材料力學(xué)-簡(jiǎn)單的超靜定問題

1、EAlFlN 例例 已知已知1、2桿抗拉剛度為桿抗拉剛度為E1A1, 3桿抗拉剛度為桿抗拉剛度為E3A3，F(xiàn)的大小已知，求各桿內(nèi)力。的大小已知，求各桿內(nèi)力。解解: : 1 1、分析分析A結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)一次超靜定問題。一次超靜定問題。, 0 xF l, 0yF21NNFFFFFFNNN321 cos)( l21ll cos31ll cos1111AElFlN3333AElFlN 1332113311332 c o sc o s12c o sNNFFEAEAFFEAEA裝配應(yīng)力的計(jì)算：裝配應(yīng)力的計(jì)算：超靜定結(jié)構(gòu)中由于加工誤超靜定結(jié)構(gòu)中由于加工誤差，差， 裝配產(chǎn)生的應(yīng)力。裝配產(chǎn)生的應(yīng)力。1l2l3l平衡方

2、程：平衡方程：變形協(xié)調(diào)條件：變形協(xié)調(diào)條件：21NNFF cos)(213NNNFFF cos13ll例例 圖示圖示AB為剛性梁，為剛性梁，1、2兩桿的抗拉（壓）剛度均兩桿的抗拉（壓）剛度均為為EA，制造時(shí)，制造時(shí)1桿比原長(zhǎng)桿比原長(zhǎng)l短短 ，將，將1桿裝到橫梁后，求桿裝到橫梁后，求兩桿內(nèi)力。兩桿內(nèi)力。解解: :1 1桿伸長(zhǎng)桿伸長(zhǎng)2 2桿縮短桿縮短裝配后各桿變形裝配后各桿變形1l 2l 1l 2l 變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件212ll )(解解: : 分析分析ABBAF1F2FA0221 aFaF物理方程物理方程EAlFl11 EAlFl22 (縮短縮短)變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件212ll )(lE

3、AF541 (拉力拉力)lEAF522 kNFA85 kNFB15思考：圖示階梯形桿上端固定，下端與支座距離思考：圖示階梯形桿上端固定，下端與支座距離 = 1mm，材料的彈性模量，材料的彈性模量E=210GPa，上下兩段桿的，上下兩段桿的橫截面面積分別為橫截面面積分別為600mm2和和300mm2。試作桿的軸。試作桿的軸力圖力圖 溫度應(yīng)力溫度應(yīng)力：超靜定結(jié)構(gòu)中，由于溫度變化，使：超靜定結(jié)構(gòu)中，由于溫度變化，使構(gòu)件膨脹或收縮而產(chǎn)生的附加應(yīng)力。構(gòu)件膨脹或收縮而產(chǎn)生的附加應(yīng)力。路、橋、建筑物中的伸縮縫設(shè)置。路、橋、建筑物中的伸縮縫設(shè)置。高溫管道間隔一定距離彎一個(gè)伸縮節(jié)。高溫管道間隔一定距離彎一個(gè)伸縮

4、節(jié)。工程中不容忽視的溫度應(yīng)力！工程中不容忽視的溫度應(yīng)力！溫度應(yīng)力的計(jì)算：溫度應(yīng)力的計(jì)算：lABtl lABFAF溫度由溫度由1221ttttt ,平衡方程平衡方程0BAFF變形相容條件變形相容條件Ftll tllt 物理方程物理方程EAlFtLB 溫度應(yīng)力：溫度應(yīng)力：tEAFB 碳素鋼線膨脹系數(shù)為碳素鋼線膨脹系數(shù)為06110512C. tEAFB pGITl 扭轉(zhuǎn)變形計(jì)算公式扭轉(zhuǎn)變形計(jì)算公式dxGIxTlp)( 例：例： 兩端固定的圓截面等直桿兩端固定的圓截面等直桿AB，在截面，在截面C受受外力偶矩外力偶矩m作用，求桿兩端的支座反力偶矩。作用，求桿兩端的支座反力偶矩。解：解：mmmAB靜力平衡

5、方程為：靜力平衡方程為：0ABACCB變形協(xié)調(diào)條件為：變形協(xié)調(diào)條件為：maG Im bG IApBp0即：即：Am bmlBm aml例：圖示兩端固定的結(jié)構(gòu)，其中例：圖示兩端固定的結(jié)構(gòu)，其中AB段為實(shí)心圓軸，直段為實(shí)心圓軸，直徑為徑為D，BC段為內(nèi)徑為段為內(nèi)徑為d，外徑為，外徑為D的圓筒，受集中力的圓筒，受集中力偶偶M的作用。試求：的作用。試求：（1）AB段和段和BC段的最大切應(yīng)力；段的最大切應(yīng)力；（2）欲使許用力偶）欲使許用力偶M達(dá)到最大值，兩段長(zhǎng)度應(yīng)滿足達(dá)到最大值，兩段長(zhǎng)度應(yīng)滿足什么條件？什么條件？MAMC解：設(shè)解：設(shè)A、C兩端的約束反力偶兩端的約束反力偶為為MA、MC由平衡方程有：由平衡

6、方程有：pBCCBCpABAABGIlMGIlM21, )(32,32444dDIDIpBCpAB 其中其中BCABAC 又又)1(CAMMM MABCl1l2)2(021 pBCCpABABCABGIlMGIlM 由（由（1）、（）、（2）式有：）式有：144241441442424)()(,)(ldDlDMldDMldDlDMlDMCA （1）最大切應(yīng)力：）最大切應(yīng)力：)(16,)(161442412max1442422maxldDlDMDlIMldDlDMDlIMpBCDCBCpABDAAB （2）欲使許用力偶達(dá)到最大，有：）欲使許用力偶達(dá)到最大，有：maxmax BCAB1:121 l

7、l 用用“多余未知力多余未知力”代替代替“多余多余”約束，約束，就得到一個(gè)形式上的靜定梁，該梁稱為原就得到一個(gè)形式上的靜定梁，該梁稱為原靜不定梁的靜不定梁的相當(dāng)系統(tǒng)相當(dāng)系統(tǒng), ,亦稱亦稱基本靜定系基本靜定系。 綜合考慮變形的幾何方程、力和變形關(guān)綜合考慮變形的幾何方程、力和變形關(guān)系可求解系可求解多余未知力多余未知力。 基本靜定系基本靜定系1 1 基本靜定系基本靜定系2 2 超靜定問題超靜定問題例：已知例：已知q、l，求圖示靜不定梁的支反力。求圖示靜不定梁的支反力。 解法一：將支座解法一：將支座B看成多余約束，變形看成多余約束，變形協(xié)調(diào)條件為：協(xié)調(diào)條件為：0Bw08343EIqlEIlFB83ql

8、FB 解法二：將支座解法二：將支座A A對(duì)截對(duì)截面轉(zhuǎn)動(dòng)的約束看成多余面轉(zhuǎn)動(dòng)的約束看成多余約束，變形協(xié)調(diào)條件為：約束，變形協(xié)調(diào)條件為：0A 02433EIqlEIlMA82qlMA例：為了提高懸臂梁例：為了提高懸臂梁AB的強(qiáng)度和剛度，的強(qiáng)度和剛度， 用短梁用短梁CD加固。設(shè)二梁加固。設(shè)二梁EI相同，求相同，求 (1) 二梁接觸處的作用力；二梁接觸處的作用力； (2)加固前后加固前后B點(diǎn)撓度的比值；點(diǎn)撓度的比值； (3)加固前后加固前后AB梁最大彎矩的比值。梁最大彎矩的比值。解：解：(1)(1)基本靜定系如圖基本靜定系如圖PABCDD1X1X1變形協(xié)調(diào)條件為：變形協(xié)調(diào)條件為：1DDwwEIaXwD

9、331EIPaEIaXEIaPaEIaaXwD6536)5(6)2(33122111DDwwEIaXwD331EIPaEIaXwD6533311PX451(2)加固前后加固前后B點(diǎn)撓度變化值（變?。c(diǎn)撓度變化值（變小）EIPaaEIaXEIaXwB24252332131 (2)加固后加固后B點(diǎn)撓度的變化值（變小）點(diǎn)撓度的變化值（變?。〦IPaaEIaXEIaXwB24252332131 EIPawB3830加固前加固前B點(diǎn)撓度為：點(diǎn)撓度為：加固前后加固前后B點(diǎn)撓度的比值點(diǎn)撓度的比值64390001BBBBBwwwww (3)加固前后加固前后AB梁最大彎矩的比值梁最大彎矩的比值PaM20max加固前加固前AB梁最大負(fù)彎矩梁最大負(fù)彎矩加固后加固后AB梁最大彎矩梁最大彎矩PaMMD11max最大負(fù)彎矩最大負(fù)彎矩(思考思考:為何最大負(fù)彎矩在為何最大負(fù)彎矩在D1處處?)例：