隱函數(shù)的求導(dǎo)公式60041

1、第五節(jié)第五節(jié) 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式一一.一個(gè)方程的情形一個(gè)方程的情形二二.方程組的情形方程組的情形三三.小結(jié)小結(jié)0),(. 1 yxF一、一個(gè)方程的情形一、一個(gè)方程的情形隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理 1 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxF在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yxP的的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且0),(00 yxF，0),(00 yxFy，則方程，則方程0),( yxF在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yxP的的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù))(xfy ，它滿足條件，它滿足條件)(00 xfy ，

2、并，并有有 yxFFdxdy . .隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式例例 驗(yàn)驗(yàn)證證方方程程0122 yx在在點(diǎn)點(diǎn))1 , 0(的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)能能唯唯一一確確定定一一個(gè)個(gè)單單值值可可導(dǎo)導(dǎo)、且且0 x時(shí)時(shí)1 y的的隱隱函函數(shù)數(shù))(xfy ，并并求求這這函函數(shù)數(shù)的的一一階階和和二二階階導(dǎo)導(dǎo) 數(shù)數(shù)在在0 x的的值值. 解解令令1),(22 yxyxF則則,2xFx ,2yFy , 0)1 , 0( F, 02)1 , 0( yF依依定定理理知知方方程程0122 yx在在點(diǎn)點(diǎn))1 , 0(的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)能能唯唯一一確確定定一一個(gè)個(gè)單單值值可可導(dǎo)導(dǎo)、且且0 x時(shí)時(shí)1 y的的函函數(shù)數(shù))(xfy

3、函函數(shù)數(shù)的的一一階階和和二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為yxFFdxdy ,yx , 00 xdxdy222yyxydxyd 2yyxxy ,13y . 1022 xdxyd例例 2 2 已知已知xyyxarctanln22 ，求，求dxdy.解解令令則則,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy .xyyx 隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(zyxF在點(diǎn)在點(diǎn),(0 xP),00zy的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且,(0 xF0),00 zy，0),(000 zyxFz，則方程，則

4、方程,(yxF0) z在點(diǎn)在點(diǎn)),(000zyxP的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)),(yxfz ，它滿足條件，它滿足條件),(000yxfz ，并有并有 zxFFxz ， zyFFyz . .0),(. 2 zyxF例例 3 3 設(shè)設(shè)04222 zzyx，求求22xz .解解令令則則,4),(222zzyxzyxF ,2xFx , 42 zFz,2zxFFxzzx 22xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz 例例 4 4 設(shè)設(shè)),(xyzzyxfz ，求求xz

5、，yx ，zy .思路：思路：把把z看成看成yx,的函數(shù)對(duì)的函數(shù)對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)得求偏導(dǎo)數(shù)得xz ，把把x看看成成yz,的的函函數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)y求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)得得yx ，把把y看成看成zx,的函數(shù)對(duì)的函數(shù)對(duì)z求偏導(dǎo)數(shù)得求偏導(dǎo)數(shù)得zy .解解令令, zyxu ,xyzv 則則),(vufz 把把z看成看成yx,的函數(shù)對(duì)的函數(shù)對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)得求偏導(dǎo)數(shù)得xz )1(xzfu ),(xzxyyzfv 整理得整理得xz ,1vuvuxyffyzff 把把x看成看成yz,的函數(shù)對(duì)的函數(shù)對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù)得求偏導(dǎo)數(shù)得)1(0 yxfu),(yxyzxzfv 整理得整理得,vuvuyzffxzff yx 把把y看成看成zx,

6、的函數(shù)對(duì)的函數(shù)對(duì)z求偏導(dǎo)數(shù)得求偏導(dǎo)數(shù)得)1(1 zyfu),(zyxzxyfv 整理得整理得zy .1vuvuxzffxyff 例5：設(shè)求證例5：設(shè)求證(-,-)0,1.zzx az y bzabxy隱函數(shù)存在定理設(shè)三元函數(shù)是區(qū)域隱函數(shù)存在定理設(shè)三元函數(shù)是區(qū)域內(nèi)的類(lèi)函數(shù)，點(diǎn)且滿足內(nèi)的類(lèi)函數(shù)，點(diǎn)且滿足則方程組在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)唯一確則方程組在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)唯一確000000(1)000000000(,)(,)0003:( , , ),( , , )(,):(,)0,(,)0,(,)0( , )( , , )0(,)( , , )0yzxyzyzxyzF x y z G x y zCxyzF xyzG

7、xyzFFF GJy zGGF x y zxyzG x y z 二、方程組的情形二、方程組的情形1(1)0000( )()( )(),(,)(,)( , )( , ),(,)(,)( , )( , )yy xCyy xzz xzz xF GF Gdydzx zy xF GF Gdxdxy zy z 定一對(duì)類(lèi)的一元函數(shù)，它們滿足條件定一對(duì)類(lèi)的一元函數(shù)，它們滿足條件且有且有2226,.230 xyzdy dzdx dxxyz例6：已知，求 0),(0),(vuyxGvuyxF方程組的情形方程組的情形2隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理 4 4 設(shè)設(shè)),(vuyxF、),(vuyxG在在點(diǎn)點(diǎn)),(0000

8、vuyxP的某一鄰域內(nèi)有對(duì)各個(gè)變量的連的某一鄰域內(nèi)有對(duì)各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且0),(0000 vuyxF, ,),(0000vuyxG 0 ，且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式（或稱雅可比，且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式（或稱雅可比式）式） vGuGvFuFvuGFJ ),(),( 在點(diǎn)在點(diǎn)),(0000vuyxP不等于零，則方程組不等于零，則方程組 0),( vuyxF、 0),( vuyxG在點(diǎn)在點(diǎn)),(0000vuyxP的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)組單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)),(yxuu ，),(yxvv ，它們滿足條件，它

9、們滿足條件),(000yxuu , ,vv 0),(00yx，并有，并有,),(),(1vuvuvxvxGGFFGGFFvxGFJxu vuvuxuxuGGFFGGFFxuGFJxv ),(),(1,),(),(1vuvuvyvyGGFFGGFFvyGFJyu .),(),(1vuvuyuyuGGFFGGFFyuGFJyv 例例5 5 設(shè)設(shè)0 yvxu，1 xvyu， 求求 xu ，yu ，xv 和和yv . 解解1直接代入公式；直接代入公式；解解2運(yùn)用公式推導(dǎo)的方法，運(yùn)用公式推導(dǎo)的方法，將所給方程的兩邊對(duì)將所給方程的兩邊對(duì) 求導(dǎo)并移項(xiàng)求導(dǎo)并移項(xiàng)x, vxvxxuyuxvyxuxxyyxJ ,

10、22yx 在在0 J的條件下，的條件下，xyyxxvyuxu ,22yxyvxu xyyxvyuxxv ,22yxxvyu 將所給方程的兩邊對(duì)將所給方程的兩邊對(duì) 求導(dǎo)，用同樣方法得求導(dǎo)，用同樣方法得y,22yxyuxvyu .22yxyvxuyv 設(shè)設(shè) 其其中中 由由方方程程確確定定，求求 例例：222333,( , )-30u x y zz f x yuxyzxyzy 例、設(shè)例、設(shè) 2 22 20 0 求求ln,.xtyzzzedtx y （分以下幾種情況）（分以下幾種情況）隱函數(shù)的求導(dǎo)法則隱函數(shù)的求導(dǎo)法則0),()1( yxF0),()2( zyxF 0),(0),()3(vuyxGvuy

11、xF三、小結(jié)三、小結(jié)已已知知)(zyzx ，其其中中 為為可可微微函函數(shù)數(shù)，求求? yzyxzx思考題思考題思考題解答思考題解答記記)(),(zyzxzyxF , 則則zFx1 ，,1)(zzyFy ,)()(22zyzyzxFz ,)(zyyxzFFxzzx ,)()(zyyxzyzFFyzzy 于是于是zyzyxzx .一、一、 填空題填空題: :1 1、 設(shè)設(shè)xyyxarctanln22 , ,則則 dxdy_._. 2 2、設(shè)、設(shè)zxyz , ,則則 xz_,_, yz_._.二、二、 設(shè)設(shè),32)32sin(2zyxzyx 證明：證明：. 1 yzxz練練 習(xí)習(xí) 題題三三、 如如 果

12、果 函函 數(shù)數(shù)),(zyxf對(duì)對(duì) 任任 何何t恒恒 滿滿 足足 關(guān)關(guān) 系系 式式),(),(zyxfttztytxfk , ,則則稱稱函函數(shù)數(shù)),(zyxf為為 k次次齊齊次次函函數(shù)數(shù), ,試試證證: :k次次齊齊次次函函數(shù)數(shù)滿滿足足方方程程 ),(zyxkfzfzyfyxfx . . 四四、設(shè)設(shè).,3233yxzaxyzz 求求 五五、求求由由下下列列方方程程組組所所確確定定的的函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)或或偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù): : 1 1、 設(shè)設(shè) 203222222zyxyxz , ,求求.,dxdzdxdy 2 2、 設(shè)設(shè) ),(),(2yvxugvyvuxfu，求求.,xvxu （其其中中g(shù)f ,

13、具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)） 六、六、 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xu由方程組由方程組 0),(0),(),(zxhzyxgyxfu所確定所確定, , 且且., 0, 0dxduzhyg求求 ( (hgf,均可微均可微) )七、七、 設(shè)設(shè)),(txfy 而而t是由方程是由方程0),( tyxF所確定的所確定的yx,的函數(shù)的函數(shù), ,求求.dxdy八、八、 設(shè)設(shè)),(yxzz 由方程由方程),(xzyyxxF =0=0 所確定所確定, , 證明證明: :xyzyzyxzx . .一、一、1 1、yxyx ； 2 2、yyxzzzzxxlnln1 ； 3 3、yyxzzyzxzln11 . .四、四、3222242)()2(xyzyxxyzzzyxz .