高二經(jīng)典雙曲線教案

1、雙曲線教學目標:1、掌握雙曲線的定義，標準方程，幾何性質，離心率，通徑，最值。2、熟練地運用待定系數(shù)法求標準方程，學會求最值的方法和焦點三角形的解法。重點：雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，以及簡單的幾何性質。難點：雙曲線的標準方程，雙曲線的漸進線?！窘虒W內(nèi)容】1、 引入： 太陽神有一牛群，由白、黑、花、棕四種顏色的公、母牛組成。在公牛中，白牛數(shù)多于棕牛數(shù)，多出之數(shù)相當于黑牛數(shù)的1/2+1/3；黑牛數(shù)多于棕牛，多出之數(shù)相當于花牛數(shù)的1/4+1/5；花牛數(shù)多于棕牛數(shù)，多出之數(shù)相當于白牛數(shù)的1/6+1/7。在母牛中，白牛數(shù)是全體黑牛數(shù)的1/3+1/4；黑牛數(shù)是全體花牛數(shù)1/4+1/5；花牛數(shù)是全體

2、棕牛數(shù)的1/5+1/6；棕牛數(shù)是全體白牛數(shù)的1/6+1/7。問這牛群是怎樣組成的？ （阿基米德分牛問題）2、 雙曲線的基本概念1. 雙曲線的定義：雙曲線的定義在平面內(nèi)，到兩個定點的距離之差的絕對值等于常數(shù)的動點的軌跡叫作雙曲線.這兩個定點叫雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫作雙曲線的焦距.注意：1. 雙曲線的定義中，常數(shù)應當滿足的約束條件：，這可以借助于三角形中邊的相關性質“兩邊之差小于第三邊”來理解；2. 若去掉定義中的“絕對值”，則僅能表示雙曲線的一支；3. 若常數(shù)滿足約束條件：，則動點軌跡是以為端點的兩條射線（包括端點）；4若常數(shù)滿足約束條件：，則動點軌跡不存在；5若常數(shù)，則動點軌跡為線段的垂

3、直平分線。2.雙曲線的標準方程：1當焦點在軸上時，雙曲線的標準方程：，其中；2當焦點在軸上時，雙曲線的標準方程：，其中.注意： 1只有當雙曲線的中心為坐標原點，對稱軸為坐標軸建立直角坐標系時,才能得到雙曲線的標準方程； 2在雙曲線的兩種標準方程中，都有； 3雙曲線的焦點總在實軸上，即系數(shù)為正的項所對應的坐標軸上.3.雙曲線的簡單幾何性質:（1）對稱性：雙曲線是以軸、軸為對稱軸的軸對稱圖形，且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為雙曲線的中心。（2）范圍：雙曲線上所有的點都在兩條平行直線和的兩側，是無限延伸的。因此雙曲線上點的橫坐標滿足。（3）頂點：雙曲線與它的對稱軸的交點稱為雙曲線

4、的頂點。雙曲與坐標軸的兩個交點即為雙曲線的兩個頂點，坐標分別為，頂點是雙曲線兩支上的點中距離最近的點。兩個頂點間的線段叫作雙曲線的實軸；設為軸上的兩個點，則線段叫做雙曲線的虛軸。實軸和虛軸的長度分別為。叫做雙曲線的實半軸長，叫做雙曲線的虛半軸長。注意：實軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線。（4）離心率：雙曲線的焦距與實軸長的比叫做雙曲線的離心率，用表示，記作。因為，所以雙曲線的離心率。由，可得，所以決定雙曲線的開口大小，越大，也越大，雙曲線開口就越開闊。所以離心率可以用來表示雙曲線開口的大小程度。等軸雙曲線，所以離心率。（5）漸近線：經(jīng)過點作軸的平行線，經(jīng)過點作軸的平行線，四條直線圍成一個矩形

5、（如圖），矩形的兩條對角線所在直線的方程是。我們把直線叫做雙曲線的漸近線。（雙曲線與它的漸近線無限接近，但永不相交）特別注意：雙曲線的焦點三角形，弦長公式，中點弦問題與橢類似?！纠}講解】例1 已知雙曲線，求雙曲線的實（虛）軸頂點坐標，焦點坐標，準線方程，漸近線方程.練習：求雙曲線的實（虛）半軸長，焦點坐標，準線方程，漸近線方程.例2 已知O1：，O2：（1）若動圓與1，2均內(nèi)切，求動圓圓心點的軌跡；（2）若動圓與1，2均外切，求動圓圓心點的軌跡。練習：在方程中，若，則方程的曲線是（ ）A. 焦點在軸上的橢圓 B.焦點在軸上的雙曲線C.焦點在軸上的橢圓 D.焦點在軸上的雙曲線例3 設雙曲線經(jīng)過

6、點，且與雙曲線具有相同漸近線，求雙曲線標準方程.練習：1.雙曲線與一定有相同的（ ）A.焦點 B.準線 C.漸近線 D.離心率2.與雙曲線有共同的漸近線，并且過點的雙曲線的標準方程 例4 設分別為雙曲線的左、右焦點，雙曲線上存在一點使得，求雙曲線的離心率.練習：（1）雙曲線的離心率 （2）已知雙曲線的一條漸近線與曲線相切，則該雙曲線的離心率為 例5 已知雙曲線的離心率為2，焦點為,點A在上，若,求的值.例6 雙曲線與橢圓有公共焦點，且離心率為.（1）求雙曲線的方程；（2）若斜率為1的直線交雙曲線于兩點，且，求的方程.例7已知雙曲線以及點，過點的直線與雙曲線相交于兩點，為線段的中點，求直線的方程

7、.【過手練習】1.已知方程的圖象是雙曲線，那么的取值范圍是（ ）A. B. C.或 D.2.雙曲線的左、右焦點分別為是雙曲線上一點，滿足，直線與圓相切，則雙曲線的離心率為（ ）A. B. C. D.3.過雙曲線的右焦點作直線交雙曲線于兩點，若，則這樣的直線有（ ）A.1條 B.2條 C.3條 D.4條4.過原點的直線，如果它與雙曲線相交，則直線的斜率的取值范圍是 .5.設為雙曲線上一動點，為坐標原點，為線段的中點，則點的軌跡方程是 【拓展訓練】例8已知雙曲線的一條漸近線方程為，兩條準線的距離為l. （1）求雙曲線的方程； （2）直線l過坐標原點O且和雙曲線交于兩點M、N，點P為雙曲線上異于M、

8、N的一點，且直線PM，PN的斜率均存在，求kPMkPN的值.【鏈接高考】已知雙曲線的一條漸近線平行于直線：，雙曲線的一個焦點在直線上，則雙曲線的方程為 （） 【課后作業(yè)】1.等軸雙曲線與拋物線的準線交于兩點，則雙曲線的實軸長等于（ ）A. B. C.4 D.82.已知雙曲線的一條漸近線的方程為，則雙曲線的焦點到直線的距離為( )A B. C. D.3.若直線過點與雙曲線只有一個公共點，則這樣的直線有（ ）A.1條 B.2條 C.3條 D.4條4.方程表示雙曲線的充要條件是（）A.或 B. C. D.5.過雙曲線的左焦點作垂直于軸的直線與雙曲線相交于兩點，以為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點，則雙曲線的離心率等于 .6