第一部分測量誤差及數(shù)據(jù)處理

1、第一部分 測量誤差及數(shù)據(jù)處理物理實(shí)驗(yàn)的任務(wù)不僅是定性地觀察各種自然現(xiàn)象，更重要的是定量地測量相關(guān)物理量。而對事物定量地描述又離不開數(shù)學(xué)方法和進(jìn)行實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理。因此，誤差分析和數(shù)據(jù)處理是物理實(shí)驗(yàn)課的基礎(chǔ)。本章將從測量及誤差的定義開始，逐步介紹有關(guān)誤差和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的方法和基本知識。誤差理論及數(shù)據(jù)處理是一切實(shí)驗(yàn)結(jié)果中不可缺少的內(nèi)容，是不可分割的兩部分。誤差理論是一門獨(dú)立的學(xué)科。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，近年來誤差理論基本的概念和處理方法也有很大發(fā)展。誤差理論以數(shù)理統(tǒng)計和概率論為其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，研究誤差性質(zhì)、規(guī)律及如何消除誤差。實(shí)驗(yàn)中的誤差分析，其目的是對實(shí)驗(yàn)結(jié)果作出評定，最大限度的減小實(shí)驗(yàn)誤差，或指出減小

2、實(shí)驗(yàn)誤差的方向，提高測量質(zhì)量，提高測量結(jié)果的可信賴程度。對低年級大學(xué)生，這部分內(nèi)容難度較大，本課程僅限于介紹誤差分析的初步知識，著重點(diǎn)放在幾個重要概念及最簡單情況下的誤差處理方法，不進(jìn)行嚴(yán)密的數(shù)學(xué)論證，減小學(xué)生學(xué)習(xí)的難度，有利于學(xué)好物理實(shí)驗(yàn)這門基礎(chǔ)課程。第一節(jié) 測量與誤差物理實(shí)驗(yàn)不僅要定性地觀察物理現(xiàn)象，更重要的是找出有關(guān)物理量之間的定量關(guān)系。因此就需要進(jìn)行定量的測量，以取得物理量數(shù)據(jù)的表征。對物理量進(jìn)行測量，是物理實(shí)驗(yàn)中極其重要的一個組成部分。對某些物理量的大小進(jìn)行測定，實(shí)驗(yàn)上就是將此物理量與規(guī)定的作為標(biāo)準(zhǔn)單位的同類量或可借以導(dǎo)出的異類物理量進(jìn)行比較，得出結(jié)論，這個比較的過程就叫做測量。例如

3、，物體的質(zhì)量可通過與規(guī)定用千克作為標(biāo)準(zhǔn)單位的標(biāo)準(zhǔn)砝碼進(jìn)行比較而得出測量結(jié)果；物體運(yùn)動速度的測定則必須通過與兩個不同的物理量，即長度和時間的標(biāo)準(zhǔn)單位進(jìn)行比較而獲得。比較的結(jié)果記錄下來就叫做實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。測量得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)應(yīng)包含測量值的大小和單位，二者是缺一不可的。國際上規(guī)定了七個物理量的單位為基本單位。其他物理量的單位則是由以上基本單位按一定的計算關(guān)系式導(dǎo)出的。因此，除基本單位之外的其余單位均稱為導(dǎo)出單位。如以上提到的速度以及經(jīng)常遇到的力、電壓、電阻等物理量的單位都是導(dǎo)出單位。一個被測物理量，除了用數(shù)值和單位來表征它外，還有一個很重要的表征它的參數(shù)，這便是對測量結(jié)果可靠性的定量估計。這個重要參數(shù)卻往

4、往容易為人們所忽視。設(shè)想如果得到一個測量結(jié)果的可靠性幾乎為零，那么這種測量結(jié)果還有什么價值呢？因此，從表征被測量這個意義上來說，對測量結(jié)果可靠性的定量估計與其數(shù)值和單位至少具有同等的重要意義，三者是缺一不可的。第一部分 測量誤差及數(shù)據(jù)處理·5·一、測量測量可以分為兩類。按照獲得測量結(jié)果的方法來分，可將測量分為直接測量和間接測量兩類，而從測量條件是否相同來分，又有所謂等精度測量和不等精度測量。根據(jù)測量方法可分為直接測量和間接測量。直接測量就是把待測量與標(biāo)準(zhǔn)量直接比較得出結(jié)果。如用米尺測量物體的長度，用天平稱量物體的質(zhì)量，用電流表測量電流等，都是直接測量。間接測量借助函數(shù)關(guān)系由

5、直接測量的結(jié)果計算出所謂的物理量。例如已知了路程和時間，根據(jù)速度、時間和路程之間的關(guān)系求出的速度就是間接測量。一個物理量能否直接測量不是絕對的。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，測量儀器的改進(jìn)，很多原來只能間接測量的量，現(xiàn)在可以直接測量了。比如電能的測量本來是間接測量，現(xiàn)在也可以用電度表來進(jìn)行直接測量。物理量的測量，大多數(shù)是間接測量，但直接測量是一切測量的基礎(chǔ)。根據(jù)測量條件來分，有等精度測量和非等精度測量。等精度測量是指在同一(相同)條件下進(jìn)行的多次測量，如同一個人，用同一臺儀器，每次測量時周圍環(huán)境條件相同，等精度測量每次測量的可靠程度相同。反之，若每次測量時的條件不同，或測量儀器改變，或測量方法、條件改變

6、。這樣所進(jìn)行的一系列測量叫做不等精度測量，不等精度測量的結(jié)果，其可靠程度自然也不相同。物理實(shí)驗(yàn)中大多采用等精度測量。應(yīng)該指出：重復(fù)測量必須是重復(fù)進(jìn)行測量的整個操作過程，而不是僅僅為重復(fù)讀數(shù)。測量儀器是進(jìn)行測量的必要工具。熟悉儀器性能，掌握儀器的使用方法及正確進(jìn)行讀數(shù)，是每個測量者必備的基礎(chǔ)知識。如下簡單介紹儀器精密度、準(zhǔn)確度、精確度和量程等基本概念。儀器的精密度、準(zhǔn)確度和精確度都是評價測量結(jié)果的術(shù)語，但目前使用時其涵義并不盡一致，以下介紹較為普遍采用的意見。測量精密度表示在同樣測量條件下，對同一物理量進(jìn)行多次測量，所得結(jié)果彼此間相互接近的程度，即測量結(jié)果的重復(fù)性、測量數(shù)據(jù)的彌散程度，因而測量精

7、密度是測量偶然誤差的反映。測量精密度高，偶然誤差小，但系統(tǒng)誤差的大小不明確。儀器精密度是指儀器的最小分度相當(dāng)?shù)奈锢砹俊x器最小的分度越小，所測量物理量的位數(shù)就越多，儀器精密度就越高。對測量讀數(shù)最小一位的取值，一般來講應(yīng)在儀器最小分度范圍內(nèi)再估計讀出一位數(shù)字。如具有毫米分度的米尺，其精密度為1 毫米，應(yīng)該估計讀出到毫米的十分位；螺旋測微器的精密度為0.01 毫米，應(yīng)該估計讀出到毫米的千分位。儀器準(zhǔn)確度是指儀器測量讀數(shù)的可靠程度。它一般標(biāo)在儀器上或?qū)懺趦x器說明書上。如電學(xué)儀表所標(biāo)示的級別就是該儀器的準(zhǔn)確度。對于沒有標(biāo)明準(zhǔn)確度的儀器，可粗略地取儀器最小的分度數(shù)值或最小分度數(shù)值的一半，一般對連續(xù)讀數(shù)的

8、儀器取最小分度數(shù)值的一半，對非連續(xù)讀數(shù)的儀器取最小的分度數(shù)值。在制造儀器時，其最小的分度數(shù)值是受儀器準(zhǔn)確度約束的，不同的儀器準(zhǔn)確度是不一樣的，測量長度的常用儀器米尺、游標(biāo)卡尺和螺旋測微器，它們的儀器準(zhǔn)確度依次提高。測量準(zhǔn)確度表示測量結(jié)果與真值接近的程度，因而它是系統(tǒng)誤差的反映。測量準(zhǔn)確大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)·6·度高，則測量數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值偏離真值較小，測量的系統(tǒng)誤差小，但數(shù)據(jù)較分散，偶然誤差的大小不確定。測量精確度則是對測量的偶然誤差及系統(tǒng)誤差的綜合評定。精確度高，測量數(shù)據(jù)較集中在真值附近，測量的偶然誤差及系統(tǒng)誤差都比較小?？傊?，精密度高是指隨機(jī)誤差小，數(shù)據(jù)集中；準(zhǔn)確度高是指系統(tǒng)誤

9、差小，測量的平均值偏離真值??；精確度高是指測量的精密度和準(zhǔn)確度都高。數(shù)據(jù)集中而且偏離真值小，即隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差都小。量程是指儀器所能測量的物理量最大值和最小值之差，即儀器的測量范圍(有時也將所能測量的最大值稱量程)。在測量過程中，超過儀器量程使用儀器是不允許的，輕則儀器準(zhǔn)確度降低，使用壽命縮短，重則損壞儀器。二、誤差與偏差測量的目的就是為了得到被測物理量所具有的客觀真實(shí)數(shù)據(jù)，但由于受測量方法、測量儀器、測量條件以及觀測者水平等多種因素的限制，只能獲得該物理量的近似值，也就是說，一個被測量值N 與真值N0 之間總是存在著差值，這種差值稱為測量誤差，即N=NN0顯然誤差N 有正負(fù)之分，因?yàn)樗菧y

10、量值與真值的差值，常稱為絕對誤差。注意，絕對誤差不是誤差的絕對值！誤差存在于一切測量之中，測量與誤差形影不離，分析測量過程中產(chǎn)生的誤差，將影響降到最低程度，并對測量結(jié)果中未能消除的誤差作出估計，是實(shí)驗(yàn)中的一項(xiàng)重要工作，也是實(shí)驗(yàn)的基本技能。實(shí)驗(yàn)總是根據(jù)對測量結(jié)果誤差限度的一定要求來制定方案和選用儀器的，不要以為儀器精度越高越好。因?yàn)闇y量的誤差是各個因素所引起的誤差的總和，要以最小的代價來取得最好的結(jié)果，要合理的設(shè)計實(shí)驗(yàn)方案，選擇儀器，確定測量方法。如比較法、替代法、天平復(fù)稱法等，都是為了減小測量誤差；對測量公式進(jìn)行這樣或那樣的修正，也是為了減少某些誤差的影響；在調(diào)節(jié)儀器時，如調(diào)節(jié)儀器使其處于鉛直

11、、水平狀態(tài)，要考慮到什么程度才能使它的偏離對實(shí)驗(yàn)結(jié)果造成的影響可以忽略不計；電表接入電路和選擇量程都要考慮到引起誤差的大小。在測量過程中某些對結(jié)果影響大的關(guān)鍵量，就要努力想辦法將它測準(zhǔn)；有的測量不太準(zhǔn)確對結(jié)果沒有什么影響，就不必花太多的時間和精力去對待，在進(jìn)行處理數(shù)據(jù)時，某個數(shù)據(jù)取到多少位，怎樣使用近似公式，作圖時坐標(biāo)比例、尺寸大小怎樣選取，如何求直線的斜率等，都要考慮到引入誤差的大小。由于客觀條件所限、人們認(rèn)識的局限性，測量不可能獲得待測量的真值，只能是近似值。設(shè)某個物理量真值為x0，進(jìn)行n 次等精度測量，測量值分別為x1, x2, , xn(測量過程無明顯的系統(tǒng)誤差)，它們的誤差為1 1

12、0 x =x x2 2 0 x =x x第一部分 測量誤差及數(shù)據(jù)處理·7·n n 0 x =x x求和01 1n ni ii ix x nx= = = 即1 10n ni ii ix xxn n= = 當(dāng)測量次數(shù)n，可以證明1 0niixn=，而且1niixxn= =是0 x 的最佳估計值，稱x 為測量值的近似真實(shí)值。為了估計誤差，定義測量值與近似真實(shí)值的差值為偏差：即i i x =x x。偏差又叫做“殘差”。實(shí)驗(yàn)中真值得不到，因此誤差也無法知道，而測量的偏差可以準(zhǔn)確知道，實(shí)驗(yàn)誤差分析中要經(jīng)常計算這種偏差，用偏差來描述測量結(jié)果的精確程度。三、相對誤差絕對誤差與真值之比的百分

13、數(shù)叫做相對誤差。用表示：0E N 100%N= ×由于真值無法知道，所以計算相對誤差時常用N 代替0 N 。在這種情況下，可能是公認(rèn)值，或高一級精密儀器的測量值，或測量值的平均值。相對誤差用來表示測量的相對精確度，相對誤差用百分?jǐn)?shù)表示，保留兩位有效數(shù)字。四、系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差根據(jù)誤差的性質(zhì)和產(chǎn)生的原因，可分為系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差。1. 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差是指在一定條件下多次測量的結(jié)果總是向一個方向偏離，其數(shù)值一定或按一定規(guī)律變化。系統(tǒng)誤差的特征是具有一定的規(guī)律性。系統(tǒng)誤差的來源具有以下幾個方面：(1)儀器誤差。它是由于儀器本身的缺陷或沒有按規(guī)定條件使用儀器而造成的誤差。(2)理論誤差。它

14、是由于測量所依據(jù)的理論公式本身的近似性，或?qū)嶒?yàn)條件不能達(dá)到理論公式所規(guī)定的要求，或測量方法等所帶來的誤差。(3)觀測誤差。它是由于觀測者本人生理或心理特點(diǎn)造成的誤差。例如，用“落球法”測量重力加速度，由于空氣阻力的影響，大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)·8·多次測量的結(jié)果總是偏小，這是測量方法不完善造成的誤差；用停表測量運(yùn)動物體通過某一段路程所需要的時間，若停表走時太快，即使測量多次，測量的時間t 總是偏大為一個固定的數(shù)值，這是儀器不準(zhǔn)確造成的誤差；在測量過程中，若環(huán)境溫度升高或降低，使測量值按一定規(guī)律變化，是由于環(huán)境因素變化引起的誤差。在任何一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)工作和具體測量中，必須要想盡一切辦法，最大

15、限度的消除或減小一切可能存在的系統(tǒng)誤差，或者對測量結(jié)果進(jìn)行修正。發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差需要改變實(shí)驗(yàn)條件和實(shí)驗(yàn)方法，反復(fù)進(jìn)行對比，系統(tǒng)誤差的消除或減小是比較復(fù)雜的一個問題，沒有固定不變的方法，要具體問題具體分析。產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因可能不止一個，一般應(yīng)找出影響的主要因素，有針對性地消除或減小系統(tǒng)誤差。以下介紹幾種常用的方法。檢定修正法：指將儀器、量具送計量部門檢驗(yàn)取得修正值，以便對某一物理量測量后進(jìn)行修正的一種方法。替代法：指測量裝置測定待測量后，在測量條件不變的情況下，用一個已知標(biāo)準(zhǔn)量替換被測量來減小系統(tǒng)誤差的一種方法。如消除天平的兩臂不等對待測量的影響可用此辦法。異號法：指對實(shí)驗(yàn)時在兩次測量中出現(xiàn)符號相

16、反的誤差，采取平均值后消除的一種方法。例如在外界磁場作用下，儀表讀數(shù)會產(chǎn)生一個附加誤差，若將儀表轉(zhuǎn)動180°再進(jìn)行一次測量，外磁場將對讀數(shù)產(chǎn)生相反的影響，引起負(fù)的附加誤差。兩次測量結(jié)果平均，正負(fù)誤差可以抵消，從中可以減小系統(tǒng)誤差。2. 隨機(jī)誤差在實(shí)際測量條件下，多次測量同一量時，誤差時大時小、時正時負(fù)，以不可預(yù)定方式變化著的誤差叫做隨機(jī)誤差，有時也叫偶然誤差。當(dāng)測量次數(shù)很多時，隨機(jī)誤差就顯示出明顯的規(guī)律性。實(shí)踐和理論都已證明，隨機(jī)誤差服從一定的統(tǒng)計規(guī)律(正態(tài)分布)，其特點(diǎn)是：絕對值小的誤差出現(xiàn)的概率比絕對值大的誤差出現(xiàn)的概率大(單峰性)；絕對值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同(對稱性)；

17、絕對值很大的誤差出現(xiàn)的概率趨于零(有界性)；誤差的算術(shù)平均值隨著測量次數(shù)的增加而趨于零(抵償性)。因此，增加測量次數(shù)可以減小隨機(jī)誤差，但不能完全消除。引起隨機(jī)誤差的原因也很多。與儀器精密度和觀察者感官靈敏度有關(guān)。如儀器顯示數(shù)值的估計讀數(shù)位偏大和偏??；儀器調(diào)節(jié)平衡時，平衡點(diǎn)確定不準(zhǔn)；測量環(huán)境擾動變化以及其他不能預(yù)測不能控制的因素，如空間電磁場的干擾，電源電壓波動引起測量的變化等。由于測量者過失，如實(shí)驗(yàn)方法不合理，用錯儀器，操作不當(dāng)，讀錯數(shù)值或記錯數(shù)據(jù)等引起的誤差，是一種人為的過失誤差，不屬于測量誤差，只要測量者采取嚴(yán)肅認(rèn)真的態(tài)度，過失誤差是可以避免的。五、隨機(jī)誤差的估算對某一測量進(jìn)行多次重復(fù)測量

18、，其測量結(jié)果服從一定的統(tǒng)計規(guī)律，也就是正態(tài)分布第一部分 測量誤差及數(shù)據(jù)處理·9·(或高斯分布)。我們用描述高斯分布的兩個參量(x 和 )來估算隨機(jī)誤差。設(shè)在一組測量值中，n 次測量的值分別為： x1,x2,Lxn1. 算術(shù)平均值根據(jù)最小二乘法原理證明，多次測量的算術(shù)平均值11 niix xn = (1)是待測量真值0 x 的最佳估計值。稱x 為近似真實(shí)值，以后我們將用x 來表示多次測量的近似真實(shí)值。2. 標(biāo)準(zhǔn)偏差誤差理論證明，平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差(貝塞爾公式)( )211niix xx xSn = =(2)其意義表示某次測量值的隨機(jī)誤差在 x x + 之間的概率為68.3%。3

19、. 算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差當(dāng)測量次數(shù)n 有限，其算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差為( )( )211nix ix xx xSn n n = = =(3)其意義是測量平均值的隨機(jī)誤差在 x x + 之間的概率為68.3%?；蛘哒f，待測量的真值在( ) ( ) x x x x+ 范圍內(nèi)的概率為68.3%。因此x 反映了平均值接近真值的程度。當(dāng)測量次數(shù)很少時，樣本的平均值與平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差，可能嚴(yán)重偏離正態(tài)分布的平均值和平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差。根據(jù)誤差理論，如果令： 0 / x x T=S S ，式中Sx0 為統(tǒng)計的標(biāo)準(zhǔn)偏差，T 作為一個統(tǒng)計量將遵從另一種分布T 分布，即“學(xué)生分布”。其函數(shù)式比較復(fù)雜，可不去管它。但T

20、 分布可以提供一個系數(shù)因子，簡稱T 因子，用這個T 因子乘樣本的平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差作為置信區(qū)間，仍能保證在這個區(qū)間有68.3%的置信概率。表1-1 中列出幾個常用的T 因子。表1-1 T 因子表(表中N 表示測量次數(shù))N 2 3 4 5 6 7 8 9 10T0.683 T0.95 T0.99 大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)·10 ·從表中可見，T0.683 因子隨測量次數(shù)的增加而趨向于1，在測量次數(shù)7 次以上可以不考慮T 因子。在測量次數(shù)小于7 次時，把測量結(jié)果表示成： 0.683 0.95 ( 68.3%) x x±T S p= 或x±T 0.99 ( 95%) ( 9

21、9%) x x S p= 或x±T S p= 。六、異常數(shù)據(jù)的剔除剔除測量列中異常數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)有幾種，有3 x 準(zhǔn)則、肖維準(zhǔn)則、格拉布斯準(zhǔn)則等。1. 3 x 準(zhǔn)則統(tǒng)計理論表明，測量值的偏差超過3 x 的概率已小于1%。因此，可以認(rèn)為偏差超過3 x 的測量值是其他因素或過失造成的，為異常數(shù)據(jù)，應(yīng)當(dāng)剔除。剔除的方法是將多次測量所得的一系列數(shù)據(jù)，算出各測量值的偏差i x 和標(biāo)準(zhǔn)偏差x ，把其中最大的j x與3 x 比較，若j x 3 x ，則認(rèn)為第j 個測量值是異常數(shù)據(jù)，舍去不計。剔除j x 后，對余下的各測量值重新計算偏差和標(biāo)準(zhǔn)偏差，并繼續(xù)審查，直到各個偏差均小于3 x 為止。2. 肖維準(zhǔn)

22、則假定對一物理量重復(fù)測量了n 次，其中某一數(shù)據(jù)在這n 次測量中出現(xiàn)的幾率不到半次，即小于1/2n，則可以肯定這個數(shù)據(jù)的出現(xiàn)是不合理的，應(yīng)當(dāng)予以剔除。根據(jù)肖維準(zhǔn)則，應(yīng)用隨機(jī)誤差的統(tǒng)計理論可以證明，在標(biāo)準(zhǔn)誤差為 的測量列中，若某一個測量值的偏差等于或大于誤差的極限值K，則此值應(yīng)當(dāng)剔出。不同測量次數(shù)的誤差極限值K 列于表1-2。表1-2 肖維系數(shù)表n K n K n K 3. 格拉布斯(Grubbs)準(zhǔn)則若有一組測量得出的數(shù)值，其中某次測量得出數(shù)值的偏差的絕對值| i x |與該組測量列的標(biāo)準(zhǔn)偏差x 之比大于某一閾值0g (n,1p) ，即| i x |> 0g (n,1p) · x

23、 則認(rèn)為此測量值中有異常數(shù)據(jù)，并可予以剔除。這里0g (n,1p) 中的n 為測量數(shù)據(jù)的個數(shù)。而 p 為服從此分布的置信概率。一般取p 為0.95 和0.99(至于在處理具體問題時，究竟取哪個值則由實(shí)驗(yàn)者自己來決定)。我們將在表1-3 中給出p=0.95 和0.99 時或第一部分 測量誤差及數(shù)據(jù)處理·11·1-p=0.05 和0.01 時，不同的n 值所對應(yīng)的g0 值。表1-3 g0(n,1p)值表1-pn1-pn第二節(jié) 測量結(jié)果的評定和不確定度測量的目的是不但要測量待測物理量的近似值，而且要對近似真實(shí)值的可靠性作出評定(即指出誤差范圍)，這就要求我們還必須掌握不確定度的有

24、關(guān)概念。下面將結(jié)合對測量結(jié)果的評定對不確定度的概念、分類、合成等問題進(jìn)行討論。一、不確定度的含義在物理實(shí)驗(yàn)中，常常要對測量的結(jié)果作出綜合的評定，采用不確定度的概念。不確定度是“誤差可能數(shù)值的測量程度”，表征所得測量結(jié)果代表被測量的準(zhǔn)確程度。也就是因測量誤差存在而對被測量不能肯定的程度，因而是測量質(zhì)量的表征，用不確定度對測量數(shù)據(jù)作出比較合理的評定。對一個物理實(shí)驗(yàn)的具體數(shù)據(jù)來說，不確定度是指測量值(近真值)附近的一個范圍，測量值與真值之差(誤差)可能落于其中，不確定度小，測量結(jié)果可信賴程度高；不確定度大，測量結(jié)果可信賴程度低。在實(shí)驗(yàn)和測量工作中，不確定度一詞近似于不確知，不明確，不可靠，有質(zhì)疑，是

25、作為估計而言的；因?yàn)檎`差是未知的，不可能用指出誤差的方法去說明可信賴程度，而只能用誤差的某種可能的數(shù)值去說明可信賴程度，所以不確定度更能表示測量結(jié)果的性質(zhì)和測量的質(zhì)量。用不確定度評定實(shí)驗(yàn)結(jié)果的誤差，其中包含了各種來源不同的誤差對結(jié)果的影響，而它們的計算又反映了這些誤差所服從的分布規(guī)律，這是更準(zhǔn)確地表述了測量結(jié)果的可靠程度，因而有必要采用不確定度的概念。二、測量結(jié)果的表示和合成不確定度在做物理實(shí)驗(yàn)時，要求表示出測量的最終結(jié)果。在這個結(jié)果中既要包含待測量的近似真實(shí)值x ，又要包含測量結(jié)果的不確定度x u ，還要反映出物理量的單位。因此，要寫大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)·12 ·成物理含意深刻的

26、標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)形式，即x x =x±u (單位)式中x 為待測量； x 是測量的近似真實(shí)值，x u 是合成不確定度，一般保留一位有效數(shù)字。這種表達(dá)形式反應(yīng)了三個基本要素：測量值、合成不確定度和單位。在物理實(shí)驗(yàn)中，直接測量時若不需要對被測量進(jìn)行系統(tǒng)誤差的修正，一般就取多次測量的算術(shù)平均值x 作為近似真實(shí)值；若在實(shí)驗(yàn)中有時只需測一次或只能測一次，該次測量值就為被測量的近似真實(shí)值。如果要求對被測量進(jìn)行一定系統(tǒng)誤差的修正，通常是將一定系統(tǒng)誤差(即絕對值和符號都確定的可估計出的誤差分量)從算術(shù)平均值x 或一次測量值中減去，從而求得被修正后的直接測量結(jié)果的近似真實(shí)值。例如，用螺旋測微器來測量長度時，從

27、被測量結(jié)果中減去螺旋測微器的零誤差。在間接測量中， x 即為被測量的計算值。在測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式中，給出了一個范圍( ) ( ) x x xu x+u ，它表示待測量的真值在( ) ( ) x x xu x+u 范圍之間的概率為68.3%，不要誤認(rèn)為真值一定就會落在( )( ) x x xu x+u 之間。認(rèn)為誤差在 x x u +u之間是錯誤的。在上述的標(biāo)準(zhǔn)式中，近似真實(shí)值、合成不確定度、單位三個要素缺一不可，否則就不能全面表達(dá)測量結(jié)果。同時，近似真實(shí)值x 的末尾數(shù)應(yīng)該與不確定度的所在位數(shù)對齊，近似真實(shí)值x 與不確定度x u 的數(shù)量級、單位要相同。在開始實(shí)驗(yàn)中，測量結(jié)果的正確表示是一個難點(diǎn)

28、，要引起重視，從開始就注意糾正，培養(yǎng)良好的實(shí)驗(yàn)習(xí)慣，才能逐步克服難點(diǎn)，正確書寫測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)形式。在不確定度的合成問題中，主要是從系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差等方面進(jìn)行綜合考慮的，提出了統(tǒng)計不確定度和非統(tǒng)計不確定度的概念。合成不確定度x u 是由不確定度的兩類分量(A 類和B 類)求“方和根”計算而得。為使問題簡化，本書只討論簡單情況下(即A 類、B 類分量保持各自獨(dú)立變化，互不相關(guān))的合成不確定度。A 類不確定度(統(tǒng)計不確定度)用A ( )x u 表示，B 類不確定度(非統(tǒng)計不確定度)用B ( )x u表示，合成不確定度為：2 2A B ( ) ( ) x x x u= u +u三、合成不確定度的兩類

29、分量物理實(shí)驗(yàn)中的不確定度，一般主要來源于測量方法、測量人員、環(huán)境波動、測量對象變化等等。計算不確定度是將可修正的系統(tǒng)誤差修正后，將各種來源的誤差按計算方法分為兩類，即用統(tǒng)計方法計算的不確定度(A 類)和非統(tǒng)計方法計算的不確定度(B 類)。A 類 統(tǒng)計不確定度，是指可以采用統(tǒng)計方法(即具有隨機(jī)誤差性質(zhì))計算的不確定度，如測量讀數(shù)具有分散性，測量時溫度波動影響等等。這類統(tǒng)計不確定度通常認(rèn)為它是服從正態(tài)分布規(guī)律，因此可以像計算標(biāo)準(zhǔn)偏差那樣，用“貝塞爾公式”計算被測量的A 類不確定度。A 類不確定度A ( )x u 為：第一部分 測量誤差及數(shù)據(jù)處理·13·( )221 1A ( )

30、1 ( 1)n ni ii ixx x xun n n n= = = = （ ）式中i=1，2，3，n，表示測量次數(shù)。在計算A 類不確定度時，也可以用最大偏差法、極差法、最小二乘法等，本書只采用“貝塞爾公式法”，并且著重討論讀數(shù)分散對應(yīng)的不確定度。用“貝塞爾公式”計算A 類不確定度，可以用函數(shù)計算器直接讀取，十分方便。B 類 非統(tǒng)計不確定度，是指用非統(tǒng)計方法求出或評定的不確定度，如實(shí)驗(yàn)室中的測量儀器不準(zhǔn)確，量具磨損老化等等。評定B 類不確定度常用估計方法，要估計適當(dāng)，需要確定分布規(guī)律，同時要參照標(biāo)準(zhǔn)，更需要估計者的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)、學(xué)識水平等。因此，往往是意見紛紜，爭論頗多。本書對B 類不確定度的估計

31、同樣只作簡化處理。儀器不準(zhǔn)確的程度主要用儀器誤差來表示，所以因儀器不準(zhǔn)確對應(yīng)的B 類不確定度為( )3 B x u= 儀儀為儀器誤差或儀器的基本誤差，或允許誤差，或顯示數(shù)值誤差。一般的儀器說明書中都會注明儀器誤差，是制造廠或計量檢定部門給定的。物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，由實(shí)驗(yàn)儀器決定。對于單次測量的不確定度一般是以最大誤差進(jìn)行估計，以下分兩種情況處理。已知儀器準(zhǔn)確度時，這時以其準(zhǔn)確度作為誤差大小。如一個量程150mA，準(zhǔn)確度級的電流表，測一次電流，讀數(shù)為。為估計其誤差，則按準(zhǔn)確度0.2 級可算出最大絕對誤差為，因而該次測量的結(jié)果可寫成I±0.3)mA。又如用物理天平稱量某個物體的質(zhì)量，當(dāng)天平平

32、衡時砝碼為P=145.02 克，讓游碼在天平橫梁上偏離平衡位置一個刻度(相當(dāng)于0.05 克)，天平指針偏過1.8 分度，則該天平這時的靈敏度為÷0.05)分度/克，其感量為0.03 克/分度，就是該天平測量物體質(zhì)量時的準(zhǔn)確度，測量結(jié)果可寫成P±0.03)克。未知儀器準(zhǔn)確度時，這時單次測量誤差的估計，應(yīng)根據(jù)所用儀器的精密度、儀器靈敏度、測試者感覺器官的分辨能力以及觀測時的環(huán)境條件等因素具體考慮，以使估計誤差的大小盡可能符合實(shí)際情況。一般說，最大讀數(shù)誤差對連續(xù)讀數(shù)的儀器可取儀器最小刻度值的一半，而無法進(jìn)行估計的非連續(xù)讀數(shù)的儀器，如數(shù)字式儀表，則取其最末位數(shù)的一個最小單位。四、直

33、接測量的不確定度在對直接測量的不確定度的合成問題中，對A 類不確定度主要討論在多次等精度測量條件下，讀數(shù)分散對應(yīng)的不確定度，并且用“貝塞爾公式”計算A 類不確定度。對B類不確定度，主要討論儀器不準(zhǔn)確對應(yīng)的不確定度，將測量結(jié)果寫成標(biāo)準(zhǔn)形式。因此，實(shí)驗(yàn)結(jié)果的獲得，應(yīng)包括待測量近似真實(shí)值，A、B 兩類不確定度以及合成不確定度的計算。增加重復(fù)測量次數(shù)對于減小平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差，提高測量的精密度有利。但是注意到當(dāng)次數(shù)增大時，平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差減小漸為緩慢，當(dāng)次數(shù)大于10 時平均值的減小便大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)·14 ·不明顯了。通常取測量次數(shù)為510 為宜。下面通過兩個例子加以說明。例1 采用感量

34、為0.1g 的物理天平稱量某物體的質(zhì)量，其讀數(shù)值為，求物體質(zhì)量的測量結(jié)果。解：采用物理天平稱物體的質(zhì)量，重復(fù)測量讀數(shù)值往往相同，故一般只須進(jìn)行單次測量即可。單次測量的讀數(shù)即為近似真實(shí)值，m。物理天平的“示值誤差”通常取感量的一半，并且作為儀器誤差，即B ( ) 0.05(g) m u = = 儀測量結(jié)果為m±0.05(g)在例1 中，因?yàn)槭菃未螠y量(n=1)，合成不確定度：2 2 2 2A B B ( ) ( ) ( ) m m m m m u= u +u = S +u式中的0 m S = ，所以單次測量的合成不確定度等于非統(tǒng)計不確定度。但是這個結(jié)論并不表明單次測量的A 類不確定度就

35、小，因?yàn)?n =1 時， x S 發(fā)散，其隨機(jī)分布特征是客觀存在的，測量次數(shù)n 越大，置信概率就越高，因而測量的平均值就越接近真值。例2 用螺旋測微器測量小鋼球的直徑，五次的測量值分別為d螺旋測微器的最小分度數(shù)值為，試寫出測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)式。解：(1)求直徑 d 的算術(shù)平均值( ) 515 i d dn = = + + + + =(2) 計算B 類不確定度螺旋測微器的儀器誤差為儀=0.005(mm)B ( ) 0.005mm d u = = 儀(3) 計算A 類不確定度( ) ( ) ( )5 22 21 ( 1) (5 1)5iAd dd du Sn n + += = = = L(4) 合成不

36、確定度2 2 2 2A B ( ) ( ) 0.00025 0.005 d d d u= u +u = +式中，由于1/3×，故可略去A ( )d u ，于是：0.005(mm) d u =(5) 測量結(jié)果為(mm) d d=d±u = ±第一部分 測量誤差及數(shù)據(jù)處理·15·從上例中可以看出，當(dāng)有些不確定度分量的數(shù)值很小時，相對而言可以略去不計。在計算合成不確定度中求“方和根”時，若某一平方值小于另一平方值的1/9，則這一項(xiàng)就可以略去不計。這一結(jié)論叫做微小誤差準(zhǔn)則。在進(jìn)行數(shù)據(jù)處理時，利用微小誤差準(zhǔn)則可減少不必要的計算。不確定度的計算結(jié)果，一般應(yīng)

37、保留一位有效數(shù)字，多余的位數(shù)按有效數(shù)字的修約原則進(jìn)行取舍。評價測量結(jié)果，有時候需要引入相對不確定度的概念。相對不確定度定義為：x 100% uEx= ×E 的結(jié)果一般應(yīng)取2 位有效數(shù)字。此外，有時候還需要將測量結(jié)果的近似真實(shí)值x與公認(rèn)值x公進(jìn)行比較，得到測量結(jié)果的百分偏差B。百分偏差定義為：100%x xBx= × 公公百分偏差其結(jié)果一般應(yīng)取2 位有效數(shù)字。測量不確定度表達(dá)涉及深廣的知識領(lǐng)域和誤差理論問題，大大超出了本課程的教學(xué)范圍。同時，有關(guān)它的概念、理論和應(yīng)用規(guī)范還在不斷地發(fā)展和完善。因此，我們在教學(xué)中也在進(jìn)行摸索，以期在保證科學(xué)性的前提下，盡量把方法簡化，為初學(xué)者易于

38、接受。教學(xué)重點(diǎn)放在建立必要的概念，有一個初步的基礎(chǔ)。以后在工作需要時，可以參考有關(guān)文獻(xiàn)繼續(xù)深入學(xué)習(xí)。五、間接測量結(jié)果的合成不確定度間接測量的近似真實(shí)值和合成不確定度是由直接測量結(jié)果通過函數(shù)式計算出來的，既然直接測量有誤差，那么間接測量也必有誤差，這就是誤差的傳遞。由直接測量值及其誤差來計算間接測量值的誤差之間的關(guān)系式稱為誤差的傳遞公式。設(shè)間接測量的函數(shù)式為N=F(x，y，z，)N 為間接測量的量，它有K 個直接測量的物理量x, y, z, ，各直接觀測量的測量結(jié)果分別為x x =x±uy y=y±uz z =z±uKK(1) 若將各個直接測量的近似真實(shí)值x 代入函

39、數(shù)表達(dá)式中，即可得到間接測量的近似真實(shí)值N=F(x,y,z,L)大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)·16 ·(2) 求間接測量的合成不確定度，由于不確定度均為微小量，相似于數(shù)學(xué)中的微小增量，對函數(shù)式N=F(x，y，z，)求全微分，即得dN Fdx Fdy Fdzx y z = + + + L式中，dN，dx，dy，dz， 均為微小量，代表各變量的微小變化，dN 的變化由各自變量的變化決定， F, F, F,x y z L為函數(shù)對自變量的偏導(dǎo)數(shù)，記為KFA。將上面全微分式中的微分符號d 改寫為不確定度符號u，并將微分式中的各項(xiàng)求“方和根”，即為間接測量的合成不確定度2 2 2 21kN x y z

40、 AKi Ku Fu Fu F u F ux y z = A= + + = (4)式中，K 為直接測量量的個數(shù)，A 代表x，y，z， 各個自變量(直接觀測量)。上式表明，間接測量的函數(shù)式確定后，測出它所包含的直接觀測量的結(jié)果，將各個直接觀測量的不確定度AK u 乘函數(shù)對各變量(直測量)的偏導(dǎo)數(shù)AKKF uA ，求“方和根”，即21kAKi KF u= A 就是間接測量結(jié)果的不確定度。間接測量的函數(shù)表達(dá)式為積和商(或含和差的積商形式)的形式時，為了使運(yùn)算簡便起見，可以先將函數(shù)式兩邊同時取自然對數(shù)，然后再求全微分。即dN lnFdx lnFdy lnFdzN x y z = + + + L同樣改寫

41、微分符號為不確定度符號，再求其“方和根”，即為間接測量的相對不確定度N E ，即2 2 2 21ln ln ln k lnNN x y z AKi KE u Fu Fu F u F uN x y z = A= = + + = (5)已知N E 、N ，由(5)式可以求出合成不確定度N N u =NE (6)常用函數(shù)不確定度傳遞和合成公式如表1-4。這樣計算間接測量的統(tǒng)計不確定度時，特別對函數(shù)表達(dá)式很復(fù)雜的情況，尤其顯示出它的優(yōu)越性。今后在計算間接測量的不確定度時，對函數(shù)表達(dá)式僅為“和差”形式，可以直接利用(4)式，求出間接測量的合成不確定度N u ，若函數(shù)表達(dá)式為積和商(或積商和差混合)等較為

42、復(fù)雜的形式，可直接采用(5)式，先求出相對不確定度，再求出合成不確定度N u 。注意的是所有直接測量所用置信概率必須相同，置信概率為68%，傳遞后的置信概率不變，用高置信概率也相同。第一部分 測量誤差及數(shù)據(jù)處理·17·表1-4 常用函數(shù)不確定度傳遞和合成公式函數(shù)表達(dá)式 不確定度傳遞公式2 22 22 222x yx yx yk mxnx y u u uxy u u ux yx u u uy x yx y u k uz x= ± = += = + = = + = = 2 22 2;sin coslny zxxk xxxmu nuy zkx u ku u uxx u

43、ukxx u u xx u ux+ + = = = = = =例3 已知電阻1 R ±0.5()， 2 R ±0.5()，求它們串聯(lián)的電阻R 和合成不確定度R u 。解：串聯(lián)電阻的阻值為R= 1 R + 2 R =50.2+149.8=200.0()合成不確定度2 2 221 21 1 22 2 2 21 2 0.5 0.5 0.7( )R Riiu Ru Ru R uR R Ru u = = + = + = + = 相對不確定度0.7 100% 0.35%RRE uR= = × =測量結(jié)果為R±0.7()在例3 中，由于1 2R 1, R 1,R R

44、= = R 的總合成不確定度為各個直接觀測量的不確定度平方求和后再開方。間接測量的不確定度計算結(jié)果一般應(yīng)保留一位有效數(shù)字，相對不確定度一般應(yīng)保留2 位有效數(shù)字。例4 測量金屬環(huán)的內(nèi)徑1 D ±0.004(cm)，外徑2 D ±0.004(cm)， 厚度大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)·18 ·h±0.004(cm)。試求環(huán)的體積V 和測量結(jié)果。解：環(huán)體積公式為2 22 1( )4V= hDD(1) 環(huán)體積的近似真實(shí)值為2 22 12 2 3_( )43.1416 2.575 (3.600 2.880 ) 9.436(cm )4V= hDD= × 

45、5; =(2) 首先將環(huán)體積公式兩邊同時取自然對數(shù)后，再求全微分2 22 12 2 1 12 22 1ln ln ln ln( )4d 0 d 2 d 2 dV h D DV h D D D DV h D D= + + = + +則相對不確定度為2 12 2 22 12 2 2 22 1 2 112 2 2 22 2 2 22 20.0081 0.81%V h D DVE u u D u DuV h D D D D= = + + = + × × + × × = =(3) 總合成不確定度為9.436 0.0081 0.08(cm3 ) V V u =VE

46、= × =(4) 環(huán)體積的測量結(jié)果為V=9.44 ± 0.08 (cm3 )V 的標(biāo)準(zhǔn)式中，V = 9.436(cm3 ) 應(yīng)與不確定度的位數(shù)取齊，因此將小數(shù)點(diǎn)后的第三位數(shù)6，按照數(shù)字修約原則進(jìn)到百分位，故為9.44 (cm3 ) 。間接測量結(jié)果的誤差，常用兩種方法來估計：算術(shù)合成(最大誤差法)和幾何合成(標(biāo)準(zhǔn)誤差法)。誤差的算術(shù)合成將各誤差取絕對值相加，是從最不利的情況考慮，誤差合成的結(jié)果是間接測量的最大誤差，因此是比較粗略的，但計算較為簡單，它常用于誤差分析、實(shí)驗(yàn)設(shè)計或粗略的誤差計算中；上面例子采用幾何合成的方法，計算較麻煩，但誤差的幾何合成較為合理。第三節(jié) 有效數(shù)字及

47、其運(yùn)算法則物理實(shí)驗(yàn)中經(jīng)常要記錄很多測量數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)應(yīng)當(dāng)是能反映出被測量實(shí)際大小的全部數(shù)字，即有效數(shù)字。但是在實(shí)驗(yàn)觀測、讀數(shù)、運(yùn)算與最后得出的結(jié)果中，哪些是能第一部分 測量誤差及數(shù)據(jù)處理·19·反映被測量實(shí)際大小的數(shù)字應(yīng)予以保留，哪些不應(yīng)當(dāng)保留，這就與有效數(shù)字及其運(yùn)算法則有關(guān)。前面已經(jīng)指出，測量不可能得到被測量的真實(shí)值，只能是近似值。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的記錄反映了近似值的大小，并且在某種程度上表明了誤差。因此，有效數(shù)字是對測量結(jié)果的一種準(zhǔn)確表示，它應(yīng)當(dāng)是有意義的數(shù)字，而不允許無意義的數(shù)字存在。如果把測量結(jié)果寫成±0.05(cm)是錯誤的，由不確定度0.05(cm)可以得知，

48、數(shù)據(jù)的第二位小數(shù)0.08 已不可靠，把它后面的數(shù)字也寫出來沒有多大意義，正確的寫法應(yīng)當(dāng)是：±0.05(cm)。測量結(jié)果的正確表示，對初學(xué)者來說是一個難點(diǎn)，必須加以重視，多次強(qiáng)調(diào)，才能逐步形成正確表示測量結(jié)果的良好習(xí)慣。一、有效數(shù)字的概念任何一個物理量，其測量的結(jié)果既然都或多或少的有誤差，那么一個物理量的數(shù)值就不應(yīng)當(dāng)無止境地寫下去，寫多了沒有實(shí)際意義，寫少了又不能比較真實(shí)的表達(dá)物理量。因此，一個物理量的數(shù)值和數(shù)學(xué)上的某一個數(shù)就有著不同的意義，這就引入了一個有效數(shù)字的概念。若用最小分度值為1mm 的米尺測量物體的長度，讀數(shù)值為。其中5和6 這兩個數(shù)字是從米尺的刻度上準(zhǔn)確讀出的，可以認(rèn)為是

49、準(zhǔn)確的，叫做可靠數(shù)字。末位數(shù)字3 是在米尺最小分度值的下一位上估計出來的，是不準(zhǔn)確的，叫做欠準(zhǔn)數(shù)。雖然是欠準(zhǔn)可疑，但不是無中生有，而是有根有據(jù)有意義的，顯然有一位欠準(zhǔn)數(shù)字，就使測量值更接近真實(shí)值，更能反映客觀實(shí)際。因此，測量值應(yīng)當(dāng)保留到這一位是合理的，即使估計數(shù)是0，也不能舍去。測量結(jié)果應(yīng)當(dāng)而且也只能保留一位欠準(zhǔn)數(shù)字，故測量數(shù)據(jù)的有效數(shù)字定義為幾位可靠數(shù)字加上一位欠準(zhǔn)數(shù)字，有效數(shù)字的個數(shù)叫做有效數(shù)字的位數(shù)，如上述的5.63cm 稱為三位有效數(shù)字。有效數(shù)字的位數(shù)與十進(jìn)制單位的變換無關(guān)，即與小數(shù)點(diǎn)的位置無關(guān)。因此，用以表示小數(shù)點(diǎn)位置的0 不是有效數(shù)字。當(dāng)0 不是用作表示小數(shù)點(diǎn)位置時，0 和其他數(shù)字

50、具有同等地位，都是有效數(shù)字。顯然，在有效數(shù)字的位數(shù)確定時，第一個不為零的數(shù)字左面的零不能算有效數(shù)字的位數(shù)，而第一個不為零的數(shù)字右面的零一定要算做有效數(shù)字的位數(shù)。如0.0135m 是三位有效數(shù)字，0.0135m 和1.35cm 及13.5mm 三者是等效的，只不過是分別采用了米、厘米和毫米作為長度的表示單位；1.030m 是四位有效數(shù)字。從有效數(shù)字的另一面也可以看出測量用具的最小刻度值，如0.0135m 是用最小刻度為毫米的尺子測量的，而1.030m 是用最小刻度為厘米的尺子測量的。因此，正確掌握有效數(shù)字的概念對物理實(shí)驗(yàn)來說是十分必要的。二、直接測量的有效數(shù)字記錄物理實(shí)驗(yàn)中通常儀器上顯示的數(shù)字均

51、為有效數(shù)字(包括最后一位估計讀數(shù))都應(yīng)讀出，并記錄下來。儀器上顯示的最后一位數(shù)字是0 時，此0 也要讀出并記錄。對于有分度式的儀表，讀數(shù)要根據(jù)人眼的分辨能力讀到最小分度的十分之幾。在記錄直接測量的有效數(shù)字時，常用一種稱為標(biāo)準(zhǔn)式的寫法，就是任何數(shù)值都只寫出有效數(shù)字，而數(shù)量級則用10 的n 次冪的形式去表示。1. 根據(jù)有效數(shù)字的規(guī)定，測量值的最末一位一定是欠準(zhǔn)確數(shù)字，這一位應(yīng)與儀器誤大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)·20 ·差的位數(shù)對齊，儀器誤差在哪一位發(fā)生，測量數(shù)據(jù)的欠準(zhǔn)位就記錄到哪一位，不能多記，也不能少記，即使估計數(shù)字是0，也必須寫上，否則與有效數(shù)字的規(guī)定不相符。例如，用米尺測量物體長為52

52、.4 mm 與52.40 mm 是不同的兩個測量值，也是屬于不同儀器測量的兩個值，誤差也不相同，不能將它們等同看待，從這兩個值可以看出測量前者的儀器精密度低，測量后者的儀器精密度高出一個數(shù)量級。2. 根據(jù)有效數(shù)字的規(guī)定，凡是儀器上讀出的數(shù)值，有效數(shù)字中間與末尾的0，均應(yīng)算作有效位數(shù)。例如，6.003 cm，4.100 cm 均是四位有效數(shù)字；在記錄數(shù)據(jù)中，有時因定位需要，而在小數(shù)點(diǎn)后添加0，這不應(yīng)算作有效位數(shù)，如0.0486 m 是三位有效數(shù)字而不是四位有效數(shù)字，有效數(shù)字中的0 有時算做有效數(shù)字，有時不能算做有效數(shù)字，這對初學(xué)者也是一個難點(diǎn)。3. 根據(jù)有效數(shù)字的規(guī)定，在十進(jìn)制單位換算中，其測量

53、數(shù)據(jù)的有效位數(shù)不變，如4.51cm 若以米或毫米為單位，可以表示成0.0451m 或，這兩個數(shù)仍然是三位有效數(shù)字。為了避免單位換算中位數(shù)很多時寫一長串，或計數(shù)時出現(xiàn)錯位，常采用科學(xué)表達(dá)式，通常是在小數(shù)點(diǎn)前保留一位整數(shù)，用10n 表示，如×102m，×104cm 等，這樣既簡單明了，又便于計算和確定有效數(shù)字的位數(shù)。4. 根據(jù)有效數(shù)字的規(guī)定對有效數(shù)字進(jìn)行記錄時，直接測量結(jié)果的有效位數(shù)的多少，取決于被測物本身的大小和所使用的儀器精度，對同一個被測物，高精度的儀器，測量的有效位數(shù)多，低精度的儀器，測量的有效位數(shù)少。例如，長度約為3.7cm 的物體，若用最小分度值為1mm 的米尺測量，其數(shù)據(jù)為，若用螺旋測微器測量(最小分度值為0.01mm )，其測量值為，顯然螺旋測微器的精度較米尺高很多，所以測量結(jié)果的位數(shù)也多；被測物是較小的物體，測量結(jié)果的有效位數(shù)也少。對一個實(shí)際測量值，正確應(yīng)用有效數(shù)字的規(guī)定進(jìn)行記錄，就可以從測量值的有效數(shù)字記錄中看出測量儀器的精度。因此，有效數(shù)字的記錄位數(shù)和測量儀器有關(guān)。三、有效數(shù)字的運(yùn)算法則在進(jìn)行有效數(shù)字計算時，參加運(yùn)算的分量可能很多。各分量數(shù)值的大小及有效數(shù)字的位數(shù)也不相同，而且在運(yùn)算過程中，有效數(shù)字的位數(shù)會越乘越多，除不盡時有效數(shù)字的位數(shù)也無止境。即