?，故得證。13、證明：。證明。14、若有n個(gè)不同實(shí)根，證明。證明由題意可設(shè)，故，再由差商的性質(zhì)1和3可知：，從而得證。15、證明n

6、階均差有下列性質(zhì)：1）若，則；2）若，則。證明1）。2）。16、，求，。解，。17、證明兩點(diǎn)三次埃爾米特插值余項(xiàng)是，并由此求出分段三次埃爾米特插值的誤差限。解見(jiàn)P30與P33，誤差限為。18、XXXXXXXXXX19、求一個(gè)次數(shù)不高于4次的多項(xiàng)式，使它滿(mǎn)足，。解設(shè)，則，再由，可得：解得。從而。20、設(shè)，把分為n等分，試構(gòu)造一個(gè)臺(tái)階形的零次分段插值函數(shù)，并證明當(dāng)時(shí)，在上一致收斂到。解令。21、設(shè)，在上取，按等距節(jié)點(diǎn)求分段線性插值函數(shù)，計(jì)算各節(jié)點(diǎn)中點(diǎn)處的與的值，并估計(jì)誤差。解由題意可知，從而當(dāng)時(shí)，。22、求在上的分段線性插值函數(shù)，并估計(jì)誤差。解設(shè)將劃分為長(zhǎng)度為h的小區(qū)間，則當(dāng)，時(shí)，從而誤差為，故。

7、23、求在上的分段埃爾米特插值，并估計(jì)誤差。解設(shè)將劃分為長(zhǎng)度為h的小區(qū)間，則當(dāng)，時(shí)，從而誤差為，故。24、給定數(shù)據(jù)表如下：試求三次樣條函數(shù)，并滿(mǎn)足條件：1）；2）。解由，及（8.10）式可知，由（8.11）式可知，。從而1）矩陣形式為：，解得，從而。2）此為自然邊界條件，故；，矩陣形式為：，可以解得，從而。25、若，是三次樣條函數(shù)，證明1）；2）若，式中為插值節(jié)點(diǎn)，且則。解1）。2）由題意可知，所以。補(bǔ)充題：1、令，寫(xiě)出的一次插值多項(xiàng)式，并估計(jì)插值余項(xiàng)。解由，可知，余項(xiàng)為，故。2、設(shè)，試?yán)美窭嗜詹逯涤囗?xiàng)定理寫(xiě)出以為插值節(jié)點(diǎn)的三次插值多項(xiàng)式。解由插值余項(xiàng)定理，有，從而。3、設(shè)在內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)

8、數(shù)，求證：。證因?yàn)槭且詀，b為插值節(jié)點(diǎn)的的線性插值多項(xiàng)式，利用插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)定理，得到：，從而。4、設(shè)，求差商，和。解因?yàn)?，所以，?、給定數(shù)據(jù)表：，1246741011求4次牛頓插值多項(xiàng)式，并寫(xiě)出插值余項(xiàng)。解一階差商二階差商三階差商四階差商1421-34061710由差商表可得4次牛頓插值多項(xiàng)式為：，插值余項(xiàng)為。6、如下表給定函數(shù)：，0123436111827試計(jì)算出此列表函數(shù)的差分表，并利用牛頓向前插值公式給出它的插值多項(xiàng)式。解構(gòu)造差分表：03320016520211723189427由差分表可得插值多項(xiàng)式為：。第三章 函數(shù)逼近與計(jì)算（80-82）1、（a）利用區(qū)間變換推出區(qū)間為的伯恩斯

9、坦多項(xiàng)式；（b）對(duì)在上求1次和3次伯恩斯坦多項(xiàng)式并畫(huà)出圖形，并與相應(yīng)的馬克勞林級(jí)數(shù)部分和誤差做出比較。解（a）令，則，從而伯恩斯坦多項(xiàng)式為，其中。（b）令，則，從而伯恩斯坦多項(xiàng)式為，其中。；。2、求證：（a）當(dāng)時(shí)，；（b）當(dāng)時(shí)，。證明（a）由及可知，而，從而得證。（b）當(dāng)時(shí)，。3、在次數(shù)不超過(guò)6的多項(xiàng)式中，求在的最佳一致逼近多項(xiàng)式。解由可知，從而最小偏差為1，交錯(cuò)點(diǎn)為，此即為的切比雪夫交錯(cuò)點(diǎn)組，從而是以這些點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)的拉格朗日多項(xiàng)式，可得。4、假設(shè)在上連續(xù)，求的零次最佳一致逼近多項(xiàng)式。解令，則在上具有最小偏差，從而為零次最佳逼近一次多項(xiàng)式。5、選擇常數(shù)a，使得達(dá)到極小，又問(wèn)這個(gè)解是否唯一？解

10、因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，再由定理7可知，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，偏差最小。6、求在上的最佳一次逼近多項(xiàng)式，并估計(jì)誤差。解由可得，從而最佳一次逼近多項(xiàng)式為7、求在上的最佳一次逼近多項(xiàng)式。解由可得，從而最佳一次逼近多項(xiàng)式為。8、如何選取r，使在上與零偏差最??？r是否唯一？解由，可知當(dāng)與零偏差最小時(shí)，從而。另解：由定理7可知，在上與零偏差最小的二次多項(xiàng)式為，從而。9、設(shè)，在上求三次最佳逼近多項(xiàng)式。解設(shè)所求三次多項(xiàng)式為，則由定理7可知，從而。10、令，求、。解由可知，令，則，從而。 11、試證是在上帶權(quán)的正交多項(xiàng)式。？12、在上利用插值極小化求的三次近似最佳逼近多項(xiàng)式。解由題意可知，插值節(jié)點(diǎn)為，即，則可求得。13、設(shè)

11、在上的插值極小化近似最佳逼近多項(xiàng)式為，若有界，證明對(duì)任何，存在常數(shù)，使得。證明由題意可知，從而取，則可得求證。14、設(shè)在上，試將降低到3次多項(xiàng)式并估計(jì)誤差。解因?yàn)?，所以，誤差為。15、在利用冪級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)節(jié)約求的3次逼近多項(xiàng)式，使誤差不超過(guò)0.005。解因?yàn)?，取前三?xiàng)，得到，誤差為，又因?yàn)椋?次逼近多項(xiàng)式為，此時(shí)誤差為。16、是上的連續(xù)奇（偶）函數(shù)，證明不管n是奇數(shù)或偶數(shù)，的最佳逼近多項(xiàng)式也是奇（偶）函數(shù)。解的最佳逼近多項(xiàng)式是由切比雪夫多項(xiàng)式得到的，再由切比雪夫多項(xiàng)式的性質(zhì)4即得。17、求a、b使為最小，并與1題及6題的一次逼近多項(xiàng)式誤差作比較。解由，可得，解得。18、，定義（a）；（b）。問(wèn)

12、它們是否構(gòu)成內(nèi)積？解（a）因?yàn)?，但反之不成立，所以不?gòu)成內(nèi)積。（b）構(gòu)成內(nèi)積。19、用許瓦茲不等式（4.5）估計(jì)的上界，并用積分中值定理估計(jì)同一積分的上下界，并比較其結(jié)果。解。因?yàn)?，所以?0、選擇a，使下列積分取最小值：，。解，從而。當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由，可得交點(diǎn)為，若，則，若，則。同理可知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，從而當(dāng)時(shí)，積分取得最小。21、設(shè)，分別在上求一元素，使其為的最佳平方逼近，并比較其結(jié)果。解由，可知，解得，即在上為。由，可知，解得，即在上為。22、在上，求在上的最佳平方逼近。解由，可知，解得。從而最佳平方逼近多項(xiàng)式為。23、是第二類(lèi)切比雪夫多項(xiàng)式，證明它有遞推關(guān)系。證明令，則。24、將在上按勒讓

13、德多項(xiàng)式及切比雪夫多項(xiàng)式展開(kāi)，求三次最佳平方逼近多項(xiàng)式并畫(huà)出誤差圖形，再計(jì)算均方誤差。解若按照切比雪夫多項(xiàng)式展開(kāi)，其中；若按照勒讓德多項(xiàng)式展開(kāi)，其中；從而；，從而三次最佳逼近多項(xiàng)式為。25、把在上展成切比雪夫級(jí)數(shù)。解若按照切比雪夫多項(xiàng)式展開(kāi)，其中。從而。26、用最小二乘法求一個(gè)形如的經(jīng)驗(yàn)公式，使它與下列數(shù)據(jù)相擬合，并求均方誤差。1925313844解由。又，故法方程為，解得。均方誤差為。27、觀測(cè)物體的直線運(yùn)動(dòng)，得出以下數(shù)據(jù)：時(shí)間t（秒）0距離s（米）010305080110解設(shè)直線運(yùn)動(dòng)為二次多項(xiàng)式，則由。，。又，故法方程為，解得。故直線運(yùn)動(dòng)為。28-31略。補(bǔ)充題：1、現(xiàn)測(cè)得通過(guò)某電阻R的電

14、流I及其兩端的電壓U如下表：IU試用最小二乘原理確定電阻R的大小。解電流、電阻與電壓之間滿(mǎn)足如下關(guān)系：。應(yīng)用最小二乘原理，求R使得達(dá)到最小。對(duì)求導(dǎo)得到：。令，得到電阻R為。2、對(duì)于某個(gè)長(zhǎng)度測(cè)量了n次，得到n個(gè)近似值，通常取平均值作為所求長(zhǎng)度，請(qǐng)說(shuō)明理由。解令，求x使得達(dá)到最小。對(duì)求導(dǎo)得到：，令，得到，這說(shuō)明取平均值在最小二乘意義下誤差達(dá)到最小。3、有函數(shù)如下表，要求用公式擬合所給數(shù)據(jù)，試確定擬合公式中的a和b。-3-2-10123解取，則，而，。故法方程為，解得。4、在某個(gè)低溫過(guò)程中，函數(shù)y依賴(lài)于溫度的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為1234已知經(jīng)驗(yàn)公式的形式為，是用最小二乘法求出a和b。解取，則，而，。故法方程為

15、，解得。5、單原子波函數(shù)的形式為，試按照最小二乘法決定參數(shù)a和b，已知數(shù)據(jù)如下：X0124y解對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)得，令，則擬合函數(shù)變?yōu)?，所給數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為X0124y取，則，而，。故法方程為，解得。因而擬合函數(shù)為，原擬合函數(shù)為。第四章 數(shù)值積分與數(shù)值微分（107）1、確定下列求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指明所構(gòu)造出的求積公式所具有的代數(shù)精度。1）；解分別取代入得到：，即，解得又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；從而此求積公式最高具有3次代數(shù)精度。2）；解分別取代入得到：，即，解得，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；從而此求積公式最高具有3次代數(shù)精度。3）；解分別取代入得到：，即，解得與，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；，從而此求積

16、公式最高具有2次代數(shù)精度。4）。解分別取代入得到：，所以，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以此求積公式最高具有3次代數(shù)精度。2、分別用梯形公式和辛普森公式計(jì)算下列積分：（1）；解。精確值為。2）；（略）3）；解（略），精確值為。4）；（略）。3、直接驗(yàn)證柯特斯公式（2.4）具有5次代數(shù)精度。證明顯然節(jié)點(diǎn)為，分別取代入得到：，；從而此求積公式最高具有5次代數(shù)精度。4、用辛普森公式求積分并估計(jì)誤差。解。，從而。5、推導(dǎo)下列三種矩形求積公式：；解由微分中值定理有：，從而再由微分中值定理有：，從而。由微分中值定理有：，從而。6、證明梯形公式（2.9）與辛普森公式（2.11）當(dāng)時(shí)收斂到積分。證明由與可得求證7、用復(fù)

17、化梯形公式求積分，問(wèn)要將積分區(qū)間分成多少等分，才能保證誤差不超過(guò)（設(shè)不計(jì)舍入誤差）？解由可知，令，則，從而。8、用龍貝格方法計(jì)算積分，要求誤差不超過(guò)。解由及可得。（參見(jiàn)95頁(yè)）9、衛(wèi)星軌道是一個(gè)橢圓，橢圓周長(zhǎng)的計(jì)算公式是，這里a是橢圓的半長(zhǎng)軸，c是地球中心與軌道中心（橢圓中心）的距離，記h為近地點(diǎn)距離，H為遠(yuǎn)地點(diǎn)距離，公里為地球半徑，則，。我國(guó)第一顆人造衛(wèi)星近地點(diǎn)距離公里，遠(yuǎn)地點(diǎn)距離為2384公里，試求衛(wèi)星軌道的周長(zhǎng)。解由，可得。10、證明等式，試依據(jù)的值，用外推算法求的近似值。證明因?yàn)椋煽傻?，?1、用下列方法計(jì)算積分，并比較結(jié)果。1）龍貝格方法；（2）三點(diǎn)及五點(diǎn)高斯公式；3）將積分區(qū)間分

18、為四等分，用復(fù)化兩點(diǎn)高斯公式。解。12、用三點(diǎn)公式和五點(diǎn)公式求在和1.2處的導(dǎo)數(shù)值，并估計(jì)誤差，的值由下表給出：X解由三點(diǎn)公式，可知，誤差為；，誤差為，誤差為。由五點(diǎn)公式可知，。1、計(jì)算上的積分的兩點(diǎn)求積公式。解求積公式的代數(shù)精度不超過(guò)，將求積公式和求積系數(shù)作為4個(gè)待定系數(shù)，依次取被積函數(shù)為代入求積公式，得到方程組：，可以解得，從而求積公式為。2、直接驗(yàn)證梯形公式與中矩形公式具有一次代數(shù)精度，而辛普生公式具有三次代數(shù)精度。證明（1）依次將代入梯形公式中，得到：；，從而梯形公式具有一次代數(shù)精度。（2）依次將代入中矩形公式中，得到：；，從而中矩形公式具有一次代數(shù)精度。（3）依次將代入辛普生公式中，

19、得到：；，從而辛普生公式具有三次代數(shù)精度。3、求近似求積公式的代數(shù)精度。解 依次將代入求積公式中，得到：；，因此所給求積公式具有三次代數(shù)精度。4、求三個(gè)不同的節(jié)點(diǎn)和常數(shù)C，使求積公式具有盡可能高的代數(shù)精度。解 依次將代入求積公式中，得到：，即，解得，此時(shí)求積公式為，具有3次代數(shù)精度。令代入求積公式中，得到：所以此求積公式的代數(shù)精度只有3次。5、用三個(gè)節(jié)點(diǎn)（）的Gauss求積公式計(jì)算積分。解三個(gè)節(jié)點(diǎn)的Gauss求積公式為，所以。6、試確定常數(shù)A，B，C和，使得數(shù)值積分公式為Gauss型公式。解要使數(shù)值積分公式為Gauss型公式，則其具有次代數(shù)精度。依次將代入都應(yīng)精確成立，故有，即，解得。7、試確

20、定常數(shù)A，B，C和，使得數(shù)值求積公式具有盡可能高的代數(shù)精度。此時(shí)的代數(shù)精度是多少？它是否是Gauss型公式？解依次將代入求積公式，得到：，即，解得，從而求積公式為，令代入得到：，從而求積公式只具有3次代數(shù)精度，不是Gauss型公式。第五章 常微分方程數(shù)值解法（141-142）1、就初值問(wèn)題分別導(dǎo)出歐拉方法和改進(jìn)的歐拉方法的近似解的表達(dá)式，并與準(zhǔn)確解相比較。解由歐拉公式可知，即，從而，即，又因?yàn)椋?。再由，可知誤差為。由改進(jìn)的歐拉公式可知，即，從而，即，又因?yàn)椋?。再由，可知誤差為。2、用改進(jìn)的歐拉方法求解初值問(wèn)題，取步長(zhǎng)計(jì)算，并與準(zhǔn)確解相比較。解由改進(jìn)的歐拉公式可知，又由，可得，從而；。3

21、、用改進(jìn)的歐拉方法解，取步長(zhǎng)計(jì)算，并與準(zhǔn)確解相比較。解由改進(jìn)的歐拉公式可知，又由，可得，從而；。4、用梯形方法解初值問(wèn)題，證明其近似解為，并證明當(dāng)時(shí)，它收斂于原初值問(wèn)題的準(zhǔn)確解。解由梯形公式可知，從而，即，從而，又由可知，。5、利用歐拉方法計(jì)算積分在點(diǎn)的近似值。解令，則，從而令，利用歐拉方法得到：，又由，得到：；。6、取，用四階經(jīng)典的龍格-庫(kù)塔方法求解下列初值問(wèn)題：1）；解由四階經(jīng)典的龍格-庫(kù)塔方法可知，；。；又由可知，。從而由可得：；。精確解為。2）。精確解為。7、證明對(duì)任意參數(shù)t，下列龍格-庫(kù)塔公式是二階的。證明因?yàn)椋远?，比較系數(shù)可知，所給龍格-庫(kù)塔公式是二階精度的。8、證明下列兩種龍

22、格-庫(kù)塔方法是三階的：（1）；（2）；證明在三階龍格-庫(kù)塔公式中，（1）取，。即為所給方法，并且滿(mǎn)足，因而具有三階精度。（2）取，。即為所給方法，并且滿(mǎn)足，因而具有三階精度。9、分別用二階顯式亞當(dāng)姆斯方法和二階隱式亞當(dāng)姆斯方法解下列問(wèn)題：，取計(jì)算，并與準(zhǔn)確解相比較。解由可知，當(dāng)使用二階顯式亞當(dāng)姆斯方法時(shí)，。從而，；當(dāng)使用二階隱式亞當(dāng)姆斯方法時(shí)，即，從而。故；。精確解為。10、證明解的下列差分公式是二階的，并求出截?cái)嗾`差的首項(xiàng)。證明因?yàn)?，所以，從而比較系數(shù)可得差分公式具有二階精度，并且截?cái)嗾`差首項(xiàng)為。11、導(dǎo)出具有下列形式的三階方法：。解因?yàn)椋?，從而若公式具有三階精度，則必須有：。12、將下

23、列方程化為一階方程組：1）；解令，則，從而有，再令，則初值問(wèn)題為。精確解為2）。解令，則，從而有，。3）。解令，則，從而有，初值為。13、取，用差分法解邊值問(wèn)題。解顯然，令，及，代入得到：，即，再由可知， 解得。14、對(duì)方程可建立差分公式，試用這一公式求解初值問(wèn)題，驗(yàn)證計(jì)算解恒等于準(zhǔn)確解。解由差分格式可建立方程組。15、取，用差分方法解邊值問(wèn)題。解顯然，令及，代入得到：，即，又由可得，從而由得方程組為：，可以解得。第六章 方程求根（163-164）閱讀材料：一般的n次多項(xiàng)式方程稱(chēng)為n次代數(shù)方程。對(duì)于3次、4次的方程，雖然也可以在數(shù)學(xué)手冊(cè)上查到求解公式，但是太復(fù)雜。至于5次以上的方程就沒(méi)有現(xiàn)成的

24、求解公式了。代數(shù)方程可以說(shuō)是最簡(jiǎn)單的非線性方程，因?yàn)殡m然不能很好地算出它的根，但是總可以知道，n次方程一般具有n個(gè)根。一般由實(shí)際問(wèn)題歸結(jié)得到的方程還常常含有三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等超越函數(shù)，如，這樣的方程叫做超越方程。求解超越方程不僅沒(méi)有一般的公式，而且若只依據(jù)方程本身，那么連是否有根、有幾個(gè)根，也都難以判斷。超越方程與次代數(shù)方程一起統(tǒng)稱(chēng)為非線性方程，記作，其中是一個(gè)單變量的初等函數(shù)，它可以是多項(xiàng)式函數(shù)、超越函數(shù)等形式或者它們的組合形式。所謂方程求根，就是尋找一個(gè)，使得成立，這樣的叫做方程的根（解），也叫做函數(shù)的零點(diǎn)。若存在正整數(shù)m，使得，且，則稱(chēng)為的m重根。當(dāng)時(shí)，又稱(chēng)為單根，這時(shí)滿(mǎn)足，

25、。對(duì)于一般的非線性方程，用直接方法得到它的精確解是很困難的，例如。非線性方程的求解就是研究方程在給定初值的條件下，如何利用計(jì)算機(jī)運(yùn)算得到方程真解的近似值x，使得對(duì)任意給定的精度，滿(mǎn)足，此時(shí)稱(chēng)x關(guān)于是精確的。對(duì)于具體的問(wèn)題，首先要對(duì)函數(shù)加以初步的研究，判斷出方程的根的個(gè)數(shù)和大概位置，才能較好地選擇有根區(qū)間。如果選取得好，還可以把方程的根逐個(gè)分離，找出相應(yīng)的有根區(qū)間。二分法的特點(diǎn)是當(dāng)有單根時(shí)具有收斂快的特點(diǎn)。然而對(duì)方程有重根或復(fù)根的情況，二分法公式有時(shí)失效。1、用二分法求方程的正根，要求誤差。解令，則，所以有根區(qū)間為；又因?yàn)?，所以有根區(qū)間為；，所以有根區(qū)間為；，所以有根區(qū)間為；，所以有根區(qū)間為；，

26、所以有根區(qū)間為；取，這時(shí)它與精確解的距離。2、用比例求根法求在區(qū)間的一個(gè)根，直到近似根滿(mǎn)足精度終止計(jì)算。？3、為求方程在附近的一個(gè)根，設(shè)將方程改寫(xiě)成下列等價(jià)形式，并建立相應(yīng)的迭代公式：1），迭代公式；2），迭代公式；3），迭代公式；4），迭代公式。試分析每種迭代公式的收斂性，并選取一種公式求出具有四位有效數(shù)字的近似值。解1）設(shè)，則，從而，所以迭代方法局部收斂。2）設(shè)，則，從而，所以迭代方法局部收斂。3）設(shè)，則，從而，所以迭代方法發(fā)散。4）設(shè)，則，從而，所以迭代方法發(fā)散。4、比較求的根到三位小數(shù)所需的計(jì)算量：1）在區(qū)間內(nèi)用二分法； 2）用迭代法，取初值。解1）使用二分法，令，則，有根區(qū)間為；，有

27、根區(qū)間為；，有根區(qū)間為；，有根區(qū)間為；，有根區(qū)間為；，有根區(qū)間為；，有根區(qū)間為；，有根區(qū)間為；，有根區(qū)間為；，有根區(qū)間為；，有根區(qū)間為；從而，共二分10次。2）使用迭代法，則，即，共迭代4次。5、給定函數(shù)，設(shè)對(duì)一切x，存在且，證明對(duì)于范圍內(nèi)的任意定數(shù)，迭代過(guò)程均收斂于的根。證明由可知，令，則，又因?yàn)?，所以，即，從而迭代格式收斂?、已知在區(qū)間內(nèi)只有一根，而當(dāng)時(shí)，試問(wèn)如何將化為適于迭代的格式？將化為適于迭代的格式，并求（弧度）附近的根。解將兩邊取反函數(shù)，得到，而，從而，故迭代公式收斂。令，則，從而，將迭代公式改變?yōu)椋@時(shí)，從而，迭代格式收斂。取，。7、用下列方法求在附近的根。根的準(zhǔn)確值，要求計(jì)算

28、結(jié)果準(zhǔn)確到四位有效數(shù)字。1）用牛頓法；2）用弦截法，??；3）用拋物線法，取解1），迭代停止。2），迭代停止。3），其中，故，下略。8、分別用二分法和牛頓法求的最小正根。解參見(jiàn)第6題，。9、研究求的牛頓公式，證明對(duì)一切，且序列是遞減的。證明顯然，又因?yàn)?，所以，又，所以序列是遞減的。10、對(duì)于的牛頓公式，證明收斂到，這里為的根。？11、試就下列函數(shù)討論牛頓法的收斂性和收斂速度。1）；2）。解1）由可知，故牛頓法不收斂。2）由可知，故牛頓法一階收斂。12、應(yīng)用牛頓法于方程，導(dǎo)出求立方根的迭代公式，并討論其收斂性。解令，則。13、應(yīng)用牛頓法于方程，導(dǎo)出求的迭代公式，并求的值。解令，則。余見(jiàn)例8。14、

29、應(yīng)用牛頓法于方程和，分別導(dǎo)出求的迭代公式，并求。解，。，。15、證明迭代公式是計(jì)算的三階方法。假定初值充分靠近，求。解。補(bǔ)充題1、判斷下列方程有幾個(gè)實(shí)根，并指出其有根區(qū)間：1）； 2）。解1）設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)。又因?yàn)?，所以可知有三個(gè)根，有根區(qū)間分別為。2）將原方程改寫(xiě)為，作函數(shù)與的圖像，由圖像可知兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)位于區(qū)間與，因而所給方程有兩個(gè)根。2、證明迭代格式產(chǎn)生的序列對(duì)于均收斂于。證明設(shè)，則。當(dāng)時(shí)，并且，由迭代格式產(chǎn)生的序列收斂于方程的唯一正根。3、利用適當(dāng)?shù)牡袷阶C明。證明考慮迭代格式，則，。令，則。當(dāng)時(shí)，并且，因而迭代格式產(chǎn)生的序列收斂于方程在內(nèi)的唯

30、一根。4、設(shè)a為正整數(shù)，試建立一個(gè)求的牛頓迭代公式，要求在迭代公式中不含有除法運(yùn)算，并考慮公式的收斂性。解考慮方程，則為以上方程的根。，用牛頓迭代公式。迭代函數(shù)中不含有除法運(yùn)算。由遞推得到，解得，所以當(dāng)時(shí)，方法收斂。第七章 解線性方程組的直接方法（198-201，部分）2、（a）設(shè)A是對(duì)稱(chēng)陣且，經(jīng)過(guò)高斯消去法一步后，A約化為，證明是對(duì)稱(chēng)矩陣。（b）用高斯消去法解對(duì)稱(chēng)方程組：。證明（a）中的元素滿(mǎn)足，又因?yàn)锳是對(duì)稱(chēng)陣，滿(mǎn)足，所以，即是對(duì)稱(chēng)矩陣。（b）略。4、設(shè)A為n階非奇異矩陣且有分解式，其中L是單位下三角陣，U為上三角陣，求證A的所有順序主子式均不為零。證明將L與U分塊，其中為k階單位下三角陣

31、，為k階上三角陣，則A的k階順序主子式為，顯然非奇異。7、設(shè)A是對(duì)稱(chēng)正定矩陣，經(jīng)過(guò)高斯消去法一步后，A約化為，其中，；證明：（1）A的對(duì)角元素；（2）是對(duì)稱(chēng)正定矩陣；（3）；（4）A的絕對(duì)值最大的元素必在對(duì)角線上；（5）；（6）從（2）、（3）、（5）推出，如果，則對(duì)所有k，。證明（1）依次取，則因?yàn)锳是對(duì)稱(chēng)正定矩陣，所以有。（2）中的元素滿(mǎn)足，又因?yàn)锳是對(duì)稱(chēng)正定矩陣，滿(mǎn)足，所以，即是對(duì)稱(chēng)矩陣。（3）因?yàn)?，所以。?）以下略。12、用高斯-約當(dāng)方法求A的逆陣：。解故。13、用追趕法解三對(duì)角方程組，其中，。解（3解由可知，求解可得，求解可得。4、用平方根法（Cholesky分解）求解方程組：（1

32、）。 （2）。解由系數(shù)矩陣的對(duì)稱(chēng)正定性，可令，其中L為下三角陣。（1）求解可得，求解可得。（2）。求解可得，求解可得。5、用改進(jìn)的平方根法（分解）求解方程組：（1）。 （2）。解由系數(shù)矩陣的對(duì)稱(chēng)正定性，可令，其中L為下三角陣，D為對(duì)角陣。（1）求解可得，求解可得。（2）。求解可得，求解可得。6、用追趕法求解三對(duì)角方程組：（1）， （2）， （3）。解依追趕法對(duì)其增廣矩陣進(jìn)行初等變換，（1），回代得到：。（2），回代得到：。（3），回代得到：。7、設(shè)，求，。解。8、證明：1）；2）。證明1）。2）。9、分別求下列矩陣的，。（1）， （2）。解（1），因?yàn)?，由，解得，從而。?），因?yàn)?，由，解得?/p>

33、從而。10、求矩陣的，。解 ，因?yàn)?，所以。第八?解線性方程組的迭代法（217-219）尋求能夠保持大型稀疏矩陣的稀疏性的有效數(shù)值解法是我們線性代數(shù)方程組數(shù)值解法的一個(gè)非常重要的課題。使用迭代法的好處在于它只需要存儲(chǔ)析數(shù)矩陣的非零元素和方程的右端項(xiàng)，因而對(duì)于大型稀疏矩陣，具有存儲(chǔ)量小、程序結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn)。由于迭代格式的收斂性和收斂速度與方程組的系數(shù)矩陣密切相關(guān)，因此迭代格式的選擇和迭代的收斂性將成為討論的中心問(wèn)題。定義迭代的平均收斂速度定義為。定義迭代的漸近收斂速度定義為。值得注意的是，漸近收斂速度與所使用的范數(shù)無(wú)關(guān)。因此，有時(shí)也把漸近收斂速度簡(jiǎn)稱(chēng)為收斂速度。1、設(shè)方程組，（a）考察用雅可比迭

34、代法，高斯-賽德?tīng)柕ń獯朔匠探M的收斂性；（b）用雅可比迭代法及高斯-賽德?tīng)柕ń獯朔匠探M，要求當(dāng)時(shí)迭代終止。解（a）由系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣可知，使用雅可比、高斯-賽德?tīng)柕ㄇ蠼獯朔匠探M均收斂。精確解為（b）使用雅可比迭代法：，使用高斯-賽德?tīng)柕ǎ骸?、設(shè)，證明：即使，級(jí)數(shù)也收斂。證明顯然，又因?yàn)?，所以，?jí)數(shù)的值就為。3、證明對(duì)于任意選擇的A，序列收斂于零。證明設(shè)為A的任意一個(gè)特征值，x是對(duì)應(yīng)的特征向量，則，從而得證。4、設(shè)方程組；迭代公式為。求證：由上述迭代公式產(chǎn)生的迭代序列收斂的充要條件為。證明令，則由迭代公式可得，即為雅可比迭代公式，從而收斂的充要條件為，而。由可得，故得

35、證。5、設(shè)方程組（a）；（b）；試考察解此方程組的雅克比迭代法及高斯-賽德?tīng)柕ǖ氖諗啃?。解（a）由系數(shù)矩陣可知，由可知，從而雅可比迭代法不收斂。，由可知，從而高斯-塞德?tīng)柕ㄊ諗?。（b）由系數(shù)矩陣可知，由可知，從而雅可比迭代法收斂。，由可知，從而高斯-塞德?tīng)柕ú皇諗俊?、求證的充要條件是對(duì)任何向量x都有。證明若對(duì)任何向量x，都有，則依次取x為單位向量組，即得，反之顯然成立。7、設(shè)，其中A對(duì)稱(chēng)正定，問(wèn)解此方程組的雅克比迭代法是否一定收斂？試考察習(xí)題5（a）方程組。解不一定，顯然5（a）中的系數(shù)矩陣是對(duì)稱(chēng)正定矩陣，但雅可比迭代法不收斂。8、設(shè)方程組，（a）求解此方程組的雅克比迭代法的迭代

36、矩陣的譜半徑；（b）求解此方程組的高斯-賽德?tīng)柕ǖ牡仃嚨淖V半徑；（c）考察解此方程組的雅克比迭代法及高斯-賽德?tīng)柕ǖ氖諗啃?。解由系?shù)矩陣可知，（a），由可知，。（b），由，可知。（c）因?yàn)锳是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，兩種迭代法都收斂。9、用SOR方法解方程組（分別取松弛因子）；精確解。要求當(dāng)時(shí)迭代終止，并且對(duì)每一個(gè)值確定迭代次數(shù)。（略）。10、用SOR方法解方程組（?。灰螽?dāng)時(shí)迭代終止。解由系數(shù)矩陣及，可知，從而由可得。精確解為11、設(shè)有方程組，其中A為對(duì)稱(chēng)正定陣。迭代公式，試證明當(dāng)時(shí)上述迭代法收斂（其中）。解因?yàn)榈仃嚍?，而，由可知，?dāng)時(shí)，即，從而迭代法收斂。12、用高斯-賽德?tīng)柗?/p>

37、程解，用記的第i個(gè)分量，且。（a）證明；（b）如果，其中是方程組的精確解，求證：，其中。（c）設(shè)A是對(duì)稱(chēng)的，二次型，證明。（d）由此推出，如果A是具有正對(duì)角元素的非奇異矩陣，且高斯-塞德?tīng)柗椒▽?duì)任意初始向量是收斂的，則A是正定陣。解（a）由可得，從而，其中，即得求證。（b）由可得，從而，即，從而，即得求證，其中。（c）？。（d）若高斯-塞德?tīng)柗椒▽?duì)任意初始向量都是收斂的，那么由（c）知A是對(duì)稱(chēng)的，又由A是具有正對(duì)角元素的非奇異矩陣，所以A是正定陣。13、設(shè)A與B為n階矩陣，A非奇異，考慮解方程組，其中。（a）找出下述迭代方法收斂的充要條件，（）；（b）找出下述迭代方法收斂的充要條件，（）；并比較兩個(gè)方法的收斂速度。解（a）設(shè)，則有，從而，因此收斂的充要條件為，即。（b）設(shè)，則有，從而，因此收斂的充要條件為。迭代法（b）的收斂速度是迭代法（a）的收斂速度的2倍。14、證