初二數(shù)學(xué)北師大版下冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)20151

1、北師大版初中數(shù)學(xué)定理知識(shí)點(diǎn)匯總2015 第一章 三角形的證明知識(shí)點(diǎn)1 全等三角形的判定及性質(zhì)判定定理簡(jiǎn)稱判定定理的內(nèi)容性質(zhì)SSS三角形分別相等的兩個(gè)三角形全等全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等SAS兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等ASA兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等AAS兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等知識(shí)點(diǎn)2 等腰三角形的性質(zhì)定理及推論內(nèi)容幾何語(yǔ)言條件與結(jié)論等腰三角形的性質(zhì)定理等腰三角形的兩底角相等。簡(jiǎn)述為：等邊對(duì)等角在ABC中，若AB=AC，則B=C條件：邊相等，即AB=AC結(jié)論：角相等，即B=C推論等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相垂直，簡(jiǎn)

2、述為：三線合一在ABC，AB=AC，ADBC，則AD是BC邊上的中線，且AD平分BAC條件：等腰三角形中一直頂點(diǎn)的平分線，底邊上的中線、底邊上的高線之一結(jié)論：該線也死其他兩線等腰三角形中的相等線段：1等腰三角形兩底角的平分線相等2等腰三角形兩腰上的高相等3兩腰上的中線相等4底邊的中點(diǎn)到兩腰的距離相等知識(shí)點(diǎn)3 等邊三角形的性質(zhì)定理內(nèi)容性質(zhì)定理等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)角都等于60度解讀【要點(diǎn)提示】1）等邊三角形是特殊的等腰三角形。它具有等腰三角形的一切性質(zhì)2）等邊三角形每條邊上的中線、高線與所對(duì)角的平分線“三線合一”【易錯(cuò)點(diǎn)】所有的等邊三角形都是等腰三角形，但不是所有的等腰三角形都是等

3、邊三角形知識(shí)點(diǎn)4 等腰三角形的判定定理內(nèi)容幾何語(yǔ)言條件與結(jié)論等腰三角形的判定定理有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形，簡(jiǎn)述為：等校對(duì)等邊在ABC中，若B=C則AC=BC條件：角相等，即B=C結(jié)論：邊相等，即AB=AC解讀【注意】對(duì)“等角對(duì)等邊”的理解仍然要注意，他的前提是“在同一個(gè)三角形中”拓展判定一個(gè)三角形是等腰三角形有兩種方法（1）利用等腰三角形；（2）利用等腰三角形的判定定理，即“等角對(duì)等邊”知識(shí)點(diǎn)5 反證法概念證明的一般步驟反證法在證明時(shí)，先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后推導(dǎo)出與定義、基本事實(shí)、已有定理或已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立，這種證明方法稱為反證法（1） 假設(shè)命題的

4、結(jié)論不成立（2） 從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，應(yīng)用正確的推論方法，得出與定義、基本事實(shí)、已有定理或已知條件相矛盾的結(jié)果（3） 由矛盾的結(jié)果判定假設(shè)不正確，從而肯定原命題正確解讀【要點(diǎn)提示】（1）當(dāng)一個(gè)命題涉及“一定”“至少”“至多”“無限”“唯一”等情況時(shí)，由于結(jié)論的反面簡(jiǎn)單明確，常常用反證法來證明（2）“推理”必須順著假設(shè)的思路進(jìn)行，即把假設(shè)當(dāng)作已知條件，“得出矛盾”是指推出與定義、基本事實(shí)、已有定理或已知條件相矛盾的結(jié)果第二章 一元一次不等式與一元一次不等式組一. 不等關(guān)系1. 一般地,用符號(hào)“<”(或“”), “>”(或“”)連接的式子叫做不等式.¤2. 要區(qū)別方程與不等式:

5、方程表示的是相等的關(guān)系;不等式表示的是不相等的關(guān)系.3. 準(zhǔn)確“翻譯”不等式,正確理解“非負(fù)數(shù)”、“不小于”等數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ).非負(fù)數(shù) <=> 大于等于0(0) <=> 0與正數(shù) <=> 不小于0非正數(shù) <=> 小于等于0(0) <=> 0與負(fù)數(shù) <=> 不大于0二. 不等式的基本性質(zhì)1. 掌握不等式的基本性質(zhì),并會(huì)靈活運(yùn)用:(1) 不等式的兩邊加上(或減去)同一個(gè)整式,不等號(hào)的方向不變,即:如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.(2) 不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)正數(shù),不等號(hào)的方向不變,即如果

6、a>b,并且c>0,那么ac>bc, .(3) 不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)的方向改變,即:如果a>b,并且c<0,那么ac<bc, 2. 比較大小:(a、b分別表示兩個(gè)實(shí)數(shù)或整式)一般地:如果a>b,那么a-b是正數(shù);反過來,如果a-b是正數(shù),那么a>b;如果a=b,那么a-b等于0;反過來,如果a-b等于0,那么a=b;如果a<b,那么a-b是負(fù)數(shù);反過來,如果a-b是正數(shù),那么a<b;即:a>b <=> a-b>0a=b <=> a-b=0a<b <=> a

7、-b<0 (由此可見,要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小,只要考察它們的差就可以了.三. 不等式的解集:1. 能使不等式成立的未知數(shù)的值,叫做不等式的解;一個(gè)不等式的所有解,組成這個(gè)不等式的解集;求不等式的解集的過程,叫做解不等式.2. 不等式的解可以有無數(shù)多個(gè),一般是在某個(gè)范圍內(nèi)的所有數(shù),與方程的解不同.¤3. 不等式的解集在數(shù)軸上的表示:用數(shù)軸表示不等式的解集時(shí),要確定邊界與方向: 邊界:有等號(hào)的是實(shí)心圓圈,無等號(hào)的是空心圓圈;方向:大向右,小向左四. 一元一次不等式:1. 只含有一個(gè)未知數(shù),且含未知數(shù)的式子是整式,未知數(shù)的次數(shù)是1. 像這樣的不等式叫做一元一次不等式.2. 解一元一次不

8、等式的過程與解一元一次方程類似,當(dāng)不等式兩邊都乘以一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí),不等號(hào)要改變方向.3. 解一元一次不等式的步驟:去分母; 去括號(hào); 移項(xiàng); 合并同類項(xiàng); 系數(shù)化為1(不等號(hào)的改變問題)4. 一元一次不等式基本情形為ax>b(或ax<b)當(dāng)a>0時(shí),解為 ;當(dāng)a=0時(shí),且b<0,則x取一切實(shí)數(shù);當(dāng)a=0時(shí),且b0,則無解;當(dāng)a<0時(shí), 解為 ;¤5. 列不等式解應(yīng)用題基本步驟與列方程解應(yīng)用題相類似,即:審: 認(rèn)真審題,找出題中的不等關(guān)系,要抓住題中的關(guān)鍵字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含義;設(shè): 設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù);列: 根據(jù)題中的不等關(guān)系

9、,列出不等式;解: 解出所列的不等式的解集;答: 寫出答案,并檢驗(yàn)答案是否符合題意.六. 一元一次不等式組1. 定義: 由含有一個(gè)相同未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式組成的不等式組,叫做一元一次不等式組.2. 一元一次不等式組中各個(gè)不等式解集的公共部分叫做不等式組的解集.如果這些不等式的解集無公共部分,就說這個(gè)不等式組無解.（解集的公共部分,通常是利用數(shù)軸來確定.）3. 解一元一次不等式組的步驟:(1)分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集;(2)利用數(shù)軸求出這些解集的公共部分,即這個(gè)不等式組的解集.兩個(gè)一元一次不等式組的解集的四種情況(a、b為實(shí)數(shù),且a<b)x>b 兩大取較大x>a

10、 兩小取小a<x<b 大小交叉中間找無解 在大小分離沒有解(是空集) 第三章 圖形的平移與旋轉(zhuǎn)一、平移變換： 1.概念：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿著某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做平移。2.性質(zhì)：（1）平移前后圖形全等；     （2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線平行或在同一直線上且相等。 3.平移的作圖步驟與方法： （1）分清題目要求，確定平移的方向與平移的距離；（2）分析所作的圖形，找出構(gòu)成圖形的關(guān)健點(diǎn)；（3）沿一定的方向，按一定的距離平移各個(gè)關(guān)健點(diǎn)；（4）連接所作的各個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，并標(biāo)上相應(yīng)的字母；（5）寫出結(jié)論

11、。 二、旋轉(zhuǎn)變換： 1.概念：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做旋轉(zhuǎn)。 說明：（1）圖形的旋轉(zhuǎn)是由旋轉(zhuǎn)中心與旋轉(zhuǎn)的角度所決定的；（2）旋轉(zhuǎn)過程中旋轉(zhuǎn)中心始終保持不動(dòng)（3）旋轉(zhuǎn)過程中旋轉(zhuǎn)的方向是相同的（4）旋轉(zhuǎn)過程靜止時(shí)，圖形上一個(gè)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角度是一樣的旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小與形狀 2.性質(zhì)： （1）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；   （2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋角；          

12、60;     （3）旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等 3.旋轉(zhuǎn)作圖的步驟與方法：（1）確定旋轉(zhuǎn)中心及旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角；（2）找出圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；（3）將圖形的關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連接起來，然后按旋轉(zhuǎn)方向分別將它們旋轉(zhuǎn)一個(gè)旋轉(zhuǎn)角度數(shù)，得到這些關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；（4）按原圖形順次連接這些對(duì)應(yīng)點(diǎn)，所得到的圖形就是旋轉(zhuǎn)后的圖形 說明：在旋轉(zhuǎn)作圖時(shí)，一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的夾角即為旋轉(zhuǎn)角 4.常見考法    （1）把平移旋轉(zhuǎn)結(jié)合起來證明三角形全等；（2）利用平移變換與旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì),設(shè)計(jì)一些題目第四章 因

13、式分解一. 分解因式1. 把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式,這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.2. 因式分解與整式乘法是互逆關(guān)系.因式分解與整式乘法的區(qū)別與聯(lián)系:(1)整式乘法是把幾個(gè)整式相乘,化為一個(gè)多項(xiàng)式;(2)因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)因式相乘.二. 提公共因式法1. 如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式,那么就可以把這個(gè)公因式提出來,從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式.這種分解因式的方法叫做提公因式法. 如: 2. 概念內(nèi)涵:(1)因式分解的最后結(jié)果應(yīng)當(dāng)是“積”;(2)公因式可能是單項(xiàng)式,也可能是多項(xiàng)式;(3)提公因式法的理論依據(jù)是乘法對(duì)加法的分配律,即: 3. 易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)評(píng):(1)注意

14、項(xiàng)的符號(hào)與冪指數(shù)是否搞錯(cuò);(2)公因式是否提“干凈”;(3)多項(xiàng)式中某一項(xiàng)恰為公因式,提出后,括號(hào)中這一項(xiàng)為+1,不漏掉.三. 公式法1. 如果把乘法公式反過來,就可以用來把某些多項(xiàng)式分解因式.這種分解因式的方法叫做運(yùn)用公式法.2. 主要公式:(1)平方差公式: (2)完全平方公式: 3. 運(yùn)用公式法:(1)平方差公式: 應(yīng)是二項(xiàng)式或視作二項(xiàng)式的多項(xiàng)式;二項(xiàng)式的每項(xiàng)(不含符號(hào))都是一個(gè)單項(xiàng)式(或多項(xiàng)式)的平方;二項(xiàng)是異號(hào).(2)完全平方公式:應(yīng)是三項(xiàng)式;其中兩項(xiàng)同號(hào),且各為一整式的平方; 還有一項(xiàng)可正負(fù),且它是前兩項(xiàng)冪的底數(shù)乘積的2倍.4. 因式分解的思路與解題步驟:(1)先看各項(xiàng)有沒有公因式

15、,若有,則先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;(3)用分組分解法,即通過分組后提取各組公因式或運(yùn)用公式法來達(dá)到分解的目的;(4)因式分解的最后結(jié)果必須是幾個(gè)整式的乘積,否則不是因式分解;(5)因式分解的結(jié)果必須進(jìn)行到每個(gè)因式在有理數(shù)范圍內(nèi)不能再分解為止.四. 分組分解法:1. 分組分解法:利用分組來分解因式的方法叫做分組分解法.2. 概念內(nèi)涵:分組分解法的關(guān)鍵是如何分組,要嘗試通過分組后是否有公因式可提,并且可繼續(xù)分解,分組后是否可利用公式法繼續(xù)分解因式.3. 注意: 分組時(shí)要注意符號(hào)的變化.五. 十字相乘法:1.對(duì)于二次三項(xiàng)式 ,將a與c分別分解成兩個(gè)因數(shù)的乘積, , , 且滿足 ,往往

16、寫成 的形式,將二次三項(xiàng)式進(jìn)行分解. 如: 2. 二次三項(xiàng)式 的分解:3. 規(guī)律內(nèi)涵:(1)理解:把 分解因式時(shí),如果常數(shù)項(xiàng)q是正數(shù),那么把它分解成兩個(gè)同號(hào)因數(shù),它們的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)p的符號(hào)相同.(2)如果常數(shù)項(xiàng)q是負(fù)數(shù),那么把它分解成兩個(gè)異號(hào)因數(shù),其中絕對(duì)值較大的因數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)p的符號(hào)相同,對(duì)于分解的兩個(gè)因數(shù),還要看它們的與是不是等于一次項(xiàng)系數(shù)p.4. 易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)評(píng):(1)十字相乘法在對(duì)系數(shù)分解時(shí)易出錯(cuò);(2)分解的結(jié)果與原式不等,這時(shí)通常采用多項(xiàng)式乘法還原后檢驗(yàn)分解的是否正確.第五章 分式與方程一. 認(rèn)識(shí)分式1. 兩個(gè)整數(shù)不能整除時(shí),出現(xiàn)了分?jǐn)?shù);類似地,當(dāng)兩個(gè)整式不能整除時(shí),就出現(xiàn)了分式

17、. 整式A除以整式B,可以表示成 的形式.如果除式B中含有字母,那么稱 為分式,對(duì)于任意一個(gè)分式,分母都不能為零.2. 整式與分式統(tǒng)稱為有理式,3. 進(jìn)行分?jǐn)?shù)的化簡(jiǎn)與運(yùn)算時(shí),常要進(jìn)行約分與通分,其主要依據(jù)是分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì): 分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個(gè)不等于零的整式,分式的值不變.4. 一個(gè)分式的分子、分母有公因式時(shí),可以運(yùn)用分式的基本性質(zhì),把這個(gè)分式的分子、分母同時(shí)除以它的們的公因式,也就是把分子、分母的公因式約去,這叫做約分.二. 分式的乘除法1. 分式乘以分式,用分子的積做積的分子,分母的積做積的分母;分式除以以分式,把除式的分子、分母顛倒位置后,與被除式相乘.2. 分式乘方,

18、把分子、分母分別乘方. 逆向運(yùn)用 ,當(dāng)n為整數(shù)時(shí),仍然有 成立.3. 分子與分母沒有公因式的分式,叫做最簡(jiǎn)分式.三. 分式的加減法1. 分式與分?jǐn)?shù)類似,也可以通分.根據(jù)分式的基本性質(zhì),把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.2. 分式的加減法: 分式的加減法與分?jǐn)?shù)的加減法一樣,分為同分母的分式相加減與異分母的分式相加減.(1)同分母的分式相加減,分母不變,把分子相加減; (2)異號(hào)分母的分式相加減,先通分,變?yōu)橥帜傅姆质?然后再加減;3. 概念內(nèi)涵:通分的關(guān)鍵是確定最簡(jiǎn)分母,其方法如下:最簡(jiǎn)公分母的系數(shù),取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù);最簡(jiǎn)公分母的字母,取各分母所

19、有字母的最高次冪的積,如果分母是多項(xiàng)式,則首先對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解.四. 分式方程1. 解分式方程的一般步驟:在方程的兩邊都乘最簡(jiǎn)公分母,約去分母,化成整式方程;解這個(gè)整式方程;把整式方程的根代入最簡(jiǎn)公分母,看結(jié)果是不是零,使最簡(jiǎn)公母為零的根是原方程的增根,必須舍去.2. 列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟:審清題意;設(shè)未知數(shù);根據(jù)題意找相等關(guān)系,列出(分式)方程;解方程,并驗(yàn)根;寫出答案.第六章 平行四邊形一正確理解定義（1）定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形（2）表示方法：用“ ”表示平行四邊形，例如：平行四邊形ABCD記作 ABCD，讀作“平行四邊形ABCD”2熟練掌握性質(zhì)平行四邊形的

20、有關(guān)性質(zhì)與判定都是從 邊、角、對(duì)角線 三個(gè)方面的特征進(jìn)行簡(jiǎn)述的（1）角：平行四邊形的鄰角互補(bǔ)，對(duì)角相等；（2）邊：平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行且相等；（3）對(duì)角線：平行四邊形的 對(duì)角線互相平分；（4）面積：； 平行四邊形的對(duì)角線將四邊形分成4個(gè)面積相等的三角形3平行四邊形的判別方法定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形 方法1：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形方法2：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形 方法3：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形方法4：一組平行且相等的四邊形是平行四邊形二、幾種特殊四邊形的有關(guān)概念（1）矩形：有一個(gè)角是直角 的平行四邊形 是矩形，它是研究矩形的基礎(chǔ)，它既

21、可以看作是矩形的性質(zhì)，也可以看作是矩形的判定方法，對(duì)于這個(gè)定義，要注意把握： 平行四邊形； 一個(gè)角是直角，兩者缺一不可（2）菱形：有一組鄰邊相等 的平行四邊形 是菱形，它是研究菱形的基礎(chǔ)，它既可以看作是菱形的性質(zhì)，也可以看作是菱形的判定方法，對(duì)于這個(gè)定義，要注意把握： 平行四邊形； 一組鄰邊相等，兩者缺一不可（3）正方形：有一組鄰邊相等且有一個(gè)直角 的平行四邊形 叫做正方形，它是最特殊的平行四邊形，它既是平行四邊形，還是菱形，也是矩形，它兼有這三者的特征，是一種非常完美的圖形（4）梯形：一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形，對(duì)于這個(gè)定義，要注意把握：一組對(duì)邊平行； 一組對(duì)邊不平行，同

22、時(shí)要注意與平行四邊形定義的區(qū)別，還要注意腰、底、高等概念以及梯形的分類等問題（5）等腰梯形：是一種特殊的梯形，它是兩腰相等 的梯形，特殊梯形還有直角梯形2幾種特殊四邊形的有關(guān)性質(zhì)（1）矩形： 邊：對(duì)邊平行且相等； 角：對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ)；對(duì)角線：對(duì)角線互相平分且相等； 對(duì)稱性：軸對(duì)稱圖形（對(duì)邊中點(diǎn)連線所在直線，2條）（2）菱形：邊：四條邊都相等； 角：對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ)；對(duì)角線：對(duì)角線互相垂直平分且每條對(duì)角線平分每組對(duì)角； 對(duì)稱性：軸對(duì)稱圖形（對(duì)角線所在直線，2條）（3）正方形：邊：四條邊都相等； 角：四角相等；對(duì)角線：對(duì)角線互相垂直平分且相等，對(duì)角線與邊的夾角為450； 對(duì)稱性：軸對(duì)稱圖形（4條）（4）等腰梯形：邊：上下底平行但不相等，兩腰相等； 角：同一底邊上的兩個(gè)角相等；對(duì)角互補(bǔ)對(duì)角線：對(duì)角線相等； 對(duì)稱性：軸對(duì)稱圖形（上下底中點(diǎn)所在直線）3幾種特殊四邊形的判定方法（1）矩形的判定：滿足下列條件之一的四邊形是矩形有一個(gè)角是直角的平行四邊形； 對(duì)角線相等的平行四邊形； 四個(gè)角都相等（2）菱形的判定：滿足下列條件之一的四邊形是矩形有一組鄰邊相等的平行四邊形； 對(duì)角線互相垂直的平行四邊形； 四條邊都相等（3）正方形的判定