實變函數(shù)試題庫(五)及參考答案

1、實變函數(shù)試題庫及參考答案(5)本科、填空題1 .設(shè)A,B為集合，則AUB(BA)UA2 .設(shè)ERn,如果E滿足E0E(其中E0表示E的內(nèi)部)，則E是3 .設(shè)G為直線上的開集，若開區(qū)間(a,b)滿足(a,b)G且aG,bG,則(a,b)必為G的4 .設(shè)Ax|x2n,n為自然數(shù)，則A的基數(shù)a(其中a表示自然數(shù)集N的基數(shù))5 .設(shè)A,B為可測集，BA且mB，則mAmB_m(AB)6 .設(shè)f(x)是可測集E上的可測函數(shù)，則對任意實數(shù)a,b(ab),都有Exaf(x)b是7 .若E(R)是可數(shù)集，則mE_08 .設(shè)fn(x)為可測集E上的可測函數(shù)列，f(x)為E上的可測函數(shù)，如果a.efn(x)f(x)

2、(xE),則fn(x)f(x)xE(是否成立)二、選擇題1、設(shè)E是R1中的可測集，(x)是E上的簡單函數(shù)，則()(A) (x)是E上的連續(xù)函數(shù)(B) (x)是E上的單調(diào)函數(shù)(C)(x)在E上一定不L可積2.下列集合關(guān)系成立的是()(A) AI (BUC) (AI B) U(AI C)(C) (B A)I A3.若ERn是閉集，則 ()(A) E0 E(B) E E(x)是E上的可測函數(shù)(B) (A B)I A(D) AU B AI B(C) E E(D) E E三、多項選擇題(每題至少有兩個以上的正確答案)1 .設(shè)E0,1中的有理點，則()(A)E是可數(shù)集(B)E是閉集(C)mE0(D)E中的

3、每一點均為E的內(nèi)點2.若E(R)的外測度為0,則()(A)E是可測集(B)mE0(C)E一定是可數(shù)集(D)E一定不是可數(shù)集3 .設(shè)mE,fn(x)為E上幾乎處處有限的可測函數(shù)列，f(x)為E上幾乎處處有限的可測函數(shù)，如果fn(x)f(x),(xE),則下列哪些結(jié)果不一定成立()(A)Ef(x)dx存在(B)f(x)在E上L-可積a.e(C)fn(x)f(x)(xE)(D)limfn(x)dxf(x)dxnEE4 .若可測集E上的可測函數(shù)f(x)在E上有L積分值，則()(A) f(x)L(E)與f(x)L(E)至少有一個成立(B) f(x)L(E)且f(x)L(E)(C) |f(x)|在E上也有

4、L-積分值(D) |f(x)|L(E)四、判斷題1 .可列個開集的交集仍為開集2 .任何無限集均是可列集3 .設(shè)E為可測集，則一定存在F集F,使FE,且mEF0.4 .設(shè)E為零測集，則fx為E上的可測函數(shù)的充要條件是：實數(shù)a都有Ex|f(x)a是可測集()五、定義題1 .可測函數(shù)列幾乎處處收斂、依測度收斂和近一致收斂的關(guān)系？2 .可測集E上的可測函數(shù)與連續(xù)函數(shù)有什么關(guān)系?3 .a,b上的絕對連續(xù)函數(shù)與有界變差函數(shù)有什么關(guān)系?六、計算題1.設(shè)Dxx為0,1上的有理點x為01上的無理點，求Dxdx.0,1lnxnx2.求limecosxdx.n0七、證明題n*1.設(shè)ER是有界集，則mE1_2.R上

5、的實值連續(xù)函數(shù)f(x)是可測函數(shù)3.設(shè)mE，函數(shù)f(x)在E上有界可測，則f(x)在E上L可積,續(xù)函數(shù)是L可積的從而a,b上的連4.設(shè)fn(x)(n1,2,L)是£上的L可積函數(shù)，如果lim|fn(x)|dxnEn'0,則fn(x)0實變函數(shù)試題庫及參考答案（2）本科一、填空題1.=2.開集3.構(gòu)成區(qū)間4尸5.=6.可測集7尸8.不一定成立二、單選題1.D2.A3.B三、多選題1.AC2.AB3.ABCD4.AD四、判斷題xxVV五、定義題1 .答：設(shè)fnx,fx是可測集E上的一列可測函數(shù)，那當(dāng)mE時，fnxfx,a.e于E,必有fnxfx.反之不成立，但不論mE還是mE,f

6、nx存在子列fnkx，使fnkxfx,a.e于E.當(dāng)mE時，fnxfx,a.e于E,由Egoroff定理可得fnx近一致收斂于fx,反之，無需條件mE,結(jié)論也成立.2 .答：E上連續(xù)函數(shù)必為可測函數(shù)但E上的可測函數(shù)不一定時連續(xù)函數(shù)，E上可測函數(shù)在E上是“基本上”連續(xù)的函數(shù)3 .答：絕對連續(xù)函數(shù)必為有界變差函數(shù)但有界變差函數(shù)不一定為絕對連續(xù)函數(shù)六、解答題1.證明記Ei是0,1中有理數(shù)集，E2是0,1中無理數(shù)集，則0,1E1 UE2, E1 I E2,mE10,mE21,且Dx1E0所以Dxdx1mE10mE20.0,12.解易知limn對任意x 0, nInxnxecosxnIn x y32,y

7、Inxnn5Inxy設(shè)f(y),y0,則f(y)y當(dāng)y 3時,1 ln x y , f (y) 0.xy-lnxn.一，一則f(n)是單調(diào)減函數(shù)且非負(n3)；又limnln x nlimn0 ,由Levi單調(diào)收斂定理得limnln x n dxnlimnln x n dx0 0dx °，即ln x n L(E),再由Lebsgue控制收斂定理得limnln x n x e cos xdx0 nln lim nx cosxdx0 0dx 0n七、證明題1.證明因為E是有界集，所以存在開區(qū)間I,使EI*.由外測度的單調(diào)性，mEmI,而mI|I|(其中11|表示區(qū)間I的體積)，*所以mE2.證明因為f(x)連續(xù)，所以對任何實數(shù) a, x| f(x)a是開集，而開集為可測集，因此f(x)是可測函數(shù)3 .證明因為f(x)在E上有界可測，所以存在M0,使|f(x)|M,xE,|f(x)|是非負可測函數(shù)，由非負可測函數(shù)的積分單調(diào)性，Jf(x)|dxEMdxMmE故|f(x)|在E上L可積，從而f(x)在E上L可積因為a,