第3章0102歐拉方法

1、微分方程微分方程: 包含自變量、未知函數(shù)及未知函數(shù)的包含自變量、未知函數(shù)及未知函數(shù)的導數(shù)導數(shù)或微分或微分的方程的方程常微分方程常微分方程: 未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程偏微分方程偏微分方程: :未知函數(shù)為多元函數(shù)未知函數(shù)為多元函數(shù), ,從而含有多元函從而含有多元函數(shù)偏導數(shù)的微分方程數(shù)偏導數(shù)的微分方程一階常微分方程一階常微分方程: 微分方程中各階導數(shù)的最高階數(shù)為微分方程中各階導數(shù)的最高階數(shù)為一階的一階的定解條件：定解條件：初值問題初值問題-給出積分曲線在初始時給出積分曲線在初始時刻的狀態(tài)刻的狀態(tài)邊值問題邊值問題-給出積分曲線在首末兩給出積分曲線在首末兩端的狀態(tài)端的狀態(tài)

2、 00)(,),(yxybaxyxfy定理：常微分方程初值問題定理：常微分方程初值問題設設x0a,b, f(x,y)對對 x 連續(xù)且關于連續(xù)且關于y滿足滿足李普希茲李普希茲條件條件，則上述初值問題在，則上述初值問題在a,b上有唯一解。上有唯一解。李普希茲李普希茲(Lipshitz)條件：條件： 存在常數(shù)存在常數(shù)L, ,使使2121),(),(yyLyxfyxf 對所有對所有xa,b及任何實數(shù)及任何實數(shù)y1、y2均成立。均成立。 00)(,),(yxybaxyxfy數(shù)值解法數(shù)值解法定解問題定解問題: :數(shù)值解法：數(shù)值解法： 給定點給定點a=x0 x1xn=b, , 將初值問題將初值問題離散化離散

3、化為差分方程為差分方程, ,求出解函數(shù)求出解函數(shù)( (積分曲線積分曲線) ) y(x) 在這些點的近似在這些點的近似值值y1 ,y2 ,yn 。所求得的所求得的近似值近似值 y1 ,y2 ,yn 稱為微分方程的稱為微分方程的數(shù)值解數(shù)值解。00( , )()dyf x ydxy xy一階常微分方程初值問題一階常微分方程初值問題 00( , )()dyf x ydxy xy 的數(shù)值解法。的數(shù)值解法。 基本思想：基本思想：常微分方程初值問題的數(shù)值解是求微分方程常微分方程初值問題的數(shù)值解是求微分方程的解的解( )y x（即微分方程初值問題的積分曲線） ， 在區(qū)間（即微分方程初值問題的積分曲線） ， 在

4、區(qū)間 , a b中中給定一系列點（節(jié)點）給定一系列點（節(jié)點）1nnnxxh（1,2,n ）上的近似）上的近似值值ny。這里。這里nh為為1nx到到nx的步長，且的步長，且0nh 。 差分方法差分方法(差分格式差分格式)3.1 3.1 歐拉方法歐拉方法3.1.1 3.1.1 歐拉歐拉(Euler)格式格式一階常微分方程一階常微分方程 00( , )()yf x yy xy 的解的解( )yy x是通過點是通過點00(,)xy的一條曲線的一條曲線( )yy x，稱之為微分，稱之為微分方程的積分曲線。積分曲線上每一點方程的積分曲線。積分曲線上每一點( , )x y的切線斜率的切線斜率( )y x等于

5、等于函數(shù)函數(shù)( , )f x y在這點的值。在這點的值。 1 1 幾何推導幾何推導 從初始點從初始點000(,)P xy出發(fā)，做切線出發(fā)，做切線0()y x，與，與1xx交于交于111( ,)P x y點，用點，用1y作為曲線作為曲線( )y x上的點上的點11( , ( )x y x的縱的縱坐標坐標1()y x的近似值。 再從的近似值。 再從1P做切線做切線1( )y x， 與， 與2xx交于交于222(,)P xy點，用點，用2y作為曲線作為曲線( )y x上的點上的點22(, ()xy x的縱坐標的縱坐標2()y x的近似的近似值。這樣下去便可作出一條折線值。這樣下去便可作出一條折線01

6、2P PP 。設已作。設已作出折線的頂點出折線的頂點為為nP，再從，再從nP做切線做切線()ny x，推進到，推進到111(,)nnnPxy。 過過00(,)xy做以做以000()(,)y xf xy為切線斜率的方程為切線斜率的方程 0000(,)()yyf xyxx 當當1xx時，得時，得100010(,)()yyf xyxx，取，取11()y xy。 過過11(,)x y做以做以111( )( ,)y xf x y為切線斜率的方程為切線斜率的方程 1111( ,)()yyf x yxx 當當2xx時，得時，得211121( ,)()yyf x yxx，取，取22()y xy。 一般地，過一

7、般地，過(,)nnxy做以做以()(,)nnny xf xy為切線斜率的方程為切線斜率的方程 (,)()nnnnyyf xyxx 當當1nxx時，得時，得11(,)()nnnnnnyyf xyxx，取，取1()nny xy。 從從0 x出發(fā)逐個算出出發(fā)逐個算出12,nx xx，對應的數(shù)值解，對應的數(shù)值解12,ny yy。 一般取一般取1nnxxh，得歐拉公式，得歐拉公式 1(,)nnnnyyhf xy 歐拉公式的幾何意義歐拉公式的幾何意義 用一條初始點重合的折線， 來近似表用一條初始點重合的折線， 來近似表示微分方程的解（積分曲線）示微分方程的解（積分曲線）( )yy x。 2 2 歐拉法的數(shù)

8、學推導歐拉法的數(shù)學推導 泰勒展開法泰勒展開法 將將1()ny x在在nx處做泰勒展開處做泰勒展開 21()()()()()2!nnnnnhy xy xhy xhy xy 當當h充分小時，忽略高次項得充分小時，忽略高次項得 22()()2!nhyO h 因此，有歐拉公式因此，有歐拉公式 1(,)nnnnyyhf xy 3 歐拉法歐拉法數(shù)值微分推導數(shù)值微分推導 用用向前差商向前差商代替導數(shù)代替導數(shù) nxxxx,210 設設 等距，步長等距，步長1,0,1,nnhxxn yxfhxyxyhxyhxyhxyhxyxy,)()()( 令令x=xn , x+h=xn+1 , y(xn)yn ，y(xn+1

9、 ) yn+1 ,初值問題離散化為初值問題離散化為 00)(),(yxyyxfy初值問題初值問題100(,) ,0,1,2,()nnnnyyh f xyny xy(歐拉公式歐拉公式) 4 4 歐拉法的數(shù)值積分推導歐拉法的數(shù)值積分推導 將方程將方程( )( , )y xf x y兩端從兩端從nx到到1nx積分，有積分，有 11( )d( , ( )dnnnnxxxxy xxf x y xx 11()()( , ( )dnnxnnxy xy xf x y xx 算出積分項，可得算出積分項，可得1()ny x。利用。利用左矩形公式左矩形公式 1( , ( )d( , ( )nnxxf x y xxh

10、f x y x 代入，并離散化，有歐拉公式代入，并離散化，有歐拉公式 1(,)nnnnyyhf xy 例例 用歐拉方法解初值問題用歐拉方法解初值問題2(0)1xyyyy 其中其中0,1x。 解解 歐拉公式歐拉公式12(,)()nnnnnnnnxyyhf xyyh yy 0,1x，取步長，取步長 h=0.1，有，有 n=0 x0=0 0100022 0()10.1(1)1.11xyyh yy ， 1n12111220.1()1.10.1(1.1)1.19181.1xyyh yy1 . 01x 局部截斷誤差和階：局部截斷誤差和階：數(shù)值公式的精度數(shù)值公式的精度 定義定義 局部截斷誤差：假設第局部截斷

11、誤差：假設第n步是準確的，即步是準確的，即y(xn )=yn， 將將 y(xn+1 ) - yn+1 定義為數(shù)值方法的局部截定義為數(shù)值方法的局部截斷誤差斷誤差。 由于實際上由于實際上yn不是準確值，因此它的誤差會傳播不是準確值，因此它的誤差會傳播下去。實際計算時，每一步都可能產(chǎn)生舍入誤差。下去。實際計算時，每一步都可能產(chǎn)生舍入誤差。 定義定義 若局部截斷誤差為若局部截斷誤差為O(hp+1), p為正整數(shù)，則為正整數(shù)，則稱數(shù)值公式是稱數(shù)值公式是p階階公式公式, , 精度是精度是p階。階。 局部截斷誤差的局部截斷誤差的主項系數(shù)：主項系數(shù)： 若局部截斷誤差的主項可以表示為若局部截斷誤差的主項可以表示

12、為則稱該格式是則稱該格式是p階階的，系數(shù)的，系數(shù)C稱為局部截斷誤差的稱為局部截斷誤差的主項系數(shù)主項系數(shù)。 )()()!1(1)1(1pnpphOxyphCR 歐拉公式的截斷誤差是歐拉公式的截斷誤差是O(h2)，公式是公式是1 階階的，局部截斷誤差的主項系數(shù)為的，局部截斷誤差的主項系數(shù)為1。1(,)()()nnnnnnyyh f xyy xh y x211()() () ( )2nnny xy xyxhyh二階泰勒公式二階泰勒公式 兩式相減，由設兩式相減，由設 yn=y(xn ) ，有，有 22112nnhy xyyO h歐拉公式的局部截斷誤差和階歐拉公式的局部截斷誤差和階取步長取步長2 . 0

13、h，用歐拉法解初值問題，用歐拉法解初值問題1)0(2yxyyy其中其中6 . 0 , 0 x。 解解 用歐拉法求解公式，得用歐拉法求解公式，得 )(),(21nnnnnnnnyxyhyyxhfyy 取步長取步長h h=0.2=0.2 時，時，6 . 0 , 0 x，有，有 n=0 221000010.2( 10 1 )0.8yyhyx y 1n 22211110.80.20.80.2 0.80.6144yyhyx y 2n 22322220.61440.20.61440.40.61440.461321yyhyx y隱式（后退）歐拉公式：隱式（后退）歐拉公式： 取取1()ny x的的向后差商向后

14、差商 111() ()()nnny xy xy xh 替代替代111()(,)nnny xf xy中的導數(shù)項，并離散化，則有隱式歐拉中的導數(shù)項，并離散化，則有隱式歐拉公式有公式有 111(,)nnnnyyhf xy 隱式歐拉公式的局部截斷誤差：隱式歐拉公式的局部截斷誤差： 假設假設()nnyy x，則，則 211()()2nnnhy xyyx = =O(h2) 隱式歐拉公式與顯式歐拉公式的隱式歐拉公式與顯式歐拉公式的精度精度相當，都是相當，都是一階一階方法。方法。 3.1.2 隱式歐拉格式隱式歐拉格式為 了 提 高 精 度 ， 改 用為 了 提 高 精 度 ， 改 用 中 心 差 商中 心 差

15、 商 111 ()()2nny xy xh 替 代替 代()(,)nnny xf xy中的導數(shù)項，并離散化，有中的導數(shù)項，并離散化，有兩步歐拉公式兩步歐拉公式 112(,)nnnnyyhf xy 兩步歐拉公式是兩步法，要用兩步歐拉公式是兩步法，要用前兩步前兩步的值。的值。 兩步歐拉公式的兩步歐拉公式的局部截斷誤差局部截斷誤差: : 231()()()()()( )2!3!nnnnnhhy xy xhy xhy xy xy 231()()()()()( )2!3!nnnnnhhy xy xhy xhy xy xy 上二式相減，可得上二式相減，可得 3.1.3 兩步歐拉格式兩步歐拉格式311()(

16、)2()( )3nnnhy xy xhy xy 311()()2()( )3nnnhy xy xhy xy 設設()nnyy x，11()nnyy x前兩步準確。則上式成為前兩步準確。則上式成為 311()2(,)( )3nnnnhy xyhf xyy 與與 112(,)nnnnyyhf xy 相比較，因此，有相比較，因此，有 兩步歐拉公式的局部截斷誤差是兩步歐拉公式的局部截斷誤差是3()O h，是，是二階方法二階方法。 3.2 3.2 改進的歐拉方法改進的歐拉方法對微分方程對微分方程y=f(x,y) 兩邊求兩邊求xn到到xn+1 的定積分，有的定積分，有11()()( , ( )dnnxnn

17、xy xy xf x y xx選用不同的方法計算積分，就會得到不同的差分格式選用不同的方法計算積分，就會得到不同的差分格式. 1111( , ( )d (, ()(, ()2nnxnnnnnnxxxf x y xxf xy xf xy x將將y(xn ) 、y(xn+1 )分別用分別用yn、yn+1 代替，構(gòu)造數(shù)值公式代替，構(gòu)造數(shù)值公式11100 (,)(,) ,0,1,2,2()nnnnnnhyyf xyf xynyy x3.2.1. 梯形格式梯形格式利用利用梯形公式梯形公式計算積分，有計算積分，有 梯形梯形格格式式 111(,)(,)2nnnnnnhyyf xyf xy 梯形公式是梯形公式

18、是顯式顯式歐拉公式與歐拉公式與隱式隱式歐歐拉公式的拉公式的算術平均算術平均，也是，也是隱式公式隱式公式。 3.2.2 3.2.2 改進的歐拉格式改進的歐拉格式 歐拉方法歐拉方法 ，顯式，計算量小，精度低。，顯式，計算量小，精度低。梯形方法梯形方法 是隱式公式是隱式公式 , ,計算量大，精度高。計算量大，精度高。 實際計算時，將二者綜合之，先用歐拉公式計算出實際計算時，將二者綜合之，先用歐拉公式計算出yn+1作作為初始值為初始值, ,初始值精度不高，取作初始值精度不高，取作預報值預報值，代入梯形公式，代入梯形公式，得到得到校正值校正值yn+1。寫成寫成預報預報- -校正公式校正公式 1111(,

19、) (,)(,)2nnnnnnnnnnyyh f xyhyyf xyf xy1(,)nnnnyyh f xy111 (,)(,)2nnnnnnhyyf xyf xy預報預報- -校正公式校正公式又常常寫成一步嵌套顯式形式又常常寫成一步嵌套顯式形式 或?qū)懗善骄问交驅(qū)懗善骄问?1 (,)(,(,)2nnnnnnnnhyyf xyf xyh f xy11(,)(,)1()2pnnncnnpnpcyyh f xyyyh f xyyyy預報預報- -校正公式的局部截斷誤差校正公式的局部截斷誤差 y(xn+1)- yn+1=O(h3)1111(,) (,)(,)2nnnnnnnnnnyyh f x

20、yhyyf xyf xy 32,21,hOyxfyxfyxfhyxfhyiiiiyiixiii 預報預報- -校正公式的局部截斷校正公式的局部截斷誤差誤差假設假設 yi=y(xi), 解函數(shù)在解函數(shù)在x=xi處的處的泰勒公式泰勒公式為為 32121hOhxyhxyxyxyiiii hyi 1),(),(2111 iiiiiiyxfyxfhyy在改進的歐拉公式中，在改進的歐拉公式中， ),(),(2hhxfyxfhyhiiii 設設則有則有求出在求出在h=0處的泰勒公式，整理后得處的泰勒公式，整理后得 00,021,032 hOyxfyxfhyxfhiiyiixii iy 0 上式上式h 和和h2 項的乘數(shù)應為零，于是項的乘數(shù)應為零，于是 ,0iiixyyxf iiiiiyiixxyyxfyxfyxf ,0 32,2,hOyxfyxfyxfhyxfhyiiiiyiixiii 111 iiixyhxyy 320200hOhh 3hO 因而因而改進的歐拉法改進的歐拉法是是二階二階的。的。 用改進歐拉法解初值問題用改進歐拉法解