高數(shù) 隱函數(shù)與參數(shù)方程求導

1、1主講教師主講教師: 王升瑞王升瑞 高等數(shù)學 第十三講2第四節(jié)一、隱函數(shù)的導數(shù)一、隱函數(shù)的導數(shù)三、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù)三、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù) 隱函數(shù)與參數(shù)方程求導 第二章 二、對數(shù)求導法二、對數(shù)求導法331yx一、隱函數(shù)的導數(shù)一、隱函數(shù)的導數(shù)若由方程0),(yxF可確定 y 是 x 的函數(shù) ,由)(xfy 表示的函數(shù) , 稱為顯函數(shù)顯函數(shù) .例如例如,013 yx可確定顯函數(shù)可確定 y 是 x 的函數(shù) ,但此隱函數(shù)不能顯化 .此函數(shù)為隱函數(shù)隱函數(shù) .則稱如如 010yex1 ey0111yex1y0121yyxexy40),(yxF0),(ddyxFx兩邊對 x 求導(含導數(shù) 的

2、方程)y隱函數(shù)求導方法求導方法: 例例1 設 xyy 是由方程0exyey所確定的，求.y解：解：方程兩邊同時對 x 求導。0yxyyey.yyyex5例例2 求由方程03275xxyy)(xyy 在 x = 0 處的導數(shù).0ddxxy解解: 方程兩邊對 x 求導)32(dd75xxyyx得xyydd54xydd21621x(*)0因 x = 0 時 y = 0 , 故210ddxxy0確定的隱函數(shù)代入(*)求解。6例例3. 求橢圓191622yx在點)3,2(23處的切線方程.解解: 橢圓方程兩邊對 x 求導8xyy920y2323xy43故切線方程為323y43)2( x即03843 yx

3、將點)3,2(23代入03341y7求其反函數(shù)的導數(shù) .,xexy解解:xyddyxdd方法方法1xe1y1xe11方法方法2 等式兩邊同時對 求導y1yxddxeyxddyxddxe11例例4. 設8)(xyy 由方程eyxey確定 , , )0(y解解: 方程兩邊對 x 求導, 得0yxyyey再求導, 得2yey yxey)(02 y當0 x時, 1y故由 得ey1)0(再代入 得21)0(ey 求. )0(y 例例5 設若求.,yy .xeyyy.22xeyeyyyy 再將y代入上式。9觀察函數(shù),)4(1) 1(23xexxxy方法方法: : 先在方程兩邊取對數(shù), 對數(shù)求導法對數(shù)求導法

4、-適用范圍適用范圍: :.)()(的情形數(shù)多個函數(shù)相乘和冪指函xvxu二、對數(shù)求導法二、對數(shù)求導法.sinxxy 然后利用隱函數(shù)的求導方法求出導數(shù).10例例6. 求)0(sinxxyx的導數(shù) . 解解: 兩邊取對數(shù) , 化為隱式xxylnsinln兩邊對 x 求導yy1xx lncos xxsin)sinlncos(sinxxxxxyx11 1) 對冪指函數(shù)vuy 可用對數(shù)求導法求導 :uvylnlnyy1uv lnuvu)ln(uvuuvuyvvuuyvlnuuvv1說明說明: :按指數(shù)函數(shù)求導公式按冪函數(shù)求導公式注意注意:12例例7 求下列函數(shù)的導數(shù))01,0,0(xbabaaxxbbay

5、bax兩邊取對數(shù)yln兩邊對 x 求導yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxaxbbaxlnlnlnxbalnlnaxb.y1.132. )4)(3()2)(1(xxxxyuuu )ln(21lny對 x 求導21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111xxxx兩邊取對數(shù)2ln1lnxx4ln3lnxx11x21x31x41xuuuuuuu)ln(ln0求.y14例例8. 設,)2(2)(sin32lntanxxxxxyxx求.y1y2y提示提示: 分別用對數(shù)微分法求.,21yy答案答案: :21yyy) 1sinln(sec)(sin2tanxxxx32ln)

6、2(31xxxx)2(32)2(3ln21xxxxx15三、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù)三、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù)若變量 y 是 x 的函數(shù)， 其對應關系是通過第三個變量 t 聯(lián)系在一起的，即 x , y 是 t 的函數(shù),這就是參數(shù)方程。參數(shù)方程的一般形式為： tytx t 是參變量。例如：例如：242tytx表示拋物線2xy taytaxsincos表示半徑為 a 的圓：222ayx例如：例如： 炮彈以初速度 v0 與水平方向角 t 射出， 其運動軌跡方程為：20021sincosgtatvyatvx表示。又如：又如：16若參數(shù)方程)()(tytx可確定一個 y 與 x 之間的函數(shù))(,

7、)(tt可導, 且,0 )( )(22tt則0)( t時, 有xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt0)( t時, 有yxddyttxddddtytxdd1dd)()(tt(此時看成 x 是 y 的函數(shù) )關系,參數(shù)方程求導參數(shù)方程求導17)cos1 (tay求在2t處的切線方程。解解：點坐標：) 12(axay 2txdyd2ttasin)cos1 (ta12t切線方程：12axay例例9 已知擺線方程xa2yo)sin(ttax18, 求01sin232ytettxy.dd0txy解解： txddye0ddtty0ddtxy例例10 設方程組兩邊同時對 t 求導, 得26

8、ttyddtsin0ddtyteycostxtydddd2e0t1y20ddttxe19極坐標：極坐標：若將直角坐標系中的原點取為極點極點，M軸的正半軸取為極軸極軸。0 xx設直角坐標系中點yx,的坐標M極坐標系中點M的坐標, r, rrsincosryrxxyryxtan222r020 oMr稱為極坐標的極徑極徑。稱為極坐標的極角極角。把y由極軸出發(fā)逆時針方向為正。兩坐標系中變量間關系：yx20r在對應于的點處的切線方程.解解: 化為參數(shù)方程sincosryrxcossinxyddddyddxcossinsincos當時對應點斜率xykdd222, ),0(2M 切線方程為22xy2例例11

9、 求螺線21 求參數(shù)方程)()(tytx所表示的函數(shù))(xfy 的二階導數(shù).解解: 已知xdyd存在則22xdyd)(xdydxdd)(2t)()(tt )()(tt )(t)()()()()(3ttttt )(xdydt dd)(),(,)()(tttt 且tdxd)()(ttxdyd)(tx)()(tytx22xdyddxyd)()(tt也可使用一階導數(shù)22例例12 設求.dd22xy,1221tytxxydd2211tt22ddxytt2131t,1221tytx)()(dd22ttxy,)()(ttxydd?已知注意注意 :t1則有2211ttdxyd23ttx22) 1ln( ty求

10、22,.d yd yd xdx解解：xdyd) 1ln(t)2(2 tt) 1(211tt2) 1(21t例例13 設22dxyd2121t12t4121t22) 1(212tyttxdxyd24)(tfx, 且,0)( tf求.dd22xy ddxy)(tft )(tf , t tft1)(tf 已知解解:)()(tftfty例例14)(tfxty 22dxyddxyd25內(nèi)容小結內(nèi)容小結1. 隱函數(shù)求導法則直接對方程兩邊求導2. 對數(shù)求導法 :適用于冪指函數(shù)及某些用連乘,連除表示的函數(shù)3. 參數(shù)方程求導法極坐標方程求導轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化求高階導數(shù)時,從低到高每次都用參數(shù)方程求導公式26作業(yè)作業(yè)P109 1 ;