最佳連續(xù)投資方案

1、引例:某部門在五年內(nèi)投資下列項(xiàng)目,已知:項(xiàng)目1:從第一年到第四年每年初投資，并于次年末回收本利115%；項(xiàng)目2:第三年年初投資，到第五年末回收本利125%，最大投資額不超過(guò)4萬(wàn)元；項(xiàng)目3:第二年初投資，到第五年末能回收本利140%，最大投資額不超過(guò)3萬(wàn)元；項(xiàng)目4:五年內(nèi)每年初可購(gòu)買公債，于當(dāng)年末歸還，并加利息6%?，F(xiàn)有資金10萬(wàn)元， 問(wèn)應(yīng)如何確定給這些項(xiàng)目每年的投資額，使到第5年末擁有的資金本利總額為最大？設(shè)yij表示第i年年初投資給項(xiàng)目j的資金額yy111410yyyyy212324111410006 .242321141134323106.006.015.010yyyyyyyyyyyyyy

2、41441114212310015006015.00600624313234.yyyyyyyyyy54111421232410015006015006.0150060063132344144.yyyyy4, 3; 4 , 3 , 2 , 1, 5 , 4 , 3 , 2 , 1, 01006. 006. 015. 006. 015. 006. 015. 01006. 006. 015. 006. 015. 01006. 006. 015. 01006. 01032235444413432312423211411444134323124232114113432312423211411242321

3、14111411yyjiyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyijmax.fyyyy14012511510623324154本問(wèn)題可表示為下面的數(shù)學(xué)問(wèn)題：制定配棉方案:所謂配棉問(wèn)題，就是根據(jù)棉紗的質(zhì)量指標(biāo),采用各種價(jià)格不同的棉花,按一定的比例配制成紗,使其既達(dá)到質(zhì)量指標(biāo),又使成本最低。棉紗的質(zhì)量指標(biāo)一般由棉結(jié)粒和品質(zhì)指標(biāo)決定。棉結(jié)粒數(shù)越少越好,品質(zhì)指標(biāo)越大越好。某廠在采用最優(yōu)化方法配棉前,某種產(chǎn)品32D純棉紗的棉花配比,質(zhì)量指標(biāo)及單價(jià)如下表。有關(guān)部門對(duì)32D純棉紗規(guī)定的質(zhì)量指標(biāo)為棉結(jié)粒不多于70粒,品質(zhì)指標(biāo)不小于2900。給出配棉方案。原料品名單價(jià)元/t混合

4、比%棉結(jié)粒品質(zhì)指標(biāo)混棉單價(jià)元/t國(guó)棉1318400256038002100國(guó)棉2297500356535002625國(guó)棉3276700408025002680合計(jì)1007031757405321670075008400minxxxf3 , 2 , 1, 01290025003500380070806560321321321ixxxxxxxxxxi設(shè):x1、x2、x3分別為國(guó)棉131、國(guó)棉229、國(guó)棉327的配比1 線性規(guī)劃的提法：線性規(guī)劃是研究在一組線性約束之下，某一個(gè)線性函數(shù)的最小值或最大值問(wèn)題。數(shù)學(xué)模型:min(max). .(,)(,)(,)(, , )或或或或或或或zf xf xf x

5、s ta xa xa xba xa xa xbaxaxaxbxinnnnnnnmmmnnmi112211112211211222221122012),2,1(0),(.max)(minnixbAxtsxfzi或或或aaaaaaaaannmmmn111212122212 xxxxn12ffffn12bbbbm12用矩陣來(lái)簡(jiǎn)化上述記法，引入記號(hào)：線性規(guī)劃問(wèn)題可寫為：x x=線性規(guī)劃問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)形式為：min(max). .(, , )或zf xs tAxbxini012 x為決策向量f為費(fèi)用系數(shù) b為右端向量 A為約束矩陣 任何線性規(guī)劃模型都可轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)形式：1）約束條件標(biāo)準(zhǔn)化松弛變量法： 如果約束

6、條件中有不等式a xa xa xbiiinni1122a xa xa xbjjjnnj1122引入兩個(gè)非負(fù)變量xn+1，xn+2寫成等價(jià)形式： a xa xa xxbxiiinnnin1 122110a xaxa xxbxjjjnnnjn11222202）自由變量的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)形式中要求決策變量非負(fù)，對(duì)不滿足該條件的變量xi，可通過(guò)引進(jìn)非負(fù)變量xi， xi，并增加約束條件xi = xi-xi3）目標(biāo)函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化若原問(wèn)題是求max z 可以轉(zhuǎn)換為求min(-z)關(guān)于線性規(guī)劃的概念與名詞min(max). .(, , )或zf xs tAxbxini012 可行解:滿足約束條件的向量x=(x1,x2

7、,xn)可行域:所有可行解的集合最優(yōu)解:使目標(biāo)函數(shù)z=fx達(dá)到最小的可行解如果矩陣A的某m列所構(gòu)成的方陣B是滿秩的，則稱B為線性規(guī)劃問(wèn)題的一個(gè)基，A的剩余部分組成的子矩陣記為N，即A = 。 x相應(yīng)的寫成 xxxBNxBNx相應(yīng)于B的基本解:在約束Ax=b中令所有的非基變量取零時(shí),得到的解為相應(yīng)于B的基本解xxxB bBN 10基變量:與B的列相對(duì)應(yīng)的分量非基變量:與N的列相對(duì)應(yīng)分量。 (B,N)bxxNB基本可行解:基本解的基變量都取非負(fù)值時(shí)即滿足 xB基最優(yōu)解:既是最優(yōu)解又是其可行解的解0 相應(yīng)的基B稱為可行基。1)若線性規(guī)劃問(wèn)題有最優(yōu) 解,則必在某個(gè)基可行 解上找到。2)若兩個(gè)基可行解x

8、*， x*都是最優(yōu)解,則 x = x* +(1-)x*， 0 1,也是最優(yōu)解,即有無(wú)窮多解 x=linprog(f,A,b):求解minz=fx,Axbx=linprog(f,A,b,Aeq,beq):求解：minz=fx,Axb,Aeqx=beq；x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub):指定lbxub;求解線性規(guī)劃的MATLAB命令x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)：x0為迭代初值,若沒(méi)有不等式約束,可用替代A和b,若沒(méi)有等式約束,可用替代Aeq和beq,若某個(gè)xi下無(wú)界或上無(wú)界,可設(shè)定-inf或inf；用x,Fval代替上述命令行中的x

9、，可得最優(yōu)解處的函數(shù)值Fval。例1解下列線性規(guī)劃min. ., ,zxxxs txxxxxxxxxii 5462032442323001 2 312312312312解:f=-5;-4;-6;A=1,-1,1;3,2,4;3,2,0;b=20;42;30;lb=zeros(3,1);x,feval=linprog(f,A,b,lb)例2:某兩個(gè)煤廠A1和A2每月進(jìn)煤量分別為60噸和100噸,聯(lián)合供應(yīng)個(gè)居民區(qū)B1、B2和B3。個(gè)居民區(qū)每月對(duì)煤的需求量依次分別為50噸，70噸，40噸。煤廠A1離3個(gè)居民區(qū)B1、B2和B3的距離分別為10公里，5公里和6公里，煤廠A2離3個(gè)居民區(qū)B1、B2和B3的距離分別為4公里，8公里和12公里。問(wèn)如何分配供煤量使得運(yùn)輸量（即噸*公里）達(dá)到最小？解：以總運(yùn)輸量為目標(biāo)函數(shù)，記為f煤廠供給居民的煤量為決策變量，記為xij（表示煤廠Ai，i=1,2，提供給居民區(qū)Bj，j=1,2,3的煤量），則根據(jù)“