關(guān)聯(lián) Lurie 控制大系統(tǒng)的參數(shù)絕對穩(wěn)定性

1、 1288 自 動 化 學 報 33 卷 式 (27 中, T T 11 = AT 1i H1k + H1k A1i + K1 B1i H1k + H1k B1i K1 T T T T 13 = H1k + D1i v1 AT 1i C1k v1 K1 B1i C1k T T 22 = AT 2i H2k + H2k A2i + K2 B2i H2k + H2k B2i K2 T T T T 24 = H2k + D2i v2 AT 2i C2k v2 K2 B2i C2k T T 33 = v1 D1 i C1k v1 C1k D1i Ge1 T T 44 = v2 D2 i C2k v2

2、C2k D2i Ge2 1 1 數(shù)矩陣 (21, 其系數(shù)矩陣分別為 A11 = 4 1 0 3 , B 11 = 1 0 1 1 C 11 = 1 1 , D 11 = A12 = 4 1 0 2 , B 12 = 1 0 1 1 C 12 = 1 1 , D 12 = e Ge1 , Ge2 為與參數(shù) p 無關(guān)的對稱正定陣, 滿足 Ge1 G(e 1 , Ge2 G(e 2 , e 1 , e 2 E (28 A13 = 則具有多胞型參數(shù)的 Lurie 系統(tǒng)是參數(shù)絕對鎮(zhèn)定的. 證明. 將式 (16 中的 Ge1 (r , p , Ge2 (r , p 替 換 為 Ge1 , Ge2 , 用

3、H1 (p , H2 (p 替 換 H1 (r , p , H2 (r , p , 這里 3 1 0 3 , B 13 = 1 0 1 1 C 13 = 1 1 , D13 = A21 = 5, A22 = 5, A23 = 5, A 12 = 0 3 B21 = 1, B22 = 1, B23 = 1, , H1 (p = H2 (p = l i=1 l i=1 pi H 1 i (29 pi H 2 i C21 = 1, C22 = 1, C23 = 1, D21 = 1 D22 = 1 D23 = 1 A 21 = 0 4 則式 (16 和 (17 可以分別表示為 l l l pi i=

4、1 k=1 pk U1ik = i=1 l1 l p2 i U1ii + (31 2 令參考輸入 r 的范圍 = r R : r 1. 假定扇 2 區(qū)條件 (4 在 e = 0 的鄰域 E = e R : e 6 中成立. 并定義正定對稱矩陣為 |e1 4 4 < e1 6 (32 0.5 + 0.1 e2 , |e2 4 G2 (e2 = 0.9, 4 < e2 6 (33 對多胞型關(guān)聯(lián) Lurie 大系統(tǒng), 證明定理 3 和定 理 4 的條件將得到滿足. 首先, 說明 A(p 參數(shù)絕對穩(wěn)定性. 容易驗證兩 個子系統(tǒng)是穩(wěn)定的. 接著, 考慮定理 3 中平衡點存在的條件. 求解關(guān)

5、于變量 X 和分散狀態(tài)反饋器 K1 , K2 的不等式 (23, 得到可行解如下 0.39 0.10 0.006 0.52 0.01 0.10 0.56 0.02 0.47 0.29 X= 0.24 0.06 0.02 0.40 0.25 0 . 52 0 . 47 0 . 25 2 . 65 0 . 02 0.01 0.29 0.24 0.02 2.64 (34 G1 (e1 = 1 + 0.1 e1 , 1.4, pi pk (U1ik + U1ki > 0 i=1 k=i+1 l l l pi i=1 k=1 pk U2ik = i=1 l1 l p2 i U2ii + pi pk

6、 (U2ik + U2ki > 0 i=1 k=i+1 l l l pi i=1 k=1 pk Qik = i=1 l1 l p2 i Qii + pi pk (Qik + Qki < 0 (30 i=1 k=i+1 其中 U1ik , U2ik , Qik 分別由式 (26 和 (27 定義. 如果式 (25 成立, 即定理 3 的條件滿足, 則具 有多胞型參數(shù)的 Lurie 系統(tǒng)是參數(shù)絕對鎮(zhèn)定的. 6 算例 本節(jié)給出一個數(shù)值例子. 考慮具有兩個子系統(tǒng) 的關(guān)聯(lián) Lurie 大系統(tǒng), 其線性部分具有多胞型的系 12 期 陳 寧等：關(guān)聯(lián) Lurie 控制大系統(tǒng)的參數(shù)絕對穩(wěn)定性 128

7、9 對應的狀態(tài)反饋控制器為 K 1 = 2.4 1.8, K2 = 4.0. 因此, 多胞型關(guān)聯(lián) Lurie 大系統(tǒng)存在平 衡態(tài). 由于 X2 = 2.76, min min Ri = 1.83, 因 i 7 Wada T, Ikeda M, Ohta Y, Siljak D D. Parametric absolute stability of Lur e systems. IEEE Transactions on Automatic Control, 1998, 43(11: 16491653 8 Wada T, Ikeda M, Ohta Y, Siljak D D. Parametri

8、c absolute stability of multivariable Lur e systems: a Popov-type condition and application of polygon interval arithmetic. Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, 1997, 30(6: 37133723 9 Silva G, Dzul F A. Parametric absolute stability of a class of singularly perturbed systems. In: Pr

9、oceedings of the 37th Conference on Decision and Control. Florida, USA: IEEE, 1998. 14221427 10 Zecevic A I, Siljak D D. Stabilization of nonlinear systems with moving equilibria. IEEE Transactions on Automatic Control, 2003, 48(6: 10361040 11 Nian Xiao-Hong, Li Xin-Bo, Yang Ying, Zuo Zhi-Qiang. Bil

10、inear matrix inequality approach to the absolute stability of interconnected Lurie control systems. Control Theory and Applications, 2005, 22(6: 9991004 (年曉紅, 李鑫波, 楊瑩, 左志強. Lurie 控制系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)絕對穩(wěn) 定性 雙線性矩陣不等式方法. 控制理論與應用, 2005, 22(6: 9991004 12 Guo Jun-Ling, Liao Fu-Cheng. Absolute stability of Lurie indire

11、ct control large-scale systems. Journal of University of Science and Technology Beijing, 2006, 28(7: 704708 (郭俊伶, 廖福成. Lurie 間接控制大系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性. 北京科技 大學學報, 2006, 28(7: 704708 此, 對任意的 (r , p × , e e (r , p 穩(wěn)定區(qū)域 E 為 e E = e R 2 : e 3.01. (35 最后, 驗證定理 4 中平衡態(tài)穩(wěn)定性的條件. 從穩(wěn) e 定區(qū)域 (35 中, 可以得 E E . 下面選擇 Ge1 =

12、1.48, Ge2 = 1, 作為滿足 e 式 (28 G(e (e E 的 上 界. 求 解 關(guān) 于 變 量 H1i , H2i , (i = 1, 2, 3 和正數(shù) v1 , v2 的不等式 (25, 對應的解為 e H11 = H13 = 37.85 15.89 15.89 60.57 20.78 16.27 16.27 21.17 , H12 = 41.78 15.78 15.78 60.43 , v1 = 2.97 H21 = 17.84, H22 = 17.68, H23 = 1.98, v2 = 0.06 (36 因此, 定理 4 的所有條件均得到滿足, 多胞型 Lurie 系統(tǒng)

13、可參數(shù)絕對鎮(zhèn)定. 7 結(jié)論 本文推導出了關(guān)聯(lián) Lurie 控制系統(tǒng)的基于矩陣 不等式的參數(shù)絕對穩(wěn)定性的充分條件. 對于具有多 胞型的 Lurie 大系統(tǒng), 采用狀態(tài)反饋的方法, 通過求 解有限個非參數(shù)線性矩陣不等式就能獲得使系統(tǒng)參 數(shù)絕對穩(wěn)定的條件. 此方法很容易推廣到具有 n 個 子系統(tǒng)組成的關(guān)聯(lián) Lurie 大系統(tǒng)的情形. 仿真例子 說明了算法的有效性. 陳 寧 中南大學副教授. 主要研究方向 為大系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析, 分散魯棒控制. 本文通信作者. E-mail: ningchen (CHEN Ning Associate professor at Central South Univer

14、sity. Her research interest covers stability analysis of large-scale systems, robust decentralized control. Corresponding author of this paper. 桂衛(wèi)華 中南大學教授. 主要研究方向 為大系統(tǒng)的分散控制, 優(yōu)化控制和過程 控制. E-mail: gwh (GUI Wei-Hua Professor at Central South University. His research interest covers decentralized control

15、 for large-scale systems, optimal control, and process control. 劉碧玉 中南大學教授. 主要研究方向 為分散控制和魯棒控制. E-mail: biyuliu (LIU Bi-Yu Professor at Central South University. Her research interest covers decentralized control and robust control. References 1 Siljak D D. Large-scale Dynamic Systems: Stability and

16、Structure. New York: North-Holland, 1978 2 Siljak D D. Decentralized Control of Complex Systems. Cambirdge: Academic Press, 1991. 480 3 Kwatny H G, Pasrija A K, Bahar L Y. Static bifurcations in electric power networks: loss of steady-state stability and voltage collapse. IEEE Transactions on Circuits Systems, 1986, 33(10: 981991 4 Zecevic A I, Miljkovic D M. The eects of generation redispatch on Hopf bifurcations in electric power systems. IEEE Transactions on Circuits Systems, 2002