平面向量知識點總結及基礎練習

1、知識點梳理：一. 向量的基本概念與基本運算1向量的概念：向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a , , 來表示，或用有向線段的起點與終點的大寫字母表示，如：AB AB ，a ；坐標表示法 , (y x yj xi a =+=向量的大小即向量的模（長度），記作|AB |小，記作a 向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小零向量：長度為0的向量，記為0 ，其方向是任意的，0 與任意向量平行向量a 0 a 由于0的方向是任意的，且規(guī)定0平行于任何向量，故在有關向量平行（共線）的問題中務必看清楚是否有“非零向量”這個條件（注意與0的區(qū)別）單位向量：模為1個單位長度的向量向量0a 為單位向量0a

2、 平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量任意一組平行向量都可以移到同一直線上a b 量可以進行任意的平移(即自由向量 ，平行向量總可以平移到同一直線上，故 數(shù)學中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個要素，起點可以任意選取，現(xiàn)在必須區(qū)分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”、的含義，要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的相等向量：長度相等且方向相同的向量為b a = , ( , (2211y x y x =2121y y x x 2向量加法求兩個向量和的運算叫做向量的加法設, AB a BC b =，則a +b =AB BC +=AC （1）a a a =+=+

3、00；（2）向量加法滿足交換律與結合律；向量加法有“三角形法則”與“平行四邊形法則”：（1）用平行四邊形法則時，兩個已知向量是要共始點的，和向量是始點與已知向量的始點重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量（2） 三角形法則的特點是“首尾相接”，由第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點指向被減向量的終點當兩個向量的起點公共時，用平行四邊形法則；當兩向量是首尾連接時，用三角形法則向量加法的三角形法則可推廣至多個向量相加：AB BC CD PQ QR AR +=，但這時必須“首尾相連”3向量的減法 相反向量：與a 長度

4、相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量記作a -, 零向量的相反向量仍是零向量關于相反向量有： （i ） (a -=a ； (ii a +(a -=(a -+a =0 ； (iii若a 、b 是互為相反向量，則a =b -, b =a -, a +b =0 向量減法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 與b 的差，記作： (b a b a -+=-作圖法：b a -可以表示為從b 的終點指向a 的終點的向量（a 、b 有共同起點）4實數(shù)與向量的積： 實數(shù)與向量a 的積是一個向量，記作a ，它的長度與方向規(guī)定如下： （）a a =；（）當0>時，a 的方向與a 的方向相同；當0<時，

5、a的方向與a 的方向相反；當0=時，0 =a ，方向是任意的 數(shù)乘向量滿足交換律、結合律與分配律5兩個向量共線定理：向量b 與非零向量a 共線有且只有一個實數(shù)，使得b =a 6平面向量的基本定理：如果21, e e 是一個平面內的兩個不共線向量，那么對這一平面內的任一向量a ，有且只有一對實數(shù)21, 使：2211e e a +=，其中不共線的向量21, e e 叫做表示這一平面內所有向量的一組基底7 特別注意:（1）向量的加法與減法是互逆運算（2）相等向量與平行向量有區(qū)別，向量平行是向量相等的必要條件（3）向量平行與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括共線（即重合），而向量平行則包括共線（重合）的情

6、況（4）向量的坐標與表示該向量的有向線條的始點、終點的具體位置無關，只與其相對位置有關例1 給出下列命題： 若|a |b |，則a =b ； 若A ，B ，C ，D 是不共線的四點，則AB DC =是四邊形ABCD 為平行四邊形的充要條件； 若a =b ，b =c ，則a =c ，a =b 的充要條件是|a |=|b |且a /b ； 若a /b ，b /c ，則a /c ， 例2 設A 、B 、C 、D 、O 是平面上的任意五點，試化簡： AB BC CD +，DB AC BD + OA OC OB CO -+- 例3設非零向量a 、b 不共線，c =k a +b ，d =a +k b (k

7、 R ，若c d ，試求k二. 平面向量的坐標表示1平面向量的坐標表示：在直角坐標系中，分別取與x 軸、y 軸方向相同的兩個單位向量, i j 作為基底a 可表示成a xi yj =+，由于a 與數(shù)對(x,y是一一對應的，因此把(x,y叫做向量a 的坐標，記作a =(x,y，其中x 叫作a 在x 軸上的坐標，y 叫做在y 軸上的坐標 (1相等的向量坐標相同，坐標相同的向量是相等的向量(2向量的坐標與表示該向量的有向線段的始點、終點的具體位置無關，只與其相對位置有關2平面向量的坐標運算： (1若(1122, , , a x y b x y =，則(1212, a b x x y y ±

8、=±±(2若(2211, , , y x B y x A ，則(2121, AB x x y y =-(3若a =(x,y，則a =(x, y(4若(1122, , , a x y b x y =，則1221/0a b x y x y -=(5若(1122, , , a x y b x y =，則1212a b x x y y =+若a b ，則02121=+y y x x例1 已知向量(1,2, (,1, 2a b x u a b =+，2v a b =-，且/u v ，求實數(shù)x 的值例2已知點 6, 2(, 4, 4(, 0, 4(C B A , 試用向量方法求直線AC

9、 和OB （O 為坐標原點）交點P 的坐標三平面向量的數(shù)量積1兩個向量的數(shù)量積： 已知兩個非零向量a 與b ，它們的夾角為，則a ·b =a ·b cos 叫做a 與b 的數(shù)量積（或內積） 規(guī)定00a =2向量的投影：b cos =|a b a R ，稱為向量b 在a 對值稱為射影3數(shù)量積的幾何意義： a ·b 等于a 的長度與b 在a 方向上的投影的乘積 4向量的模與平方的關系：22|a a a a =5乘法公式成立：(2222a b a b ab a b +-=-=-； (2222a b a a b b ±=±+222a a b b =&#

10、177;+ 6平面向量數(shù)量積的運算律：交換律成立：a b b a = 對實數(shù)的結合律成立：(a b a b a b R = 分配律成立：(a b c a c b c ±=±(c a b =±特別注意：（1）結合律不成立：(a b c a b c ； （2）消去律不成立a b a c =不能得到b c =（3）a b =0不能得到a =0或b =07兩個向量的數(shù)量積的坐標運算： 已知兩個向量1122(, , (, a x y b x y =，則a ·b =1212x x y y +8向量的夾角：已知兩個非零向量a 與b ，作OA =a , OB =b ,

11、則AOB= （001800）叫做向量a 與b 的夾角 cos =cos , a ba b a b <>= 當且僅當兩個非零向量a 與b 同方向時，=00，當且僅當a 與b 反方向時=1800，同時0與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題9垂直：如果a 與b 的夾角為900則稱a 與b 垂直，記作a b 10兩個非零向量垂直的充要條件： a b a ·b O 02121=+y y x x例1 判斷下列各命題正確與否：（1）00a =；（2）00a =；（3）若0, a a b a c =，則b c =；若a b a c =，則b c 當且僅當0a =時成立；（5）( ( a

12、 b c a b c =對任意, , a b c 向量都成立；（6）對任意向量a ，有22a a =例2已知兩單位向量a 與b 的夾角為0120，若2, 3c a b d b a =-=-，試求c 與d 的夾角例3 已知(4,3a =，(1,2b =-，, m a b =-2n a b =+，按下列條件求實數(shù)的值 （1）m n ；（2）/m n ；(3m n =課堂練習：一、選擇題1下列命題中正確的是（ ）A OA OB AB -= B0AB BA +=C 00AB = DAB BC CD AD +=2設點(2,0A ，(4,2 B , 若點P 在直線AB 上，且AB =2AP ，則點P 的坐

13、標為（ ）A (3,1 B(1,1 -C (3,1或(1,1 - D無數(shù)多個 3若平面向量與向量 2, 1(-=a 的夾角是o 180，且|=b ，則=( A 6, 3(- B 6, 3(- C 3, 6(- D 3, 6(-4向量(2,3a =，(1,2 b =-，若ma b +與2a b -平行，則m 等于A 2- B2 C21 D12- 5若, a b 是非零向量且滿足(2 a b a -，(2 b a b - ，則a 與b 的夾角是（ ）A B C D 6設3(,sin 2a =，1(cos, 3b =，且/a b ，則銳角為（ ） A 030 B060 C075 D045二、填空題1

14、若|1,|2, a b c a b =+，且c a ，則向量a 與b 的夾角為 2已知向量(1,2 a =，(2,3 b =-，(4,1c =，若用a 和b 表示c ，則c =_。 3若1a =, 2b =，與的夾角為060，若(35 a b +( ma b -，則m 的值為 4若菱形ABCD 的邊長為2，則AB CB CD -+=_。5若a = 3, 2(，b = 7, 4(-，則a 在b 上的投影為_。三、解答題 6332651求與向量(1,2a =，(2,1b =夾角相等的單位向量c 的坐標2已知向量a 與b 的夾角為60，|4,(2.(3 72b a b a b =+-=-, 求向量a

15、 的模。3設非零向量, , , a b c d ，滿足( ( d a c b a b c =-，求證：a d 4已知(cos,sin a =，(cos,sin b =，其中0<<<(1求證：a b + 與a b -互相垂直；(2若ka +b 與a k -b 的長度相等，求-的值(k 為非零的常數(shù) 課后作業(yè)：1、化簡：(1（CD AB - (BD AC -= . (2+AF FE DC ED CB = 2、已知正方形的邊長為1，AB =a ，=b ，=c , 則|a +b +c |等于3.已知向量 a 和向量 b 的夾角為 30 o ， | a |= 2,| b |= 3 ，則向量 a 和向量 b 的數(shù)量積 a ×b = 。 4、