專題特殊的平行四邊形

1、第二十一講：特殊的平行四邊形基礎(chǔ)知識知識點一：矩形：1. 矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形。2. 矩形的性質(zhì)：矩形的四個角都是直角；矩形的對角線平分且相等；3.矩形判定定理：.有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。對角線相等的平行四邊形是矩形。 有三個角是直角的四邊形是矩形。知識點二：菱形：1. 菱形的定義：鄰邊相等的平行四邊形。2. 菱形的性質(zhì)：菱形的四條邊都相等； 菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。3. 菱形的判定定理：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。 四條邊相等的四邊形是菱形。14. 菱形的面積：S ab （a、b為兩條對角線

2、）2典型例題分析例1：在菱形ABCD中，AB=5，對角線AC=6.若過點A作AE丄BC ,垂足為E,則AE思路分析：連接BD，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得 AC丄BD , AO= AC，然后根據(jù)勾股定理計算出2BO長，再算出菱形的面積，然后再根據(jù)面積公式BC ?AE= AC?BD可得答案.2解：解：連接BD，交AC于0點，四邊形 ABCD 是菱形， AB=BC=CD=AD=5 ,二 AC 丄 BD , A0= AC , BD=2B0 ,2/ AOB=90 °T AC=6 , A0=3 , B0= : f - =4, DB=8 ,11菱形 ABCD 的面積是 二朋C?DB= >6>8

3、=24 , BC?AE=24 , AE=,225例2:如圖，菱形ABCD的邊長為4,過點A、C作對角線AC的垂線，分別交 CB和AD的延長線于點E、F, AE=3，則四邊形AECF的周長為 .思路分析：根據(jù)菱形的對角線平分一組對角可得/BAC= / BCA，再根據(jù)等角的余角相等求出/ BAE= / E,根據(jù)等角對等邊可得 BE=AB，然后求出EC,同理可得AF，然后判斷出四邊形AECF是平行四邊形，再根據(jù)周長的定義列式計算即可得解.解：在菱形 ABCD 中，/ BAC= / BCA ,/ AE 丄 AC ,/ BAC+ / BAE= / BCA+ / E=90° /-Z BAE= /

4、 E ,二 BE=AB=4 , EC=BE+BC=4+4=8，同理可得 AF=8 , AD / BC，/四邊形 AECF是平行四邊形，四邊形 AECF 的周長=2 (AE+EC ) =2 ( 3+8) =22 .例3:如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，0為坐標(biāo)原點，四邊形 OABC是矩形，點A , C的坐標(biāo)分別為A (10, 0), C (0, 4),點D是0A的中點，點P為線段BC上的點.小明同學(xué)寫 出了一個以0D為腰的等腰三角形 ODP的頂點P的坐標(biāo)(3, 4),請你寫出其余所有符合這 個條件的P點坐標(biāo) (2, 4)或(8, 4).思路分析：根據(jù)點A、C的坐標(biāo)求出0A、0C,再根據(jù)線段中點的定義求

5、出0D=5,過點P作PE丄x軸于E,根據(jù)已知點 P (3, 4)判斷出0P=0D，再根據(jù)PD=0D利用勾股定理列 式求出DE的長，然后分點E在點D的左邊與右邊兩種情況求出0E,然后寫出點P的坐標(biāo)即可.解：解：T A (10, 0), C ( 0 , 4), / 0A=10 , 0C=4 ,點 D 是 0A 的中點，/ 0D=丄0A=2 X10=5 ,2 2過點P作PE丄x軸于E,則PE=0C=4 , P ( 3 , 4), 0P=：f.=5, 此時，0P=0D,當(dāng)PD=0D時，由勾股定理得，DE=_二=貞匸一,：=3,若點E在點D的左邊，0E=5 - 3=2 ,此時，點P的坐標(biāo)為(2 , 4)

6、,若點E在點D的右邊，貝U 0E=5+3=8 ,此時，點P的組別為(8 , 4),綜上所述,其余的點 P的坐標(biāo)為(2 , 4)或(8 , 4).故答案為：(2 , 4)或(8 , 4).對應(yīng)訓(xùn)練1. 菱形的兩條對角線長分別是6和8,則此菱形的邊長是 .2. 如圖，菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點0, H為AD邊中點，菱形 ABCD的周長為28 ,貝U 0H的長等于.DAC第2題圖3.如圖，在菱形ABCD中，E是AB邊上一點，且/ A= / EDF=60 °有下列結(jié)論：AE=BF ; DEF是等邊三角形； BEF是等腰三角形； / ADE= / BEF，其中結(jié)論正確的個 數(shù)是.

7、4. 在菱形 ABCD中，M , N分別在 AB , CD上，且 AM=CN , MN與AC交于點 0,連接B0.若/ DAC=28 °則/ 0BC的度數(shù)為 .5. 如圖，在矩形 ABCD中，邊AB的長為3,點E, F分別在AD , BC上，連接BE, DF ,EF, BD .若四邊形BEDF是菱形，且 EF=AE+FC，則邊BC的長為.BF CICB第5題圖第6題圖第7題圖6. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，若菱形ABCD的頂點A , B的坐標(biāo)分別為（-3, 0）, （2, 0）,點D在y軸上，則點C的坐標(biāo)是.7. 如圖，分別以直角 ABC的斜邊AB，直角邊AC為邊向 ABC外

8、作等邊 ABD和等邊 ACE ,F為AB的中點，DE與AB交于點G,EF與AC交于點H, Z ACB=90 °Z BAC=30。.給出如下結(jié)論：EF丄AC;四邊形ADFE為菱形；AD=4AG;FH= _BD其中正確結(jié)論的為（請將所有正確的序號都填上）8. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形 OABC的頂點A、C的坐標(biāo)分別為（10, 0） , （ 0, 4）, 點D是OA的中點，點P在BC上運動，當(dāng) ODP是腰長為5的等腰三角形時，點 P的坐標(biāo)為.第10題圖9. 如圖，在四邊形 ABCD中，對角線 AC , BD交于點 O, OA=OC , OB=OD，添加一個條 件使四邊形ABCD是菱形

9、，那么所添加的條件可以是（寫出一個即可）10. 如圖，四邊形 ABCD中，E, F, G, H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點.若四邊形EFGH為菱形，則對角線 AC、BD應(yīng)滿足條件.11. 如圖，在四邊形 ABCD中，AB=AD , BC=DC , AC、BD相交于點 O,點E在AO 上, 且 OE=OC .(1) 求證：Z 1 = Z 2;(2) 連結(jié)BE、DE，判斷四邊形 BCDE的形狀，并說明理由.DCB12. 如圖，已知 ABC，按如下步驟作圖： 分別以A , C為圓心，大于 AC的長為半徑2畫弧，兩弧交于 P, Q兩點；作直線PQ，分別交AB , AC于點E, D，連接CE;過

10、 C作CF / AB交PQ于點F,連接AF .(1) 求證： AED CFD ;(2) 求證：四邊形 AECF是菱形.B13. 如圖，在三角形紙片 ABC中，AD平分/ BAC，將 ABC折疊，使點A與點D重合, 展開后折痕分別交 AB、AC于點E、F，連接DE、DF.求證：四邊形 AEDF是菱形. 知識點三：正方形：1. 正方形定義：一個角是直角的菱形或鄰邊相等的矩形。2. 正方形的性質(zhì)：四條邊都相等，四個角都是直角。正方形既是矩形，又是菱形。3. 正方形判定定理：鄰邊相等的矩形是正方形。有一個角是直角的菱形是正方形。典型例題分析例1：正方形ABCD和正方形 CEFG中，點D在CG 上, B

11、C=1，CE=3，H是AF的中點,思路分析：連接AC、CF，根據(jù)正方形性質(zhì)求出 AC、CF，/ ACD= / GCF=45 °再求出/ ACF=90 °然后利用勾股定理列式求出AF，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答即可.解：如圖，連接AC、CF,正方形 ABCD和正方形 CEFG中，BC=1 , CE=3 , AC=匚，CF=3 二，/ ACD= / GCF=45 °:丄 ACF=90 °由勾股定理得，AF=腫+廠=、工二二:，？ 山2 "， H是AF的中點， CH= AF= >2 匸=匸.2 2點評：本題考查了直角三角形斜

12、邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵.例2：如圖，點B (3, 3)在雙曲線 滬丄(x> 0) 上，點D在雙曲線y= - : (xv 0)上，點XXA和點C分別在x軸，y軸的正半軸上，且點 A, B , C, D構(gòu)成的四邊形為正方形.(1 )求k的值；(2)求點A的坐標(biāo).思路分析：(1)把B的坐標(biāo)代入求出即可；(2)設(shè) MD=a , OM=b，求出ab=4,過D作DM丄x軸于M，過B作BN丄x軸于N,證 ADM BAN，推出 BN=AM=3 , MD=AN=a，求出 a=b，求出 a 的值即可.解：解：(1廠點B (3,

13、 3)在雙曲線y='上， k=3X3=9 ;y4(2) B (3, 3), BN=ON=3，設(shè) MD=a , OM=b , D 在雙曲線 y= - (xv 0) 上,X ab=4,過D作DM丄x軸于 M，過B作BN丄x軸于N ,則/ DMA= / ANB=90 ° 四邊形 ABCD 是正方形，DAB=90 ° AD=AB , MDA+ / DAM=90 °/ DAM+ / BAN=90 ° ,ADM= / BAN ,'ZMDA-ZNAB在厶 ADM 和厶 BAN 中,ZD1HA=ZANB , ADM BAN (AAS ),lAD=BA B

14、N=AM=3 , DM=AN=a , 0A=3 - a,即 AM=b+3 - a=3 , a=b ,/ ab=4 , a=b=2,. 0A=3 - 2=1，即點 A 的坐標(biāo)是(1, 0).點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運用性質(zhì)進(jìn)行推理和計算的能力，題目比較好，難度適中.例3:女口圖，在Rt ABC中，/ ACB=90 °過點C的直線 MN / AB , D為AB邊上一點， 過點D作DE丄BC,交直線 MN于E，垂足為F,連接CD、BE.(1) 求證：CE=AD ;(2) 當(dāng)D在AB中點時，四邊形 BECD是什么特

15、殊四邊形？說明你的理由；(3) 若D為AB中點，則當(dāng)/ A的大小滿足什么條件時，四邊形 BECD是正方形？請說明思路分析：(1)先求出四邊形 ADEC是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出即可；(2) 求出四邊形 BECD是平行四邊形，求出 CD=BD，根據(jù)菱形的判定推出即可；(3) 求出/ CDB=90 °再根據(jù)正方形的判定推出即可.解：(1)證明：T DE 丄 BC， / DFB=90 °/ ACB=90 ° ACB= / DFB , AC / DE ,/ MN / AB，即CE/ AD，四邊形 ADEC是平行四邊形， CE=AD ;(2) 解：四邊形 BEC

16、D是菱形，理由是： D為AB中點， AD=BD ,/ CE=AD , BD=CE , BD / CE ,四邊形BECD是平行四邊形，/ ACB=90 ° D 為 AB 中點， CD=BD，四邊形 BECD 是菱形；(3) 當(dāng)/ A=45。時，四邊形 BECD是正方形，理由是：解：I/ ACB=90 ° / A=45 ° ABC= / A=45 ° AC=BC ,/ D 為 BA 中點， CD 丄 AB , / CDB=90 °四邊形BECD是菱形，四邊形 BECD是正方形，即當(dāng)/ A=45。時，四邊形 BECD是正方形.點評：本題考查了正方形的

17、判定、平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運用定理進(jìn)行推理的能力.對應(yīng)訓(xùn)練1. 如圖，在正方形 ABCD中，AC為對角線，點 E在AB邊上，EF丄AC于點F,連接EC,2.如圖所示，E是正方形 ABCD邊BC上任意一點，EF丄BO于F, EG丄CO于G,若AB=10 厘米，則四邊形 EGOF的周長是厘米.第2題圖第3題圖第4題圖3. 如圖，在正方形 ABCD中，邊長為2的等邊三角形 AEF的頂點E、F分別在BC和CD 上，下列結(jié)論： CE=CF ;/ AEB=75 °BE+DF=EF ;S正方形abcd=2+J5 .其中正確的序號是(把你認(rèn)為正確的

18、都填上)4. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD頂點A的坐標(biāo)為(0, 2) , B點在x軸上，對角線AC , BD交于點M , 0M=二則點C的坐標(biāo)為.5. 已知：如圖，在 ABC中，AB=AC , AD丄BC ,垂足為點 D , AN是厶ABC外角/ CAM 的平分線，CE丄AN，垂足為點E,(1) 求證：四邊形ADCE為矩形；(2) 當(dāng)厶ABC滿足什么條件時，四邊形 ADCE是一個正方形？并給出證明.答案：1.5 2.3.53.4.62 ° ( AMO CNO (ASA ) )5.解：四邊形 ABCD是矩形，/ A=90 ° 即 BA 丄 BF ,四邊形 BEDF

19、 是菱形，二 EF丄 BD，/ EBO= / DBF , / EF=AE+FC , AE=CF , EO=FO AE=EO=CF=FO , AB=BO=3，/ ABE= / EBO , / ABE= / EBD= / DBC=30 ° BE= '=2:,cos30 BF=BE=2 ； , CF=AE= : , BC=BF+CF=3 : , 6. (5 , 4)7.根據(jù)已知先判斷 ABCEFA ,則/ AEF= / BAC ,得出EF± AC ,由等邊三角形的性質(zhì)得出/ BDF=30 °從而證得 DBF EFA,則AE=DF ,再由FE=AB ,得出四邊形

20、ADFE 為平行四邊形而不是菱形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD=4AG ,從而得到答案. 8.當(dāng)厶ODP是腰長為5的等腰三角形時，有三種情況，需要分類討論故答案為：(2 , 4)或(3 , 4)或(8 , 4) . 9. AB=AD . 10. : E , F , G , H 分別是邊 AB、BC、CD、DA 的中點，在 ADC 中，HG ADC 的中位線，所以 HG / AC 且 HG= AC ;同理 EF / AC 且 EF=AC ,同理可得 EH=BD ,貝U HG / EF 且 HG=EF ,2 2四邊形EFGH為平行四邊形，又 AC=BD ,所以EF=EH，四邊形EFGH為菱形.故答

21、案為：AC=BDrAD=AB11. (1)證明：在 ADC 和厶 ABC 中,*&© ADC ABC (SSS),ldc=bc/仁/ 2; (2)四邊形BCDE是菱形；證明：/1= / 2,. AC垂直平分BD ,OE=OC,.四邊形 DEBC是平行四邊形，T AC丄BD，四邊形 DEBC是菱形.12. 解：(1)由作圖知：PQ為線段AC的垂直平分線， AE=CE , AD=CD ,/ CF / ABEAC= / FCA，/ CFD= / AED ,'ZEAC-ZPCA在厶 AED 與厶 CFD 中， M二CD, AED CFD;lzcfd=zaed(2) AED也厶

22、CFD , AE=CF , v EF為線段 AC的垂直平分線， EC=EA , FC=FA , EC=EA=FC=FA，四邊形 AECF 為菱形.13. 證明：v AD 平分/ BAC BAD= / CAD 又v EF±AD，/ AOE= / AOF=90 ° ZEAO=Z?AO在厶 AEO 和厶 AFO 中二畫, AEO AFO (ASA ) , EO=FOlzaoe=zaof又v A點與D點重合， AO=DO , EF、AD相互平分，.四邊形 AEDF是平行四邊形又EF丄AD，平行四邊形 AEDF為菱形.答案：1.解：v四邊形 ABCD是正方形，AC為對角線，/ EAF

23、=45 °,又 v EF 丄 AC，/ AFE=90 ° / AEF=45 ° EF=AF=3 ,2 2 2 2 EFC 的周長為 12, FC=12 - 3 - EC=9 - EC,在 Rt EFC 中，EC =EF +FC，二 EC =9+ (9 - EC) 2,解得EC=5 故答案為：5.2. 解：v EF 丄 BO 于 F, EG 丄 CO,/ BAC= / ACB=45 BFE , CGE是等腰直角三角形 BF=EF , EG=GC四邊形 EGOF 的周長 OF+EF+OG+CG=OB+OC=BD=1O cm 故答案為 10.3. 解：v四邊形 ABCD

24、是正方形， AB=AD , AEF是等邊三角形， AE=AF ,AR=AFi 在 Rt ABE 和 Rt ADF 中Rt ABE 也 Rt ADF (HL ) , BE=DF ,AE=AFv BC=DC , BC - BE=CD - DF , CE=CF，說法正確；v CE=CF , ECF 是等腰直角三角形，/ CEF=45 ° °v/ AEF=60 ° AEB=75 ° ° 說法正確；如圖，連接AC ,交EF于G點， AC丄EF ,且AC平分EF ,v/ CAF 立 DAF , DF 豐G , BE+DF EF , 說法錯誤；v EF=2 , CE=CF=.:,設(shè)正方形的邊長為 a,在Rt ADF中，AD2+DF2=AF2 ,即