第3講 兩個(gè)重要極限、連續(xù)函數(shù)

1、AC面積面積面積面積扇形扇形的面積的面積AOCAOBOAB (1)1sinlim0 xxx)20(, xxAOBO 圓心角圓心角設(shè)單位圓設(shè)單位圓,tan,sinACxBDx 于是有于是有xoBD.ACO ，得，得作單位圓的切線作單位圓的切線,xOAB的圓心角為的圓心角為扇形扇形,BDOAB的高為的高為 xxxtan2121sin21 有有,tansinxxx , 1sincos xxx即即, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxxxxx4sinlim0求極限求極限. 1sinlim0 xxx444sin1lim0 xxx原式原式xxx44sinlim1410

2、4 41 xxx3sin2tanlim0 xxxsinlimxxxxxxxx333sin22cos122sinlim0 原式原式1)sin(lim xxx原式原式xxxxxxxx33sinlim2cos1lim22sinlim32000 32 例例4 4.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 (2)exxx )11(limnnnx)11( 設(shè)設(shè) 21! 2)1(1! 11nnnnn).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1(

3、)1( ).11()121)(111()!1(1)111()121)(111(!1)111(! 21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 顯然顯然 ;是單調(diào)遞增的是單調(diào)遞增的nx!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ennn )11(lim記為記為)71828. 2( e,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x, 1 xxx有有,)11()11()111(1 xxxxxx)11(lim)11(lim)11(lim1xxxxxxxx 而而, e 11)111(lim)111(lim)111(lim xxxxxxxx, e .)11(lime

4、xxx , xt 令令ttxxtx )11(lim)11(limttt)111(lim )111()111(lim1 tttt. e exxx )11(lim,1xt 令令ttxxtx)11(lim)1(lim10 . e exxx 10)1(lim例例5 5.)11(limxxx 求求解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e 例例6 6.)3-1(lim120 xxx求求解解6063101)6(310)31(lim)3-1(lim)3-1(lim exxxxxxxx原式原式exxx )11(limexxx 10)1(lim 121)2(lim. 2 xxx求極限求極

5、限xxx10)21(lim. 1 求極限求極限22210221010)21(lim)21(lim)21(lim. 1exxxxxxxxx 22111121)1(1lim)2(lim. 2exxxxxx exxx )11(limexxx 10)1(lim2)1(lim. 3 xxxk求極限求極限kxkkxxkkxxexkxkxk 22)1(lim)1(lim)1(lim. 3兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限 . 1sinlim0 xxxexxx )11(limexxx 10)1(lim._3cotlim20 xxx、._sinlim10 xxx 、._2sinlim3 xxx、練練 習(xí)習(xí) 題題._)1(

6、lim42 xxxx、3102e 問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出(Introduction)0T(時(shí)間）時(shí)間）溫度溫度C41424一天的氣溫是連續(xù)地變化著，體現(xiàn)函數(shù)的連續(xù)性一天的氣溫是連續(xù)地變化著，體現(xiàn)函數(shù)的連續(xù)性1.6.1 函數(shù)的增量函數(shù)的增量.)()()()()(0010011010點(diǎn)點(diǎn)的的增增量量數(shù)數(shù)在在為為函函函函數(shù)數(shù)值值的的差差點(diǎn)點(diǎn)的的增增量量為為自自變變量量在在則則稱(chēng)稱(chēng)自自變變量量差差變變到到相相應(yīng)應(yīng)的的函函數(shù)數(shù)值值從從時(shí)時(shí)變變到到終終值值從從初初值值若若自自變變量量函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)定定義義xxxfxfy，xxxx，xfxf，xxx，xfy xy00 x1x)(xfy x y 例例1 1。xxy

7、處的增量處的增量在在求函數(shù)求函數(shù)12 xx，x一增量一增量給給處處在在1 222)(21)1()1()1(xxxfxfy 解解xy02xy y x00的極限為的極限為時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)y，x 例例2 2解解。xx時(shí)的增量時(shí)的增量處處求函數(shù)在求函數(shù)在01 1111xxxxyxxfxfy 2111)1()1()1(，x時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0 xy000的極限不為的極限不為時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)y，x 定定 義義 1 1 設(shè)設(shè) 函函 數(shù)數(shù))( xf在在 x x0 0的的 鄰鄰 域域 內(nèi)內(nèi) 有有 定定 義義 , ,如如 果果 當(dāng)當(dāng) 自自 變變 量量 的的 增增 量量x 趨趨 向向 于于 零零 時(shí)時(shí) , ,對(duì)對(duì) 應(yīng)應(yīng) 的的函函 數(shù)數(shù) 的的

8、 增增 量量y 也也 趨趨 向向 于于 零零 , ,即即0lim0 yx 或或 0)()(lim000 xfxxfx, ,那那 末末 就就 稱(chēng)稱(chēng) 函函 數(shù)數(shù))( xf在在 點(diǎn)點(diǎn)0 x連連 續(xù)續(xù) , ,0 x稱(chēng)稱(chēng) 為為)( xf的的 連連 續(xù)續(xù) 點(diǎn)點(diǎn) . . ,0 xxx 設(shè)設(shè)),()(0 xfxfy ,00 xxx 就是就是).()(00 xfxfy 就是就是1.6.2 函數(shù)的連續(xù)與間斷函數(shù)的連續(xù)與間斷即即必必須須同同時(shí)時(shí)滿(mǎn)滿(mǎn)足足三三個(gè)個(gè)條條件件處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù)看看出出由由定定義義，xxxfy，0)(2 。xxxfyxxxfyxxxfy處處極極限限值值等等于于函函數(shù)數(shù)值值在在處處有有極

9、極限限在在處處有有定定義義在在000)()3(;)()2(;)()1( 例例3 3.0, 0, 0, 0,1sin)(處連續(xù)處連續(xù)在在試證函數(shù)試證函數(shù) xxxxxxf證證, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定義由定義2知知.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf),0()(lim0fxfx 單側(cè)連續(xù)單側(cè)連續(xù);)(),()(lim,()(0000處處左左連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)則則稱(chēng)稱(chēng)且且內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在若若函函數(shù)數(shù)xxfxfxfxaxfxx 定理定理.)()(00處既左連續(xù)又右連續(xù)處既左連續(xù)又右連續(xù)在在是函數(shù)是函數(shù)處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)xxfxxf.)(),()(lim,),)(

10、0000處處右右連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)則則稱(chēng)稱(chēng)且且內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在若若函函數(shù)數(shù)xxfxfxfbxxfxx )lim()()(lim000 xfxfxfxxxx ，x，連續(xù)時(shí)連續(xù)時(shí)在在這表示這表示0。以以交交換換順順序序極極限限符符號(hào)號(hào)與與函函數(shù)數(shù)符符號(hào)號(hào)可可例例4 4.0, 0, 2, 0, 2)(連續(xù)性連續(xù)性處的處的在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右連續(xù)但不左連續(xù)右連續(xù)但不左連續(xù) ,.0)(處不連續(xù)處不連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)故函數(shù)故函數(shù) xxf連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間.,)(,

11、),()(上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間則則稱(chēng)稱(chēng)函函數(shù)數(shù)處處左左連連續(xù)續(xù)在在右右端端點(diǎn)點(diǎn)處處右右連連續(xù)續(xù)并并且且在在左左端端點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)間間如如果果函函數(shù)數(shù)baxfybxaxbaxfy 連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.),()(,),()(內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)間間則則稱(chēng)稱(chēng)函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)每每一一點(diǎn)點(diǎn)都都連連續(xù)續(xù)在在開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)間間如如果果函函數(shù)數(shù)baxfybaxfy :)(0條件條件處連續(xù)必須滿(mǎn)足的三個(gè)處連續(xù)必須滿(mǎn)足的三個(gè)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)xxf;)()1(0處處有有定定義義在在點(diǎn)點(diǎn)xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim

12、)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或或間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)的的不不連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)為為并并稱(chēng)稱(chēng)點(diǎn)點(diǎn)或或間間斷斷處處不不連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)則則稱(chēng)稱(chēng)要要有有一一個(gè)個(gè)不不滿(mǎn)滿(mǎn)足足如如果果上上述述三三個(gè)個(gè)條條件件中中只只xfxxxf(1)第一類(lèi)間斷點(diǎn)第一類(lèi)間斷點(diǎn).,稱(chēng)稱(chēng)為為第第一一類(lèi)類(lèi)間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)右右極極限限都都存存在在的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)左左例例5 5.0, 0,1, 0,)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解),00()00( ff.0為函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn)為函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn) xoxy, 0)(lim-0 xfx1)(lim0 xfx(2)可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn).為可去

13、間斷點(diǎn)為可去間斷點(diǎn)極限相等的間斷點(diǎn)，稱(chēng)極限相等的間斷點(diǎn)，稱(chēng)第一類(lèi)間斷點(diǎn)中，左右第一類(lèi)間斷點(diǎn)中，左右例例6 6.1, 1,11, 10, 1,2)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 解解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f .0為函數(shù)的可去間斷點(diǎn)為函數(shù)的可去間斷點(diǎn) x注意注意 可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義數(shù)的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn)則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).如例如例6中中, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(處連續(xù)處連續(xù)在在則則 xxxxxx

14、f跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為第一類(lèi)間斷點(diǎn)第一類(lèi)間斷點(diǎn). .特點(diǎn)特點(diǎn).0處處的的左左、右右極極限限都都存存在在函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn) xoxy112(3)第二類(lèi)間斷點(diǎn)第二類(lèi)間斷點(diǎn).)(,)(00的第二類(lèi)間斷點(diǎn)的第二類(lèi)間斷點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)則稱(chēng)點(diǎn)則稱(chēng)點(diǎn)在在右極限至少有一個(gè)不存右極限至少有一個(gè)不存處的左、處的左、在點(diǎn)在點(diǎn)如果如果xfxxxf例例7 7.0, 0, 0,1)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解oxy.1為為函函數(shù)數(shù)的的第第二二類(lèi)類(lèi)間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) x.斷點(diǎn)斷點(diǎn)這種情況稱(chēng)為無(wú)窮間這種情況稱(chēng)為無(wú)窮間, 0)(lim-0 xfx )(lim0 xfx

15、例例8 8.01sin)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf解解xy1sin ,0處沒(méi)有定義處沒(méi)有定義在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0為第二類(lèi)間斷點(diǎn)為第二類(lèi)間斷點(diǎn) x.斷點(diǎn)斷點(diǎn)這種情況稱(chēng)為的振蕩間這種情況稱(chēng)為的振蕩間例例9 9.0, 0, 0,cos)(,處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)取何值時(shí)取何值時(shí)當(dāng)當(dāng) xxxaxxxfa解解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af ),0()00()00(fff 要使要使,1時(shí)時(shí)故當(dāng)且僅當(dāng)故當(dāng)且僅當(dāng) a.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf, 1 a1.函數(shù)在一

16、點(diǎn)連續(xù)必須滿(mǎn)足的三個(gè)條件函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿(mǎn)足的三個(gè)條件;3.間斷點(diǎn)的分類(lèi)與判別間斷點(diǎn)的分類(lèi)與判別;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);第一類(lèi)間斷點(diǎn)第一類(lèi)間斷點(diǎn): 左右極限都存在，左右極限都存在， 如：可去型如：可去型,跳躍型跳躍型.第二類(lèi)間斷點(diǎn)第二類(lèi)間斷點(diǎn): 左右極限至少有一個(gè)不存在左右極限至少有一個(gè)不存在 如如 無(wú)窮型無(wú)窮型,振蕩型振蕩型.間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)定理定理1 1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000處也連續(xù)處也連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則則處連續(xù)處連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)若函數(shù)若函數(shù)xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如,),(cos,sin內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在xx.csc,sec,

17、cot,tan在其定義域內(nèi)連續(xù)在其定義域內(nèi)連續(xù)故故xxxx1.6.3 初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性定理定理.)(,)()()(0000處也連續(xù)處也連續(xù)在在則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)處連續(xù)處連續(xù)在相應(yīng)的在相應(yīng)的函數(shù)函數(shù)處連續(xù)處連續(xù)在在若函數(shù)若函數(shù)xxxgfyxguufy，xxxgu )()(lim)()(;)()(lim)(000000000ufuf，xguufyu，uxx，xgxg，xxxguuuxx 得到得到處連續(xù)處連續(xù)在在又由又由時(shí)時(shí)也可記作也可記作得到得到處連續(xù)處連續(xù)在在由由)()()(lim)(lim0000 xgfufufxgfuuxx 。xxxgfy處也連續(xù)處也連續(xù)在在故故0)( 例

18、例1010.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原式原式)1(limln10 xxx eln 解解)(lim)()(lim2000 xgfxgfxgf，xxxx 可知可知由定理由定理。，可以變換可以變換極限與復(fù)合步驟的順序極限與復(fù)合步驟的順序這表明這表明一切初等函數(shù)在其有定義的區(qū)間上都是連續(xù)的一切初等函數(shù)在其有定義的區(qū)間上都是連續(xù)的. .)()()(lim000定定義義區(qū)區(qū)間間 xxfxfxx例例1111.1coslim0 xxe求求11cos0 e原原式式例例1212.13lim423 xxx求求解解解解01)3(3)3(lim13lim423423 xxxx閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一定有最大值、最小值閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一定有最大值、最小值.)()(,11xffba )()(,22xffba ab1 2 上上連連續(xù)續(xù)，如如圖圖：在在區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù),)(baxf1.6.4 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理定理3(3(最值定理最值定理) )定理定理4(4(介值定理介值定理) ).)(),()()()()(,)(Ccf，bacC，b、faf，bfaf，baxf 使使之間的任意數(shù)之間的任意數(shù)則對(duì)于則對(duì)于且且上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間若函數(shù)若函數(shù)該定