高等數(shù)學上期末復(fù)習資料大全

1、 高等數(shù)學復(fù)習高等數(shù)學復(fù)習一、極限取對數(shù)，得令解,)arctan2( xxy取極限得 , )arctan2ln( lnxxy)arctan2ln(lim lnlimxxyxx)1 ()arctan2(lim 1xxx例)0(xxxxxx1arctanln2lnlim1arctan2lnlim)00( 2-arctan1lim1arctan11lim2222xxxxxxxx.)arctan2(lim 2x exx故例例2xxxdttdtttan0sin00sintanlim)00()(tan)sin(tan)(sin)tan(sinlim0 xxxxxxxxx30cos)sin(tan)tan(

2、sinlimxxxtansinlim0 xxx0lim.1).0(11x1(7)0)(x x)(1 (6) 0)(x x21cosx-1 (3)0)(x ln1a (5) 0)(x )2(0)(xx x)ln(1 (4) 0)(xx sinx (1)n2xxxnxaxxtgx窮小熟記幾個重要的等價無要 例例 3xxdttxtfxxsin)(lim30220=utx22-2tdt=duxxduufxxsin)(21lim30024002)(lim21xduufxx32042)(lim21xxxfx220)(lim41xxfx)00(設(shè)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù),且f(0)=0,求, 1)0(

3、f解解xxdttxtfxxsin)(lim302204)0(f 0)0()(lim41220 xfxfx.4100 如果如果f(x)在在a,b 上連續(xù)上連續(xù),則積分上限的函數(shù)的導數(shù)則積分上限的函數(shù)的導數(shù)).()()(xfdttfdxdxxa推廣推廣:當積分上、下限都是的函數(shù)時，有以下的求導公式當積分上、下限都是的函數(shù)時，有以下的求導公式)()()()()()()(xxfxxfdttfdxdxx)()()(xfdttfdxddttfdxdxbbx)()()()(xxfdttfdxdxa).()()()(xtfdttfdxdbx22122)0, 0(),()1 (limyxyxyx解解,u22yx

4、 令0.u0, 0時，當yx則22122)0, 0(),()1 (limyxyxyxuuu10)1 (lim. e例例4 求極限求極限 .)(2tan)1ln(lim00yxxyyx例例5 求極限求極限 ,uxy令解解0.u0, 0時，當yx則)(2tan)1ln(lim00yxxyyxuuu2tan)1ln(lim0uuu2lim0.21二、導數(shù)和偏導數(shù)二、導數(shù)和偏導數(shù)例例 6 解解yeyx求),cos(ln.,cos,ln)cos(lnxxevvuuyeydxdvdvdududydxdyxevu)sin(1xxxeee)cos()sin().tan(xxee (不寫出中間變量不寫出中間變量

5、) )cos(lnxedxdy )cos()cos(1xxee)()cos()sin(xxxeee).tan(xxeedy及例例 7 計算由擺線的參數(shù)方程 )cos1 (),sin(tayttax所確定的函數(shù)y=y(x)的導數(shù)解解為整數(shù)）nntttatadtdxdtdydxdy,2( 2cot)cos1 (sin 例例 8.)(),(),(2dxdytftfytfx存在且不為零，求設(shè)設(shè)解解dtdxdtdydxdy )()()(2 tftftf2f(t). .sincos)(dxdyxeytexxyytt給出，求由參數(shù)方程練習：設(shè)函數(shù)例例9. 設(shè))(xyy 由方程確定 , .y 求解法解法1方程

6、兩邊對 x 求導, 得利用隱函數(shù)求導,).(:xyyxy的函數(shù)視作將01sinyxeyx中，在方程01sinyxeyx0cosyxyeyyx xy cosyexy利用公式.令令解法解法21sin),(yxeyyxFx, yeFxx.cosxyFyyxFFy xy cosyex說明：利用公式法說明：利用公式法求導時，將方程求導時，將方程F(x,y,)=0中中x,y,視作視作獨立變量；利用隱獨立變量；利用隱函數(shù)求偏導時，將函數(shù)求偏導時，將y視作視作x,的函數(shù)：的函數(shù)：y=y(x,).例例10確定的隱函數(shù)求方程3xzeyzxy.,),(yxzzyxzz的偏導數(shù)解法解法1利用公式. 令令. 3),(x

7、zeyzxyzyxF則則,xzxzeyF, zxFy,xzzxeyFzxFFxz,xzxzxeyzeyzyFFyz.xzxeyzx利用公式法求偏利用公式法求偏導時，將方程導時，將方程F(x,y,z)=0中中x,y,z視作獨立變量視作獨立變量.解法解法2 利用隱函數(shù)求導中，在方程03xzeyzxy).,(:,yxzzyxz的函數(shù)視作將方程兩端關(guān)于方程兩端關(guān)于x求偏導，得求偏導，得, 0)(xxzxxzzeyzyxz,xzxzxeyzey方程兩端關(guān)于方程兩端關(guān)于y求偏導，得求偏導，得, 0)(yxzyxzeyzzxyz.xzxeyzx說明：利用公式法求偏導時，將方程說明：利用公式法求偏導時，將方程

8、F(x,y,z)=0中中x,y,z視作獨立變量；利用隱函數(shù)求偏導時，將視作獨立變量；利用隱函數(shù)求偏導時，將z視作視作x,y的的函數(shù)：函數(shù)：z=z(x,y).2zxuzffyfxu 3210)(2xuzzxu例例 12 設(shè) u=f(xy,yz,zx,),其中f是具有二階偏導數(shù)的函數(shù)，求解解.31f zf y13122fxyfy )0(333231xfyffz 3f 3332fzxfzy )0(131211xfyffy 例例11 求.)ln21 (dxxx三、積分xln21xlnd解解: 原式 =xln2121)ln21 (dxCx ln21ln21xbx2222cossinatgxdx 12 例

9、xdxbxtg2222secatgx dtgxbxtg222atgx 2222222)(21bxtgabxtgada.|ln212222Cbxtgaa)0, 0(ba常用的幾種配元形式常用的幾種配元形式: xbxafd)() 1 ( )(bxaf)(dbxa a1xxxfnnd)()2(1)(nxfnxdn1xxxfnd1)()3()(nxfnxdn1nx1萬能湊冪法xxxfdcos)(sin)4()(sin xfxsindxxxfdsin)(cos)5()(cosxfxcosdxxxfdsec)(tan)6(2)(tan xfxtandxeefxxd)()7()(xefxedxxxfd1)(

10、ln)8()(ln xfxlnddxxxx22sin2cos2sin例例12 求解解dxxxx22sin2cos2sinxxd22sin1)(sindxxxxx22sin2coscossin2xxd22sin1)sin1 (.)sin1ln(2Cx 例13 求不定積分解：解：利用湊微分法 ,xx22sin2sin1原式 =)sin1 (d2x令xt2sin1tttd1222ttd)111 (22t 2Ct arctan2Cxx22sin1arctansin12得.dsin2sin1cossin222xxxxx例例14 求dxex10（換元和分布積分法結(jié)合使用）（換元和分布積分法結(jié)合使用）解解:

11、 令, tx則,2tx ttxd2d . 1100txtx時，當時，當dxex10dttet102102ttde)1(2ee. 2| )(21010dtetett22331xxy 例例14 求函數(shù) 的極值點，拐點，單調(diào)區(qū)間，凹凸區(qū)間.解解),2(22xxxxy).1(222 xxy,0 y令2,0 x得,0 y令1x得xyy y012)0,() 1 ,0()2, 1 (),2(00234(極大)(拐點）32(極小)0極大值；極小值：; 2)0(f,32)2(f拐點：).34, 1 (四、應(yīng)用題四、應(yīng)用題例例15 計算兩條拋物線22,xyxy在第一象限所圍所圍圖形的面積 . xxy 2oy2xy

12、 xxxd解解: 由xy 22xy 得交點) 1, 1 ( , )0,0() 1 , 1 (1xxxAdd22332x01331x3110A平面圖形的面積平面圖形的面積平面直角坐標下圖形的面積平面直角坐標下圖形的面積(1)由曲線)0()(xfy與直線)(,babxax及 x 軸所圍曲xbaoy)(xfy xxxdxxfAbad)(邊梯形面積為 A .,)(dxxfdA 其中被積表達式f(x)dx就是直角坐標下的面積元素,它表示高為f(x)、底為dx的一個矩形面積. (2)由曲線由曲線 ,直線直線y=c,y=d(c0,)(1)()(baxdttfdttfxFxbxa證明證明;2)()1 ( xF

13、(2) 方程F(x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)有且有一個根.6. 求函數(shù) 在點 P(1, 1, 1) 沿向量zyxu2 的方向?qū)?shù) .)3 , 1,2(lPlu146證明證明,2)(1)(2xfxf)(1)()()1 (xfxfxFabaadttfdttfaF)(1)()()2(,0)(1badttfbbbadttfdttfbF)(1)()(,0)(badttf因為積分上限的函數(shù)可導,知F(x)在a,b上連續(xù),又由零點定理可知:方程F(x)=0在(a,b)內(nèi)至少有一個根; 又因 所以F(x)在上單調(diào)遞增,從而方程F(x)=0 在(a,b內(nèi)僅有有一個根.,02)( xF. 0)(),(. 3)()()(,),(, 1)(),(,)(. 72121cfbacxfxfafxxbabfbabaxf使得求證：滿足中兩點又有內(nèi)可導，上連續(xù)，在開區(qū)間在閉區(qū)間設(shè)函數(shù)證明證明 由于f(x)在a,b上連續(xù),故f(x)在a,b上存在