廣義函數(shù)的常微分方程

1、廣義函數(shù)的常微分方程                        耿俊         （蘭州大學數(shù)學系       數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)）摘要  本文考慮了一般形式的常微分方程（

2、組），給出了m階廣函解存在的充要條件，并在 中給出了其求解方法。關鍵字  常微分方程（組）；廣函解；存在性1引言近年來，人們對常微分方程及泛函微分方程在不同的廣義函數(shù)空間中其解的存在性產生了極大的興趣，在許多重要領域里要應用到廣義函數(shù)理論，如理論物理和數(shù)學物理，偏微分方程理論，泛函分析等等。尤其常微分方程廣義函數(shù)解的存在性，在量子力學及數(shù)學物理的其他領域有重要意義，然而，在這一方面的研究還沒有令人滿意的發(fā)展，今年來，有不少文獻進行了討論，對單個方程（包括高階方程）已有比較完備的情況（見6及其所引）。但對方程組（一般不能化為等價的高階方程）則還知之甚少，本文就是致力

3、于這方面的探討。2若干符號和定義 a.  是定義在 上的m次可微函數(shù)全體   ( )= b.  supp =  稱為 在 上的支集，如果  的支集是緊集，則稱  有緊支集 c.       是  中有緊支集的函數(shù)全體    d.  

4、0;D( ) 是      上賦以“歸納極限拓撲”的拓撲空間e.      是 D( )  上的連續(xù)線形泛函全體。         3 中的常微分方程（組） 在常微分方程的學習中，我們已經(jīng)知道了形如 + 的n階非齊線形常微分方程的初等解法。下面我們將在廣義函數(shù)類的意義下來描述此類方程的全部

5、解的集合，此時，  (i=0,1,.n)是給定的無限可微函數(shù)，y(x)  和b(x) 是廣義函數(shù)。首先，考慮最簡單的方程                  （1） =0                

6、                         (1)1 / 9由廣義函數(shù)的基本思想可知，廣義函數(shù)是定義在某個函數(shù)空間上的線形泛函，這個函數(shù)空間9稱為基本空間）中的元應該是充分光滑的。本文所考慮的基本空間為 D( )  。故而，（1）式定義了    上的一個線形泛函：

7、某一線形空間上的泛函，既是一種對應關系：使對該空間上的任一    （我們的例子中，該空間是   ，故     ）對應于一實數(shù)（有時也可能是復數(shù)，即復泛函）記作L( )   。線形泛函即適合L(     的泛函，所以（1）是一個線形泛函，即是說，一個函數(shù)可以生成一個泛函。這“泛函”（仍記作  ）我們說是對偶于    的。其次。原來

8、施于 y 上的微分運算現(xiàn)在對偶的移到了   上，而上文已經(jīng)提到，  中的元是充分光滑的，這就使得我們的運算能夠合理而方便的進行下去。上世紀蘇聯(lián)數(shù)學家Sobolev 提出廣義解時的基本思想就是這樣的。下面我們將遵循這一基本思想來給出（1）式的解。從而可知，（1）式即為                     &

9、#160; （   = =0     (2) 是任意的基本函數(shù)，泛函 y 是定義在可表示為其他基本函數(shù)的導數(shù)的基本函數(shù)集   上的。而我們必須把泛函y  的定義擴展到整個基本空間  D( )  中去。為此，我們有下面的引理。引理1：基本函數(shù) 可以表示為某一基本函數(shù)的導數(shù)的充要條件是      

10、60;                                           (3)證明：（必要性）設 為一基本函數(shù)，則一題意有 =&#

11、160;     則有                      =   = =0（充分性）若（3）式成立，則需證明     是基本函數(shù)，。不妨設  =    因 

12、60; 是基本函數(shù)，故   也和  一樣是無限可微的，而且由條件（3）可知，   在有限區(qū)域之外為零，所以，其為基本函數(shù)。引理2：若   是某一個具有性質    =1  的基本函數(shù)，則任意的基本函數(shù)    可以表示為             

13、0;      =  +                             (4)其中 滿足條件（3）證明：結論是自明的。+對（4）式。兩邊同時用泛函y作用，便有    &#

14、160;       (y, )=(y, )  +(y, )                                 (5)由于 &

15、#160;可視為某一基本函數(shù)    的導數(shù)，故由（2）式有          (y,  =0因而（5）式等價于           (y,                

16、                        (6)    從而可以看出：如果所求泛函 y 對基本函數(shù)    給定了數(shù)值，那么它對任意的函數(shù)  也是唯一確定的餓。例如，假定(y,     

17、  是一個任意固定的數(shù)，那么等式（6）給出了                 (y, )=  = 即表示廣義函數(shù) y 是一個常數(shù)   。不難看出，在廣義函數(shù)類中，方程（1）有一般解 y=c  （c為常數(shù)），也即（1）在廣義函數(shù)類中除古典解外無其他解。下面我們將考慮形如  

18、;                                         (7)的齊次方程組（其中  是x  的無限可微函數(shù)）為方便起見，方

19、程組（7）可以改寫成如下向量的形式                                               &

20、#160;           (8)其中，              A=        Y= 在通常意義下考慮方程組（7），可知其一定存在可逆的基解矩陣，記作U ，做變換Y=UZ    ，它把未知數(shù)Y

21、60; 變成Z  ，代入（8）式有                   因為 U 是基解矩陣，故滿足（8）式，即         代入上式即可得出          &#

22、160;         U 兩邊同時左乘   ，有                         由前面的結論可知，Z  亦為常數(shù)，從而可以得出：Y=UZ  是基礎解系的向量的

23、線形組合。下面考慮非齊次的情況。   首先考慮最簡單的非齊次方程                                    =f      

24、;                (9)其中f 是已知的廣義函數(shù)，y  待定。我們知道，一階非齊線形方程的通解結構就是 一階線形方程的通解加上一階非線形齊次方程自己的一個特解構成，由本文開頭可知，齊次方程的一般解是y=c  =常數(shù)，故而我們需要再找出（9）式的一個特解，類似與前面的做法，方程（9）與方程      &#

25、160;                  （y,- ）=(f, )等價，此處   仍為任意的基本函數(shù)，同樣的，泛函 y 也只對于作為一個基本函數(shù)    的導數(shù)的基本函數(shù)   有定義，即只定義在本文開始提到的流行   上，故仍需要把泛函y的定義擴展到

26、全空間 D( )   上。類似于齊次方程的做法：考慮滿足   =1         的基本函數(shù)    并把任意基本函數(shù)  表示為                = dx  

27、0;+ 其中        ，因此，對于每一個   ，取它在子空間    上的：“投影”   與它唯一對應，令              (           

28、;                         (10)可知，這樣建立起來的泛函是線形的，也是連續(xù)的。于是，方程（9）的全部解可寫成                  

29、; y=  的形式，其中  由（10）式給定。再看非齊次方程組                         （11）其中   為廣義函數(shù)， 是通常的無限可微函數(shù)，（ i =1，2，。 m ）同樣，先把方程組（11）寫

30、成向量的形式                                                 

31、   (12)   其中                                           

32、A=        Y=                            作變換 Y=UZ （ U 是相應于齊次方程組的基解矩陣，即滿足關系式    &#

33、160;    ）  代入（12）式有                                U =f 對上式兩邊同時左乘以    ，得到 &

34、#160;=  f  ，顯然，該式已經(jīng)具有了（9）式的形式。最后，我們考慮高階的非齊次方程                                    (13 )其中， 

35、  是無限可微的函數(shù)，f  是任意一個廣義函數(shù)。(i=1,2,m)對此，作如下代換                  所以               代入（13）式，則（13）式可化為   

36、0;                                      結果，求形如（13）的方程組了進一步地歸結為求形如（9）的方程的解。4 對偶空間中廣函解的存在性設A(t),B(t) 是

37、在t=0 的鄰域內充分光滑的l×n  階函數(shù)矩陣（ A(t)  至少m+1  階泰勒可展，B(t)  至少m  階泰勒可展）考慮常微分方程組                A(t) + B(t)X=0       

38、60;                            (14)其中， X  是n  維常向量。我們先有下面的定理：如果一個廣義函數(shù) X ，它的支集為 0   ，那么它必是  

39、0;函數(shù)及其導數(shù)的有限線形組合：                   X=    這里 m 為某正整數(shù)，   為常系數(shù)。且這個表示式唯一。此處證明從略（具體可參見3）  有了上面的定理，不妨假設方程組（14）有下面形式的廣義函數(shù)解：     

40、0;            X(t)=   其中   ,  為n 維常向量，   K=0,1,m             。代入（14）可得       

41、60;               A(t)   (t)+   B(t)  =0（  即    （A(t)  + B(t)  ） (t)+ B(t)   (t)B(t)   (t)

42、=0     不妨設 =0  ，故上式化簡為                   （A(t)  + B(t)  ） (t)+ B(t)   (t)      (15)將&

43、#160; A(t),B(t) 作如下泰勒展開：   A(t)=    B(t)=  式中                             i=0,1, m運用公式 =&#

44、160;可得                        (A(t)  + B(t)  ) (t)            =  (t)  

45、           =   (k+1-s)!    且易知        B(t) =(  )                  

46、;         =  故與（15）結合可得           (k+1-s)!+    (16) 對  集項，令K+1 S=J，且S0,(對S0，令  ，則（16）式化為           +