有限長單位脈沖響應(FIR)濾波器的設計方法

1、第四章第四章 有限長單位脈沖響應（有限長單位脈沖響應（FIR）濾波器的設計方法濾波器的設計方法 序言序言4.1 線性相位線性相位FIR數(shù)字濾波器的特性數(shù)字濾波器的特性4.2 窗口設計法（時間窗口法）窗口設計法（時間窗口法） 4.3 頻率取樣法頻率取樣法 4.4 FIR數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設計數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設計 4.5 IIR與與FIR數(shù)字濾器的比較數(shù)字濾器的比較序言序言 FIR數(shù)字濾波器的差分方程描述數(shù)字濾波器的差分方程描述 10)()(Niiinxany 10)(NiiizazH 10)()()(Niinxihny10)()()(NiiizihzHiha對應的系統(tǒng)函數(shù)對應的系統(tǒng)函數(shù) 因為它

2、是一種線性時不變系統(tǒng)，可用卷積和形式表示因為它是一種線性時不變系統(tǒng)，可用卷積和形式表示 比較比較、得：得：FIR數(shù)字濾波器的特點數(shù)字濾波器的特點(與與IIR數(shù)字濾波器比較數(shù)字濾波器比較)： 優(yōu)點優(yōu)點 ：（：（1）很容易獲得嚴格的線性相位，避免被處理）很容易獲得嚴格的線性相位，避免被處理 的信號的信號 產(chǎn)生相位失真，這一特點在產(chǎn)生相位失真，這一特點在 寬頻帶信寬頻帶信 號處理、陣號處理、陣 列信號處理、數(shù)據(jù)傳輸?shù)认到y(tǒng)中列信號處理、數(shù)據(jù)傳輸?shù)认到y(tǒng)中 非常重要；非常重要； （2 ）可得到多帶幅頻特性；）可得到多帶幅頻特性； （3 ）極點全部在原點（永遠穩(wěn)定），無穩(wěn)定）極點全部在原點（永遠穩(wěn)定），無穩(wěn)

3、定 性問題；性問題； （4 ）任何一個非因果的有限長序列，總可以通過一）任何一個非因果的有限長序列，總可以通過一 定的延時，轉(zhuǎn)變?yōu)橐蚬蛄?，定的延時，轉(zhuǎn)變?yōu)橐蚬蛄校?所以因果性總是所以因果性總是 滿足；滿足； （5）無反饋運算，運算誤差小。）無反饋運算，運算誤差小。缺點：（缺點：（1）因為無極點，要獲得好的過渡帶特性，需以較）因為無極點，要獲得好的過渡帶特性，需以較 高的階數(shù)為代價；高的階數(shù)為代價； （2）無法利用模擬濾波器的設計結(jié)果，一般無解）無法利用模擬濾波器的設計結(jié)果，一般無解 析設計析設計 公式，要借助計算機輔助設計程序完成。公式，要借助計算機輔助設計程序完成。4.1 線性相位線性相

4、位FIR數(shù)字濾波器的特性數(shù)字濾波器的特性 )(4.1.1 線性相位的條件線性相位的條件線性相位意味著一個系統(tǒng)的相頻特性是頻率的線性函數(shù)，即式中為常數(shù)，此時通過這一系統(tǒng)的各頻率分量的時延為一相同的常數(shù)，系統(tǒng)的群時延為 ddg)(FIR濾波器的DTFT為 NnnjjjenheHeH式中 H()是正或負的實函數(shù)。等式中間和等式右邊的實部與虛部應當各自相等，同樣實部與虛部的比值應當相等: NnNnnnhnnhcossincossin將上式兩邊交叉相乘，再將等式右邊各項移到左邊，應用三角函數(shù)的恒等關(guān)系 Nnnnhsin滿足上式的條件是 10 ,121NnnNhnhN另外一種情況是，除了上述的線性相位外，

5、還有一附加的相位，即 )( nNhnhN1221利用類似的關(guān)系，可以得出新的解答為 20) 1( N 20) 5 . 0( N2 偶對稱)(nh 奇對稱)(nh圖1 線性相位特性分四種情況4.1.2 線性相位線性相位FIR濾波器的幅度特性濾波器的幅度特性分四種情況1 偶對稱，N為奇數(shù) h(n)=h(N-1-n)(nh4.1.2 線性相位線性相位FIR濾波器的幅度特性濾波器的幅度特性 21230112121230102121)(NjNnnNjnjNNnnjNjNnnjNnnjjjeNheenhenheNhenhenheHeH2/ )3(021cos)(221)(NnNnnhNhH 2121cos

6、221)()(23021212302121NhNnnheNheenheeHNnNjNnjNnNnjNjj21)(N21Nnm令 ， 則2/ ) 1(1cos)21(221)(NmmmNhNhH21, 2 , 1,212)(,21)0(NnnNhnaNha 2/10cos)(NnnnaH令則由于 偶對稱，因此 對這些頻率也呈偶對稱。2 , 0cos關(guān)于n H 2h(n)偶對稱，偶對稱，N為偶數(shù)為偶數(shù) h(n)=h(N-1-n) 12/021cos)(2NnNnnhH令 ，則mNn12 2/121cos122NmmmNhH 120211201120112021cos21NnNjNnnNjnjNnn

7、NjNnnjjNnnheeenhenNhenheH nNhnbnnbHNn122)(21cos)(2/1或?qū)憺椋?由于 奇對稱，所以 對 也為奇對稱，且由于 時， 處必有一零點，因此這種情況不能用于設計 時 的濾波器，如高通、帶阻濾波器。對2/1cosn H1)(, 0)(zzHH在故 0H, 02/1cosn3. h(n)奇對稱，奇對稱，N為奇數(shù)，為奇數(shù)，h(n)=-h(N-1-n) 230221230112123021sin2NnNjNnnNjnjNNnnjNnnjjNnnheeenhenhenheH 令 n=m+(N-1)/2，得： 2/ )1(1sin212NmmmNhH)21(sin

8、)(2)(230NnNnnhH mmNhHNm211sin212所以 nNhncnncHNn212)(sin)(211由于 點呈奇對稱，所以 對這些點也奇對稱。由于 時， 相當于H（z）在 處有兩個零點，不能用于 的濾波器設計，故不能用作低通、高通和帶阻濾波器的設計。2 , 0sin對n H1z2 , 0 , 0, 0sinHn 00)0(HH和4.h(n)奇對稱，N為偶數(shù) 12022121sin2NnNjjNnnheeH)21(sin)12(2)(21NmmmNhH12Nnm令 2/121sin)(NnnndHnNhnd122)(21sinn由于 在=0,處為零，所以H()在=0, 2處為零

9、，即H(z)在z=1上有零點，并對=0,2呈奇對稱。 四種線性相位FIR濾波器四種線性相位FIR DF特性，參考 P91 表4.1第一種情況 ，偶、奇，四種濾波器都可設計。第二種情況，偶、偶，可設計低、帶通濾波器，不能設計 高通和帶阻。第三種情況，奇、奇，只能設計帶通濾波器，其它濾波器 都不能設計。第四種情況，奇、偶，可設計高通、帶通濾波器，不能設 計低通和帶阻。例例1 N=5, h (0) = h (1) = h (3) = h (4) = -1/2, h (2) = 2，求幅度函數(shù)H ()。解 為奇數(shù)并且h(n)滿足偶對稱關(guān)系a (0) = h (2) = 2a (1) = 2 h (3)

10、 = -1a (2) = 2 h (4) = -1H () = 2 - cos- cos2 = 2- (cos+cos2) 小結(jié)： 四種FIR數(shù)字濾波器的相位特性只取決于h(n)的對稱性，而與h(n)的值無關(guān)。幅度特性取決于h(n)。設計FIR數(shù)字濾波器時，在保證h(n)對稱的條件下，只要完成幅度特性的逼近即可。注意：當H()用H()表示時，當H()為奇對稱時，其相頻特性中還應加一個固定相移。4.1.3 線性相位線性相位FIR濾波器的零點特性濾波器的零點特性 )1()(nNhnh 10NnnznhzH101NnnznNh 101101)(NmmNNmmNzmhzzmhzH 11zHzzHN由該

11、式可看出，若z=zi是H（z）的零點，則z=z-1i也一定是H（z）的零點。由于h(n)是實數(shù)，H（z）的零點還必須共軛或?qū)?，所以z=z*i 及 z=1/z*也必是零點。 所以線性相位濾波器的零點必須是互為倒數(shù)的共軛對，即成四出現(xiàn)，這種共軛對共有四種可能的情況：既不在單位園上，也不在實軸上，有四個互為倒數(shù)的兩組共軛 對， zi z*i 1/zi 1/z*i 圖4.2(a) 在單位圓上，但不在實軸上，因倒數(shù)就是自己的共軛，所以有一對共軛零點， zi,z*i 圖4.2（b） 不在單位圓上，但在實軸上，是實數(shù),共軛就是自己，所以有一對互為倒數(shù)的零點, zi, 1/zi 圖4.2（c）又在單位圓上，又

12、在實軸上，共軛和倒數(shù)都合為一點，所以成單出現(xiàn)，只有兩種可能， zi=1或zi=-1 圖4.2(d),p92我們從幅度響應的討論中已經(jīng)知道，對于第二種FIR濾波器（h(n)偶對稱，N為偶數(shù)）， ，即 是 的零點，既在單位圓，又在實軸，所以，必有單根；同樣道理，對于第三種 0H1jez HFIR濾波器，h(n)奇對稱，N為奇數(shù)，因 所以z=1，z=-1都是H（z）的單根；對于第四種濾波器，h(n)奇對稱，N為偶數(shù)，H（O）=0，所以z=1是H（z）的單根。所以，h(n)奇對稱H(0)=0 N為偶數(shù)H()=0線性相位濾波器是FIR濾波器中最重要的一種，應用最廣。實際使用時應根據(jù)需用選擇其合適類型，并

13、在設計時遵循其約束條件。 0, 0)(HoH4.2 窗口設計法（時域）窗口設計法（時域） 如果希望得到的濾波器的理想頻率響應為 ，那么 FIR濾波器的設計就在于尋找一個傳遞函數(shù) 去逼近 ，逼近方法有三種： 窗口設計法（時域逼近） 頻率采樣法（頻域逼近） 最優(yōu)化設計（等波紋逼近） 時間窗口設計法是從單位脈沖響應序列著手，使h(n)逼近理想的單位脈沖響應序列hd(n)。我們知道hd(n)可以從理想頻響 通過付氏反變換獲得 )(jdeH10)(NnjnjenheH)(jdeH221)(onjjdddeeHnh 但一般來說，理想頻響 是分段恒定，在邊界頻率處有突變點，所以，這樣得到的理想單位脈沖響應h

14、d(n)往往都是無限長序列，而且是非因果的。但FIR的h(n)是有限長的，問題是怎樣用一個有限長的序列去近似無限長的hd(n)。最簡單的辦法是直接截取一段 hd(n) 代替 h(n) 。這種截取可以形象地想象為h(n)是通過一個“窗口”所看到的一段hd(n)，因此 ，h(n)也可表達為h(n)和一個“窗函數(shù)”的乘積，即 h(n)=w(n) hd(n) 在這里窗口函數(shù)就是矩形脈沖函數(shù)RN（n），當然以后我們還可看到，為了改善設計濾波器的特性，窗函數(shù)還可以有其它的形式，相當于在矩形窗內(nèi)對hd(n)作一定的加權(quán)處理。)(jdeH 設計步驟：)()()()(nwnhnheHddjd)()(nheHj)

15、()(nheHdjd設10)(NnjnjenheH1）由定義)()()2jeHnhDFT3）卷積插值一.矩形窗口法)(jdeHccjjdeeH01)(則)()(sin(2121)(nndeedeeHnhcnjjnjjddcc 以一個截止頻率為 c的線性相位理想低通濾波器為例,討論FIR的設計問題。a. 對于給定的理想低通濾波器 ，計算：低通濾波器的延時)(nhd理想特性的hd(n)和Hd() 這是一個以為 中心的偶對稱的無限長非因果序列，如果截取一段n=0N-1的hd(n)作為h(n)，則為保證所得到的是線性相位FIR濾波器，延時 應為h(n)長度N的一半,即 2/ ) 1( N為其它值nNn

16、onhnwnhnhdRd01)()()()(其中)()(nRnwNRb.計算)(nhc.計算 。設 為窗口函數(shù)的頻譜: 用幅度函數(shù)和相位函數(shù)來表示，則有 其線性相位部分 則是表示延時一半長度 ， )(jeWnNnjjNnjnjRjeeeenweW1011)()()2/sin()2/sin(21NeNjjRjeWeW)()(je2/ ) 1( N )(jeH)(*)()(jRjdjeWeHeH矩形窗函數(shù)及其幅度函數(shù)（見P94圖4.4） 2/sin2/sinNWR對頻響起作用的是它的幅度函數(shù) 理想頻響也可以寫成幅度函數(shù)和相位函數(shù)的表示形式 Hd(ej)=Hd()e-j其中幅度函數(shù)為 兩個信號時域的

17、乘積對應于頻域卷積，所以有|0|1)(ccdHdeWeHeWeHeHjRjdjRjdj)(21)(*)()()(deWeHjRjd)()()(21dWHeRdj)()(21如果也以幅度函數(shù) 和相位函數(shù)來表示 H（ej）,則實際FIR濾波器的幅度函數(shù)H（）為正好是理想濾波器幅度函數(shù)與窗函數(shù)幅度函數(shù)的卷積。 jjeHeH)()(dWHHRd)()(21)()(H 矩形窗的卷積過程（P95的圖4.5來說明）)(RWNc2)(RW4個特殊頻率點看卷積結(jié)果：（1）=0時, H(0)等于在-c, c內(nèi)的積分面積因一般故H(0)近似為在-, 內(nèi)的積分面積（2）=c時，一半重疊， H(c)=0.5 H(0);

18、（3） =c 2/N時，第一旁瓣（負數(shù)）在通帶外，出現(xiàn)正肩峰； （ 4） =c +2/N 時，第一旁瓣（負數(shù)）在通帶內(nèi)，出現(xiàn)負肩峰。 窗口函數(shù)對理想特性的影響： 改變了理想頻響的邊沿特性，形成過渡帶，寬為 ， 等于WR()的主瓣寬度。（決定于窗長） 過渡帶兩旁產(chǎn)生肩峰和余振（帶內(nèi)、帶外起伏），取決于 WR()的旁瓣，旁瓣多，余振多；旁瓣相對值大，肩峰強 ，與 N無關(guān)。（決定于窗口形狀） N增加,過渡帶寬減小,肩峰值不變。 因主瓣附近 其中x=N/2,所以N的改變不能改變主瓣與旁瓣的比例關(guān)系，只能改變WR（）的絕對值大小和起伏的密度，當N增加時，幅值變大，頻率軸變密，而最大肩峰永遠為8.95%，

19、這種現(xiàn)象稱為吉布斯（Gibbs）效應。 xxNNNNNWRsin2/)2/sin()2/sin()2/sin()(N4051-40-30-21-100N=15N=31用矩形窗設計的c=/2 FIR濾波器的幅度響應 改變窗函數(shù)的形狀，可改善濾波器的特性，窗函數(shù)有許多種，但要滿足以下兩點要求：窗譜主瓣寬度要窄，以獲得較陡的過渡帶；相對于主瓣幅度，旁瓣要盡可能小，使能量盡量集中在主瓣中，這樣就 可以減小肩峰和余振，以提高阻帶衰減和通帶平穩(wěn)性。但實際上這兩點不能兼得，一般總是通過增加主瓣寬度來換取對旁瓣的抑制。 肩峰值的大小決定了濾波器通帶內(nèi)的平穩(wěn)程度和阻帶內(nèi)的衰減，所以對濾波器的

20、性能有很大的影響。幾種常用的窗函數(shù)： 1. 矩形窗，上面已講過，不再細述 2. 漢寧窗（升余弦窗） 利用付氏變換的移位特性，漢寧窗頻譜的幅度函數(shù)W（）可用矩形窗的幅度函數(shù)表示為： )(12cos1 21)(nRNnnwN)(25.0)(5.01212nReenRNNnjNnjN 211221122121121225. 05 . 011225. 05 . 0NjRRRNNjRNNjRNjRjeNWNWWeNWeNWeWeW)12()12(25. 0)(5 . 0)(NWNWWWRRR三部分矩形窗頻譜相加，使旁瓣互相抵消，能量集中在主瓣，旁瓣大大減小，主瓣寬度增加1倍，為 。 N83. 漢明窗（改

21、進的升余弦窗） 它是對漢寧窗的改進，在主瓣寬度（對應第一零點的寬度）相同的情況下，旁瓣進一步減小，可使99.96%的能量集中在窗譜的主瓣內(nèi)。 4. 布萊克曼窗（三階升余弦窗） 增加一個二次諧波余弦分量，可進一步降低旁瓣，但主瓣寬度進一步增加，為 。增加N可減少過渡帶。頻譜的幅度函數(shù)為： )(12cos46.054.0)(nRNnnwN)(14cos08.012cos5.042.0)(nRNnNnnwN)12()12(25. 0)(42. 0)(NWNWWWRRR)14()14(04. 0NWNWRRN12窗口函數(shù)的頻譜 N=51，A=20lg|W()/W(0)|四種窗函數(shù)的比較5 . 051c

22、N窗函數(shù)主瓣寬度過渡帶寬旁瓣峰值衰減(dB)阻帶最小衰減(dB)矩形N/4N/8 . 1-13-21漢寧N/8N/2 . 6-31-44漢明N/8N/6 . 6-41-53布萊克曼N/12N/11-57-745.凱塞窗 以上四種窗函數(shù)，都是以增加主瓣寬度為代價來降低旁瓣。凱塞窗則可自由選擇主瓣寬度和旁瓣衰減。 101/211)(2NnINnInwooI0(x)是零階修正貝塞爾函數(shù)，參數(shù)可自由選擇，決定主瓣寬度與 旁瓣衰減。越大，w(n)窗越窄，其頻譜的主瓣變寬，旁瓣變小。一般取 4N時， hM(n)hd(n)零階貝塞爾函數(shù) NkjddeHkH2)( 窗口設計法的主要工作是計算hd(n)和w(n

23、)，當 較為復雜時，hd(n)不容易由反付里葉變換求得。這時一般可用離散解里葉變換代替連續(xù)付里葉變換，求得近似值：令 10/2)(1)(MnMknjdMekHMnhjdeH210!)2/(1)(kkkxxI過渡帶寬At阻帶最小衰減為286. 2821,05021),21(07886. 0)21(5842. 050),7 . 8(1102. 04 . 0AtNdBAtdBAtdBAtAtdBAtAt例例用凱塞窗設計一FIR低通濾波器，低通邊界頻率3 . 0c，阻帶邊界頻率5 . 0r，阻帶衰減At不小于50dB。解 首先求解)(nhd，根據(jù)指標要求其邊界頻率應為4 . 025 . 03 . 02

24、rccnnnndeenhccnjjdcc/,)()(sin21)(2 . 0cr302 . 0285. 2850N55. 4)7 . 850(1102. 0wn=kaiser(30,4.55);nn=0:1:29;alfa=(30-1)/2;hd=sin(0.4*pi*(nn-alfa)./(pi*(nn-alfa);h=hd.*wn;h1,w1=freqz(h,1);plot(w1/pi,20*log10(abs(h1);axis(0,1,-80,10);grid;xlabel(歸 一化 頻率 /)ylabel(幅 度/dB)4.3 頻率采樣法頻率采樣法 工程上，常給定頻域上的技術(shù)指標，所以

25、采用頻域設計更直接。一、基本思想一、基本思想 使所設計的FIR數(shù)字濾波器的頻率特性在某些離散頻率點上的值準確地等于所需濾波器在這些頻率點處的值，在其它頻率處的特性則有較好的逼近。jnhNIDFTNNkjdjdeHnhkHeHeHd )(2)()(不同于點點頻率取樣確定 內(nèi)插公式二.設計方法1）確定2）計算3）計算kkH、)( ZH)(nh,)()(2kjkNkjdeHkHeH1, 1 , 0Nk,)(1)(10/2NkNnkjekHNnh1, 1 , 0Nn10)()(NnnznhzH三、 約束條件 為了設計線性相位的FIR濾波器，采樣值 H（k）要滿足一定的約束條件。 前已指出,具有線性相位

26、的FIR濾波器，其單位脈沖響應h(n)是實序列，且滿足 ，由此得到的幅頻和相頻特性，就是對H(k)的約束。（表4.1）。例如，要設計第一類線性相位FIR濾波器，即N為奇數(shù)，h(n)偶對稱，則幅度函數(shù)H（）應具有偶對稱性：)1()(nNhnh21)(NjjeHeH)2()( HH令 則 必須滿足偶對稱性：而 必須取為： kjkeHkH)(kNkNNkNk) 1(212 同樣，若要設計第二種線性相位FIR濾波器，N為偶數(shù)，h(n)偶對稱，由于幅度特性是奇對稱的， 2HHkNkHHkH1, 1 , 0Nk1, 1 , 0Nk因此，Hk 也必須滿足奇對稱性： 相位關(guān)系同上， 其它兩種線性相位FIR數(shù)字

27、濾波器的設計，同樣也要滿足幅度與相位的約束條件。 kNkHH1, 1 , 0,) 1(NkNkNk1, 1 , 0Nk四、逼近誤差 由 或 H（z）。由上述設計過程得到的 與 的逼近程度，以及 與H（k）的關(guān)系？由jkkeHkHH)(,jeHjdeHjeH1, 1 , 0,)(1)(10/2NnekHNnhNkNnkj 令 ，則 1010/210)(1)()(NnnNkNnkjNnnzekHNznhzH10/210)(1NnnNnkjNkzekHN1/21011)(1zezkHNNkjNNk1011)(1)(NkkNzWkHNzzHNjeW/2單位圓上的頻響為：10/21)(1NkjNkjNj

28、jeekHNeeH10212/2sin2/sin)(1NkNkNjeNkNkHN10)(NkjkekH這是一個內(nèi)插公式。式中 為內(nèi)插函數(shù)令 則NkNjjkeNkNNe212/2sin)2/sin(1kikieiNjk01)(2, 1, 1 , 0,2NiiN1, 1 , 0,Ni內(nèi)插公式表明：l在每個采樣點上， 逼近誤差為零，頻響 嚴格地與理想頻響的采樣值 H(k)相等；)()(kHeHkj)(jeH)(jeHl在采樣點之間，頻響由各采樣點的內(nèi)插函數(shù)延伸迭加而形成，因而有一定的逼近誤差，誤差大小與理想頻率響應的曲線形狀有關(guān)，理想特性平滑，則誤差??；反之，誤差大。在理想頻率響應的不連續(xù)點附近，

29、會產(chǎn)生肩峰和波紋。lN增大，則采樣點變密，逼近誤差減小。圖 頻率采樣的響應例：設計一個FIR數(shù)字 LP 濾波器，其理想特性為 采樣點數(shù) N=33，要求線性相位。解：根據(jù)P.142的表4.1，能設計低通線性相位數(shù)字濾波器的只有1、2兩種，因N為奇數(shù)，所以只能選擇第一種。即 h(n)=h(N-1-n)， 幅頻特性關(guān)于偶對稱，也即 HK 偶對稱。利用 HK 的對稱性,求2區(qū)間的頻響采樣值。5 .005 .001jdeH根據(jù)指標要求，在02內(nèi)有33個取樣點，所以第k點對應頻率為 而截止頻率 0.5位于 之間，所以，k=08時，取樣值為1；根據(jù)對稱性，故 k=2532時，取樣值也為1，因 k=33 為下

30、一周期，所以0區(qū)間有9個值為 1的采樣點，2區(qū)間有8個值為 1 的采樣點，因此：k33293328332和258HH330HH 321HH32033322124903225;8012kkNkkHkNkk將 代入內(nèi)插公式，求H(ej)：kjkeHkH)(1016322/2sin2/sin1NkNkjNkjkjeeNkNHNeH163202/33/2sin33233sin331jkkekkH考慮到8k25時 Hk=0，而其它k時，Hk=1,令 k=33-n，則 32252/33/2sin33233sinkkkkH8133/)33(2sin33)33(233sinnnn8181332sin33233

31、sin332sin33233sinnnnnkn81332sin33233sin332sin33233sin2sin233sin331)(kjkkkkeH 從圖上可以看出，其過渡帶寬為一個頻率采樣間隔 2/33，而最小阻帶衰減略小于20dB。 對大多數(shù)應用場合，阻帶衰減如此小的濾波器是不能令人滿意的。增大阻帶衰減三種方法：1）加寬過渡帶寬，以犧牲過渡帶換取阻帶衰減的增加。 例如在本例中可在k=9和k=24處各增加一個過渡帶采樣點H9=H24=0.5，使過渡帶寬增加到二個頻率采樣間隔4/33，重新計算的H(ej)見圖4.12(c)，其阻帶衰減增加到約 -40dB。 2）過渡帶的優(yōu)化設計 根據(jù)H(e

32、j)的表達式，H(ej)是Hk的線性函數(shù)，因此還可以利用線性最優(yōu)化的方法確定過渡帶采樣點的值，得到要求的濾波器的最佳逼近（而不是盲目地設定一個過渡帶值）。例如，本例中可以用簡單的梯度搜索法來選擇H9、H24,使通帶或阻帶內(nèi)的最大絕對誤差最小化。 要求使阻帶內(nèi)最大絕對誤差達到最?。ㄒ布醋钚∷p達到最大），可計算得H9=0.3904。對應的 H(ej)的幅頻特性，比H9=0.5時 的阻帶衰減大大改善,衰減約-50dB。如果還要進一步改善阻帶衰減，可以進一步加寬過渡區(qū)，添上第二個甚至第三個不等于0的頻率取樣值，當然也可用線性最優(yōu)化求取這些取樣值。 3）增大N 如果要進一步增加阻帶衰減，但又不增加過渡

33、帶寬，可增加采樣點數(shù)N。 例如，同樣邊界頻率c=0.5 , 以N=65采樣，并在k=17和k=48插入由阻帶衰減最優(yōu)化計算得到的采樣值H17=H48=0.5886,在k=18、47處插入經(jīng)阻帶衰減最優(yōu)化計算獲得的采樣值H17=H48=0.1065 , 這時得到的 H(ej)， 過渡帶為6/65，而阻帶衰減增加了20多分貝，達-60dB以上，當然，代價是濾波器階數(shù)增加，運算量增加。N=65;k=0:(N-1)/2;Wm=2*pi*k./N;Ad(1:(N+1)/2)=1;Ad(18)=0.5886;Ad(19)=0.1065;Ad(20:33)=0;Hd=Ad.*exp(-j*0.5*(N-1)

34、*Wm);Hd=Hd conj(fliplr( Hd(2:(N+1)/2) ) );h=real(ifft(Hd);w=linspace(0,pi-0.1,1000);H=freqz(h,1,w);plot(w/pi,20*log10(abs(H);grid;小結(jié)：頻率采樣設計法優(yōu)點： 直接從頻域進行設計，物理概念清楚，直觀方便； 適合于窄帶濾波器設計，這時頻率響應只有少數(shù)幾個非零值。典型應用：用一串窄帶濾波器組成多卜勒雷達接收機，覆蓋不同的頻段，多卜勒頻偏可反映被測目標的運動速度； 缺點：截止頻率難以控制。 因頻率取樣點都局限在2/N的整數(shù)倍點上，所以在指定通帶和阻帶截止頻率時，這種方法受到

35、限制，比較死板。 充分加大N，可以接近任何給定的頻率，但計算量和復雜性增加。4.4 FIR數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設計數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設計 前面介紹了FIR數(shù)字濾波器的兩種逼近設計方法，即窗口法（時域逼近法）和頻率采樣法（頻域逼近法），用這兩種方法設計出的濾波器的頻率特性都是在不同意義上對給定理想頻率特性Hd(ej)的逼近。 說到逼近，就有一個逼近得好壞的問題，對“好”“壞”的恒量標準不同，也會得出不同的結(jié)論，我們前面講過的窗口法和頻率采樣法都是先給出逼近方法，所需變量，然后再討論其逼近特性，如果反過來要求在某種準則下設計濾波器各參數(shù)，以獲取最優(yōu)的結(jié)果，這就引出了最優(yōu)化設計的概念，最優(yōu)化設計一般需

36、要大量的計算，所以一般需要依靠計算機進行輔助設計。 最優(yōu)化設計的前提是最優(yōu)準則的確定，在FIR濾波器最優(yōu)化設計中，常用的準則有 最小均方誤差準則 最大誤差最小化準則。1) 均方誤差最小化準則， 若以E(ej)表示逼近誤差，則 那么均方誤差為deEdeHeHjjjd2222121)()(jjdjeHeHeE）（ 均方誤差最小準則就是選擇一組時域采樣值，以使均方誤差 ，這一方法注重的是在整個-頻率區(qū)間內(nèi)總誤差的全局最小，但不能保證局部頻率點的性能，有些頻率點可能會有較大的誤差，對于窗口法FIR濾波器設計，因采用有限項的h(n)逼近理想的hd(n)，所以其逼近誤差為：如果采用矩形窗 則有ndnhnh

37、22)()(其它01)()(Nnonhnhd1222| )()(| )()(|nNnddnhnhnhnhmin2可以證明，這是一個最小均方誤差。 所以，矩形窗窗口設計法是一個最小均方誤差FIR設計，根據(jù)前面的討論，我們知道其優(yōu)點是過渡帶較窄，缺點是局部點誤差大,或者說誤差分布不均勻。2) 最大誤差最小化準則（也叫最佳一致逼近準則）表示為 其中F是根據(jù)要求預先給定的一個頻率取值范圍，可以是通帶，也可以是阻帶。最佳一致逼近即選擇N個頻率采樣值 （ 或時域 h(n) 值 ），在給定頻帶范圍內(nèi)使頻響的最大逼近誤差達到最小。也叫等波紋逼近。優(yōu)點：可保證局部頻率點的性能也是最優(yōu)的，誤差分布均勻， 相同指標

38、下，可用最少的階數(shù)達到最佳化。 min| )(|maxjeEF 例如，我們提到的頻率采樣最優(yōu)化設計，它是從已知的采樣點數(shù)N、預定的一組頻率取樣和已知的一組可變的頻率取樣（即過渡帶取樣）出發(fā)，利用迭代法（或解析法）得到具有最小的阻帶最大逼近誤差（即最大的阻帶最小衰減）的FIR濾波器。但它只是通過改變過渡帶的一個或幾個采樣值來調(diào)整濾波器特性。如果所有頻率采樣值（或FIR時域序列h(m)）都可調(diào)整，顯然，濾波器的性能可得到進一步提高。 MnMnjnnannhheH01cos)(cos)(2)0()(低通濾波器的誤差分配切比雪夫最佳一致逼近 如圖，用等波紋逼近法設計濾波器需要確定五個參數(shù)： M、c、r

39、、1、2按上圖所示的誤差容限設計低通濾波器，就是說要在通帶 0 p 內(nèi)以最大誤差 1 逼近1，在阻帶r 內(nèi) 以最大誤差2逼近零。 要同時確定上述五個參數(shù)較困難。常用的兩種逼近方法： 1）給定M、1、2，以c和r為變量。 缺點：邊界頻率不能精確確定。 2）給定M、c和r，以1和2為變量，通過迭代運算 ，使逼近誤差1和2 最小，并確定h(n)切比雪 夫最佳一致逼近。 特點：能準確地指定通帶和阻帶邊界頻率。 等波動逼近的低通濾波器cr一.誤差函數(shù) 定義逼近誤差函數(shù)： )()(HHWEd E 為所設計的濾波器與理想濾波器的幅頻特性在通帶和阻帶內(nèi)的誤差值， 是已知的權(quán)函數(shù)，在不同頻帶可取不同的值， 所要

40、設計的濾波器的幅頻特性 理想濾波器的幅頻特性 W H dH rcdH001 rckW101例如，希望在固定 M, c, r 的情況下逼近一個低通濾波器，這時有21k21cos)()(0NMnnaHMn21, 2 , 1,212)(,21)0(NnnNhnaNha對于表4.1中的第一種濾波器，) 1 (cos)()()()(0MndnnaHWE于是切比雪夫逼近問題變?yōu)?，尋求一組系數(shù) 使逼近誤差的最大值達到最小，即, 1 , 0),(Mnna2minmaxE 給定后等效于求 最小。c0r21/k二.交替定理（最佳逼近定理） 令F表示閉區(qū)間 的任意閉子集，為了使 在 F 上唯一最佳地逼近于 ,其充分

41、必要條件是誤差函數(shù) 在 F 上至少應有（M+2）次“交替”， 即其中 ，且 屬于F。 1） 至少有 M+2 個極值，且極值正負相間，具有等波紋的性質(zhì) ， 2）由于 是常數(shù)，所以 的極值也就是 的極值。 E0i)(H)(dH1210M E)(max1EEEii )( dHW和 E H 借助于低通濾波器的設計，可以直觀地解釋這個定理。這時，閉子集F包括區(qū)間 和 。因為濾波器頻響 是逐段恒定的，所以對應于誤差函數(shù) 各峰值點的頻率 同樣也對應于 恰好滿足誤差容限時的頻率。 根據(jù)前面的討論， 在開區(qū)間 內(nèi)至多有M-1個極值，此外，根據(jù)通帶和阻帶的定義，令 的約束條件為 ，p0rjeH0jdeH EijeHjeH11pjeH，再加上 和處的極值，誤差曲線最多有M+1個極值頻率（交替