工程數(shù)學(xué)主要內(nèi)容與方法

1、工程數(shù)學(xué)主要內(nèi)容與方法問(wèn)答題集錦遼寧工學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)教研室編二。五年四月為幫助學(xué)生更好地掌握工程數(shù)學(xué)（包括線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)）的主要內(nèi)容與方法，根據(jù)我們多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)編寫(xiě)了這本工程數(shù)學(xué)主要內(nèi)容與方法問(wèn)答題集錦，希望它能在學(xué)生的學(xué)習(xí)中起到答疑解惑的作用。本書(shū)線性代數(shù)部分是按照同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系編寫(xiě)的線性代數(shù)（第四版）的章節(jié)順序編寫(xiě)；概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分是按照浙江大學(xué)盛驟等編寫(xiě)的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第三版）的章節(jié)順序編寫(xiě)。編者按篇章次序分別為：線性代數(shù)部分，第一、二章由闞永志編寫(xiě)，第三、四章由王賀元編寫(xiě)，第五章由石月巖編寫(xiě)；概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分，第一章由朱振廣編寫(xiě)，第二、三章由徐洪香編寫(xiě)

2、，第四、五章由劉秀娟編寫(xiě)，第六、七、八章由徐美進(jìn)編寫(xiě)；全書(shū)由石月巖統(tǒng)稿，佟紹成教授主審。在本書(shū)的編寫(xiě)中得到遼寧工學(xué)院數(shù)理科學(xué)系的領(lǐng)導(dǎo)和老師的大力支持與幫助，在此表示衷心的感謝。限于編者水平，加之編寫(xiě)時(shí)間倉(cāng)促，書(shū)中不妥和疏漏之處在所難免，敬請(qǐng)讀者批評(píng)指正。編者2005年4月于遼寧工學(xué)院目錄線性代數(shù)部分I.線性代數(shù)的研究對(duì)象是什么？（1）n.線性代數(shù)的主要內(nèi)容有哪些？（1）第一章行列式（1）1 余子式與代數(shù)余子式有什么特點(diǎn)？它們之間有什么聯(lián)系？（1）2 行列式有哪些性質(zhì)？（1）3 對(duì)角線法則對(duì)四階以上的行列式是否成立？（1）4 計(jì)算行列式通常采用的方法是什么？（2）5 克萊姆法則的適用條件是什么？

3、（2）第二章矩陣及其運(yùn)算（2）1 為什么要學(xué)習(xí)矩陣？（2）2 什么是矩陣的代數(shù)運(yùn)算？什么是矩陣的運(yùn)算系統(tǒng)？（2）3 為什么矩陣乘法不滿足交換律？（3）4 矩陣運(yùn)算系統(tǒng)與我們熟悉的實(shí)數(shù)運(yùn)算系統(tǒng)的本質(zhì)區(qū)別是什么？（3）5 矩陣與行列式有什么區(qū)別與聯(lián)系？（3）6 判斷矩陣可逆的常用方法有哪些？（4）7 什么是伴隨矩陣？它有哪些主要性質(zhì)？（4）8 求方陣A的高次冪有哪些常用的方法？（4）9 怎樣解矩陣方程？（5）10 什么是分塊矩陣，為什么要對(duì)矩陣進(jìn)行分塊？（5）第三章矩陣的初等變換與線性方程組（5）1一個(gè)非零矩陣的行最簡(jiǎn)形與行階梯形有什么區(qū)別和聯(lián)系？（5）2在求解有關(guān)矩陣的問(wèn)題時(shí)，何時(shí)只須化為階梯形

4、，何時(shí)宜化為行最簡(jiǎn)形？或者，它們?cè)诠δ苌嫌惺裁床煌?？?）3 矩陣的初等變換與初等矩陣有什么關(guān)系？引入初等矩陣有什么意義？（6）4 初等變換有哪些應(yīng)用？（7）5 求一個(gè)可逆矩陣的逆矩陣有哪些常用的方法？（7）6 .n階矩陣A是可逆矩陣的特征刻畫(huà)有哪些？（7）7 用初等行變換法求解線性方程組的主要步驟是什么？（8）8在求解帶參數(shù)的線性方程組時(shí)，對(duì)系數(shù)矩陣或增廣矩陣作初等行變換應(yīng)注意些什么？（8）9在求解線性方程組的通解時(shí)，常與教材中給出的答案不一致，這是否可以？（8）第四章向量組的線性相關(guān)性（9）1 線性相關(guān)與線性表示這兩個(gè)概念有什么區(qū)別和聯(lián)系？（9）2 對(duì)于向量組的線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的概念，能

5、否給出一些幾何上的解釋?zhuān)浚?）3 兩個(gè)矩陣的等價(jià)與兩個(gè)向量組的等價(jià)有什么區(qū)別和聯(lián)系？（10）4 矩陣的初等行（列）變換有哪些？它有什么重要應(yīng)用？（10）5 向量組的最大無(wú)關(guān)組有什么重要意義？（10）6 求向量組的最大無(wú)關(guān)組有哪些方法？（11）7 證明或判斷一個(gè)向量組線性相關(guān)或線性無(wú)關(guān)的常用方法有哪些？（11）8 求矩陣的秩有幾種方法？（11）9 矩陣的秩有哪些重要性質(zhì)？（12）10 矩陣的秩有哪些主要應(yīng)用？（12）11如何求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系？（12）12 齊次線性方程組Ax0的通解結(jié)構(gòu)是什么？（13）13 非齊次線性方程組Axb的通解結(jié)構(gòu)是什么？（14）第五章相似矩陣及二次型（15）1

6、 向量正交變換的幾何意義是什么？（15）2 矩陣的特征值有哪些主要性質(zhì)？（15）3 如何求方陣A的特征值與特征向量？（15）4 相似矩陣有哪些主要性質(zhì)？（15）5 n階矩陣A可相似對(duì)角化的充分必要條件是什么？（16）6 判斷矩陣A是否可對(duì)角化的基本方法有哪些？（16）7 方陣可相似對(duì)角化有什么意義？（16）8 實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值與特征向量有哪些性質(zhì)？（16）9 .已知n階方陣A可對(duì)角化,如何求可逆矩陣P,使得P1APdiag（1,2,n）?（ 17）10 實(shí)對(duì)稱矩陣正交相似對(duì)角化的步驟是什么？（17）11化實(shí)二次型fxTAx為標(biāo)準(zhǔn)形的常用方法有哪些？（17）12 .用正交變換化二次型fxTAx

7、為標(biāo)準(zhǔn)形的主要步驟是什么？（17）13 如何判別二次型fxTAx的正定性？（18）V概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分I.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究的對(duì)象是什么？（19）n.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究的主要內(nèi)容是什么？（19）m.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的主要任務(wù)是什么？（19）第一章概率論的基本概念（19）1 隨機(jī)事件的本質(zhì)是什么？（19）2 為什么把隨機(jī)事件定義成樣本空間的子集？（19）3 事件之間有幾種關(guān)系？（19）4 事件間有幾種運(yùn)算？（19）5 概率是什么？（20）6 概率的古典定義、幾何定義、統(tǒng)計(jì)定義和公理化定義有什么聯(lián)系？（20）7 隨機(jī)事件有兩次抽象，指的是什么？其意義何在？（20）8 什么是古典概型？如何計(jì)算

8、古典概型中事件的概率？（21）9 計(jì)算概率的常用公式有哪些？（21）10 什么是n重貝努利試驗(yàn)，計(jì)算有關(guān)事件概率的方法是什么？（22）11如何使用全概率公式和貝葉斯公式？（22）12 對(duì)立事件與互斥事件有何聯(lián)系與區(qū)別？（23）13 在實(shí)際應(yīng)用中，如何判斷兩事件的獨(dú)立性？（23）14 兩事件A,B相互獨(dú)立與A,B互不相容（互斥）這兩個(gè)概念有何關(guān)系？（23）15 概率為0的事件與“不可能事件”有何區(qū)別？有何關(guān)系？（24）16 什么是“1概事件”？“1概事件”與“必然事件”的關(guān)系如何？（24）17 什么是“實(shí)際推斷原理”？它有什么作用？它與小概率事件有什么關(guān)系？（24）第二章隨機(jī)變量及其分布（24）

9、1 為什么要引入隨機(jī)變量？（24）2 引入隨機(jī)變量的分布函數(shù)有哪些作用？（25）3 概率密度函數(shù)有哪些性質(zhì)？（25）4 .對(duì)于概率密度f(wàn)（x）的不連續(xù)點(diǎn)，如何從分布函數(shù)F（x）求得f（x）?（25）5 為什么說(shuō)正態(tài)分布是概率論中最重要的分布？（26）6 常見(jiàn)隨機(jī)變量的概率分布有哪些？（26）第三章多維隨機(jī)變量及其分布（28）1 如何判定一個(gè)二元函數(shù)是某個(gè)隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度？（28）2 邊緣分布與聯(lián)合分布的關(guān)系如何？（28）3 由相互獨(dú)立的隨機(jī)變量構(gòu)成的多維隨機(jī)變量，它們的聯(lián)合分布與邊緣分布有何關(guān)系？（28）4 如何由聯(lián)合分布確定兩個(gè)邊緣分布？（29）5 怎樣判別隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立

10、？（29）6 相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合是否仍為正態(tài)隨機(jī)變量？（29）第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征（30）1 隨機(jī)變量的數(shù)字特征有哪些？（30）2 隨機(jī)變量的分布與數(shù)字特征有何關(guān)系？（30）3 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差，在隨機(jī)變量的研究和實(shí)際應(yīng)用中，有何重要意義？（30）4 數(shù)學(xué)期望有哪些性質(zhì)？（30）5 方差有哪些性質(zhì)？（31）6 常用分布的期望、方差是什么？（31）7 .相關(guān)系數(shù)XY反映隨機(jī)變量X和Y的什么特性？（31）8 獨(dú)立性與不相關(guān)有何關(guān)系？（32）第五章大數(shù)定律及中心極限定理（32）1 大數(shù)定律說(shuō)明什么問(wèn)題？（32）2 中心極限定理的意義是什么？（32）第六章樣本及抽樣分布（33

11、）1 什么是統(tǒng)計(jì)量？為什么要引進(jìn)統(tǒng)計(jì)量？（33）2 常用的統(tǒng)計(jì)量有哪些？（33）3 正態(tài)總體的某些常用抽樣分布有哪些？（33）4 2分布、t分布、F分布及正態(tài)分布之間有哪些常見(jiàn)的關(guān)系？（34）第七章參數(shù)估計(jì)（34）1 常用的點(diǎn)估計(jì)方法有哪幾種？（34）2 矩估計(jì)法的步驟是什么？（35）3 極大似然估計(jì)法的步驟是什么？（35）4 未知參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)有何異同？（35）5 用矩估計(jì)法和極大似然估計(jì)法所得的估計(jì)是否是一樣的？（35）6 評(píng)價(jià)估計(jì)量好壞的常用標(biāo)準(zhǔn)是什么？（36）第八章假設(shè)檢驗(yàn)（36）1 假設(shè)檢驗(yàn)的依據(jù)是什么？（36）2 假設(shè)檢驗(yàn)可能產(chǎn)生的兩類(lèi)錯(cuò)誤是什么？（36） VII 3 假設(shè)

12、檢驗(yàn)的一般步驟是什么？36)線性代數(shù)主要內(nèi)容與方法問(wèn)答題集錦（部分內(nèi)容）I.線性代數(shù)研究的對(duì)象是什么？答：線性代數(shù)是數(shù)學(xué)的一門(mén)重要課程，它主要討論矩陣?yán)碚?，并以矩陣?yán)碚摓楣ぞ哐芯坑邢蘧S向量空間和線性變換理論。n.線性代數(shù)的主要內(nèi)容有哪些？答：主要內(nèi)容包括：行列式，矩陣及其運(yùn)算，矩陣的初等變換與線性方程組，向量組的.*.、線性相關(guān)性，相似矩陣及二次型，*線性空間與線性變換。第一章行列式1 余子式與代數(shù)余子式有什么特點(diǎn)？它們之間有什么聯(lián)系？答：在n階行列式Ddet（aij）中，元素aij的余子式是把D中第i行和第j列劃去后留下來(lái)的n1階行列式，實(shí)質(zhì)上它還是表示一個(gè)數(shù)，并且元素aij的余子式Mij和

13、代數(shù)余子式Aij僅與位置（i,j）有關(guān)，而與元素aij的數(shù)值大小和正負(fù)無(wú)關(guān)。它們之間的聯(lián)系是Aij（1）ijMij.因此，當(dāng)ij為偶數(shù)時(shí)，AijMij；當(dāng)ij為奇數(shù)時(shí)，AijMij.2 行列式有哪些性質(zhì)？答：行列式的性質(zhì)有： 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。 互換行列式的兩行（列），行列式變號(hào)。如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式等于零。 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式；或者，行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式記號(hào)的外面。 行列式中如果有兩行（列）的元素成比例，則此行列式等于零。 若行列式的某一行（列）的元素都是兩數(shù)之和，則此行列式可拆成兩個(gè)行列式

14、的和，這兩個(gè)行列式分別以這兩組數(shù)作為行（列），其余各行（列）與原行列式相同。 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一行（列）對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變。 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和。4計(jì)算行列式通常采用的方法是什么？答：計(jì)算行列式通常采用的方法有 對(duì)于二階與三階行列式可以用對(duì)角線法則； 對(duì)于特殊的行列式可采用行列式的定義去求； 利用行列式的性質(zhì)將行列式化為三角形行列式去計(jì)算； 利用行列式按行（列）展開(kāi)法則計(jì)算行列式； 利用數(shù)學(xué)歸納法計(jì)算n階行列式； 利用范德蒙行列式的結(jié)論計(jì)算特殊的行列式； 利用升階法（或加邊法）計(jì)算行列式。第二章矩陣及其運(yùn)算1

15、為什么要學(xué)習(xí)矩陣？答：矩陣是線性代數(shù)最重要的概念之一，由于對(duì)矩陣可以進(jìn)行運(yùn)算和變換，所以它成為線性代數(shù)的有力工具，是線性代數(shù)全部?jī)?nèi)容的紐帶和橋梁。它在數(shù)學(xué)與其他自然科學(xué)、工程技術(shù)、社會(huì)科學(xué)特別是經(jīng)濟(jì)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。例如，一般線性方程組有解的充要條件和作為解線性方程組基礎(chǔ)的克萊姆定理都可以用矩陣運(yùn)算導(dǎo)出；二次型的研究可以轉(zhuǎn)化為對(duì)稱矩陣的研究；由于線性變換與矩陣存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而可以利用矩陣來(lái)研究線性變換；向量組的線性相關(guān)性討論也可以利用矩陣來(lái)研究。3為什么矩陣乘法不滿足交換律？答：因?yàn)榘凑站仃嚦朔ǖ囊?guī)定，只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣A（左矩陣）的列數(shù)與第二個(gè)矩陣B（右矩陣）的行數(shù)相等時(shí)，兩個(gè)矩陣相乘

16、才有意義。否則無(wú)意義。另一方面，即使AB與BA都有意義，AB與BA仍然可以不相等?？傊?，矩陣的乘法不滿足交換律。即在一般情況下，ABBA.但是對(duì)于同階方陣A,B，|AB|BA|是一定成立的，這是因?yàn)閨AB|A|B|,|BA|B|A|.又對(duì)于數(shù)的運(yùn)算，交換律成立，即|A|B|B|A|，故|AB|BA|.6判斷矩陣可逆的常用方法有哪些？答：判斷矩陣可逆的常用方法有（1）若有方陣B，使ABE或BAE，則A可逆，且A1B.（2）計(jì)算方陣（如A）的行列式是否不為零，若|A|0,則A為可逆矩陣。-_*_（3）若A的伴隨矩陣A可逆，或AA|A|E0,則A可逆。(4)以后還會(huì)學(xué)到如下判別方法：若n階矩陣A的秩

17、R(A)n,則A可逆。同理，若AE,則A可逆。 若方程組Anxb有唯一解或Anx0只有零解，則A可逆。 若n階矩陣A的行(列)向量組線性無(wú)關(guān)，或?yàn)锳x0的基礎(chǔ)解系，則A可逆。 若n階矩陣A的行向量組或列向量組兩兩正交，則A可逆。若方陣A的特征值全不為0,則A可逆。7 .什么是伴隨矩陣？它有哪些主要性質(zhì)？答：方陣A的行列式|A|的各列(行)的各個(gè)元素的代數(shù)余子式寫(xiě)在同序數(shù)的行(列).，一一-.一.一一一.-.一.*上所構(gòu)成的矩陣，稱為矩陣A的伴隨矩陣，簡(jiǎn)稱伴隨陣。記為A.即若A(aj)nn,則A12A2nAi一*A的主要性質(zhì)有：_*AAAA|A|E；若|A|0,則A1A*,A*|A|A1.IA|

18、1若|A|0,|B|0,則(A)1(A1)A,(AB)|A|、，T*T(A)(A).(A*)*|A|n2A.三*n1*(kA)kA.8 .求方陣A的高次哥有哪些常用的方法？答：求方陣A的高次哥的常用方法有利用數(shù)學(xué)歸納法(找“規(guī)律”法)；“二項(xiàng)展開(kāi)式”法：分解ABC,且BCCB,利用二項(xiàng)展開(kāi)公式Ak(BC)kBkC：Bk1CCk.當(dāng)AT時(shí)，其中，均為n1矩陣，利用矩陣乘法的結(jié)合律Ak(T)k1T(T)k1A.“方陣的對(duì)角化”法：利用相似對(duì)角化，即求可逆矩陣P,使得IXkP1AP2，則AkP2P1.knn 可將大矩陣的運(yùn)算化為小矩陣的運(yùn)算，從而使運(yùn)算條理化； 可為某些命題的證明提供方法。第三章矩陣

19、的初等變換與線性方程組4 .初等變換有哪些應(yīng)用?答：求矩陣的秩；求逆矩陣；解線性方程組。5 .求一個(gè)可逆矩陣的逆矩陣有哪些常用的方法？答：求一個(gè)可逆矩陣的逆矩陣的常用方法有利用定義求逆矩陣，即若ABE(或BAE),則A1B.11*利用伴隨矩陣求逆矩陣，即A1A.|A|i1AA1利用分塊對(duì)角矩陣求逆矩陣。即A2A2；AsAs1Ai1As1A2、1.其中A(i1,2,s)均可逆。A2AsA11利用初等行變換求逆矩陣，即一初等行變換一1(AE)(EA1).這是求逆矩陣最常用的方法。7.用初等行變換法求解線性方程組的主要步驟是什么？答：對(duì)于非齊次線性方程組Axb,將增廣矩陣B(A,b)用初等行變換化為

20、行階梯形；從B的行階梯形可同時(shí)看出R(A)和R(B).若R(A)R(B),則方程組無(wú)解。 若R(A)R(B),則進(jìn)一步把B化成行最簡(jiǎn)形。而對(duì)于齊次線性方程組Ax0,則把系數(shù)矩陣A化成行最簡(jiǎn)形。 設(shè)R（A）R（B）r，把行最簡(jiǎn)形中r個(gè)非零行的非零首元所對(duì)應(yīng)的未知數(shù)取作非自由未知數(shù)，其余nr個(gè)未知數(shù)取作自由未知數(shù)，并令自由未知數(shù)分別等于，由B（或A）的行最簡(jiǎn)形，即可寫(xiě)出含nr個(gè)參數(shù)的通解。注只能用初等行變換對(duì)增廣矩陣（或系數(shù)矩陣）進(jìn)行化簡(jiǎn)，如果用初等列變換化簡(jiǎn)，則不能保證變換前后的兩個(gè)方程組同解。第四章向量組的線性相關(guān)性4矩陣的初等行（列）變換有哪些，它有什么重要應(yīng)用？答：矩陣的初等行（列）變換有

21、 對(duì)調(diào)兩行（列）； 用非零數(shù)乘矩陣的某一行（列）的所有元素； 把某行（列）的倍數(shù)加到另一行（列）對(duì)應(yīng)的元素上去。矩陣的初等行（列）變換可用于： 求逆矩陣； 化矩陣為行階梯形、行最簡(jiǎn)形； 求矩陣的秩； 解線性方程組。5 向量組的最大無(wú)關(guān)組有什么重要意義？答：設(shè)A。是n維向量組A的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，那么Ao與生俱來(lái)的良好性質(zhì)是： A0A，且所含向量個(gè)數(shù)rRA0n； A0組與A組等價(jià)，從而有RARA0r； 在所有與A組等價(jià)的向量組中，A0組所含向量個(gè)數(shù)最少。這樣用A。組來(lái)“代表”A組是最佳不過(guò)了。特別，當(dāng)A組為無(wú)限向量組時(shí)，就能用有限向量組來(lái)“代表”；凡是對(duì)有限向量組成立的結(jié)論，用最大無(wú)關(guān)組作過(guò)渡，立

22、即可推廣到無(wú)限向量組的情形中去。6 求向量組的最大無(wú)關(guān)組有哪些方法？答：通常有如下方法 根據(jù)定義求； 初等行變換法，即以所給向量組為列向量構(gòu)成矩陣A，對(duì)矩陣A進(jìn)行初等行變換，直到能看看出變換矩陣中列向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組為止。此最大無(wú)關(guān)組所對(duì)應(yīng)的原向量組 #的列向量組就是所求的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組; 最高階非零子式法以所給向量組為列向量構(gòu)成矩陣A，若A的最高階非零子式為Dr,則Dr所在的r歹U(行)即為A的列(行)向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組。7 證明或判斷一個(gè)向量組線性相關(guān)或線性無(wú)關(guān)的常用方法有哪些？答：以下均是判別線性相關(guān)的充要條件定義1,2,，s線性相關(guān)可以找到不全為0的數(shù)ki,k2,，ks，使得,

23、.,s,.,sskii0.否則，1,2,，s是線性無(wú)關(guān)的。i1 齊次線性方程組法向量組1,2,.,m線性相(無(wú))關(guān)齊次線性方程組x1x2(1,2,.,m)20有非零解(只有零解).xm 矩陣秩法向量組1,2,.,m線性無(wú)(相)關(guān)R(1,2,.,m)m(m). 最大無(wú)關(guān)組法線性無(wú)關(guān)的最大無(wú)關(guān)組為其自身.1 ,2,.,m1,2,.,m表出法1,2,.,m(m2)線性相關(guān)1,2,.,m中至少有一個(gè)向量可由其余m1向量線性表示。線性無(wú)關(guān)中任一向量都不能由其余的向量線性表示。1,2,.,m1,2,.,m反證法1,2,.,m線性相關(guān)1,2,.,m不線性無(wú)關(guān)8 求矩陣的秩有幾種方法？答：求矩陣的秩有以下幾種

24、方法定義法：求矩陣非零子式的最高階數(shù)就得到矩陣的秩。初等行變換法：利用初等行變換，將矩陣化為行階梯形矩陣，其非零行的行數(shù)即為該矩陣的秩。利用矩陣的秩與向量組的秩的關(guān)系：矩陣的秩=矩陣列向量組的秩=矩陣行向量組的秩。9 矩陣的秩有哪些重要性質(zhì)？答：矩陣秩的重要性質(zhì)有 0R(Amn)minm,n； R(AT)R(A)； 若AB，則R(A)R(B)；若P,Q可逆，則R(PAQ)R(A); maxR(A),R(B)R(A,B)R(A)R(B)；特別地，當(dāng)B為列向量b時(shí)，有R(A)R(A,b)R(A)1； R(AB)R(A)R(B)； R(AB)minR(A),R(B)； 若AmnBnlO，則R(A)R

25、(B)n.n,R(A)n設(shè)A是n階矩陣A的伴隨矩陣，則R(A)1,R(A)n1.0,R(A)n110矩陣的秩有哪些主要應(yīng)用？答：矩陣的秩有以下幾個(gè)方面的應(yīng)用 判斷方陣是否可逆； 判斷向量組的線性相關(guān)性； 討論線性方程組解的情況及解的結(jié)構(gòu)。12齊次線性方程組Ax0的通解結(jié)構(gòu)是什么？答：齊次線性方程組Ax0解的性質(zhì)、通解如下(1)解的性質(zhì) 如果1,2是Ax0的解，則12也是Ax0的解。 如果是Ax0的解，kR，則k也是Ax0的解。根據(jù)上述性質(zhì)及向量空間定義可知，齊次線性方程組的全部解向量集合構(gòu)成一個(gè)向量空間，稱之為解空間，基礎(chǔ)解系即為解空間的基。(2)解的存在性及通解易知Ax0一定有零解。因此，在

26、任何情況下Ax0一定有解。 當(dāng)R(A)n(未知量的個(gè)數(shù))時(shí)，方程組只有零解(或有唯一解)。 當(dāng)R(A)rn時(shí)，方程組有無(wú)窮解(或有非零解)。此時(shí)，方程組有nr個(gè)自由未知量，基礎(chǔ)解系包含nr個(gè)解向量，其通解為：xk11k22knrnr。其中kl,k2,knr為任意實(shí)數(shù)，1,2,nr為基礎(chǔ)解系。 特別地，當(dāng)A為方陣時(shí)，方程組有非零解的充要條件是|A|0.13非齊次線性方程組Axb的通解結(jié)構(gòu)是什么？答：非齊次線性方程組Axb解的性質(zhì)、通解如下( 1 )解的性質(zhì) #如果i,2是Axb的解，則i2是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組Ax0的解；如果是Axb的解，是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組Ax0的解，則是Axb的解。根據(jù)以

27、上兩個(gè)性質(zhì)可知，非齊次線性方程組全部解的集合不構(gòu)成一個(gè)向量空間，因此，非齊次線性方程組不存在基礎(chǔ)解系。(2)解的存在性及通解非齊次線性方程組Axb不是在任何情況下都有解，方程組有解的充要條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，即R(A)R(B),B(A,b).在方程組有解時(shí)，稱方程組是相容的，否則稱為不相容。 當(dāng)R(A)R(B)n(n為未知量的個(gè)數(shù))時(shí)，方程組有唯一解，其解可由克萊姆法則求出。 當(dāng)R(A)R(B)rn時(shí)，方程組有無(wú)窮多組解。其通解形式為*xk11k22knrnr其中是方程組Axb的一個(gè)特解，i,2,nr是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組Ax0的基礎(chǔ)解系，ki,k2,knr為任意實(shí)數(shù)。 當(dāng)A為方

28、陣時(shí)，方程組有唯一解的充要條件是|A|0.第五章相似矩陣及二次型2.矩陣的特征值有哪些主要性質(zhì)？答：矩陣的特征值有以下性質(zhì)nn矩陣A的跡tr(A)aHi；1 1i1nn階矩陣A的行列式|A|i；i1設(shè)為方陣A的特征值，則k,ab,1工，四分別為kAaAbE,Am,A1,A*的特征值(其中k,a,b均為常數(shù)，mZ).一般地，若是A的特征值，則()是(A)的特征值.(其中()a。aamm,(A)a0EaAamAm).答：1)如果方陣A是“數(shù)值型"矩陣，即矩陣A(aj)nn中元素aj全為常量的矩陣,則求此類(lèi)型矩陣的特征值、特征向量的基本方法是：求特征方程|AE|0的全部根，即A的全部特征值

29、。對(duì)于A的每一個(gè)特征值i,求齊次線性方程組(AiE)x0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，那么該基礎(chǔ)解系的所有非零線性組合就是對(duì)應(yīng)于i的全部特征向量。2)如果方陣A是“抽象型”矩陣，即矩陣的元素沒(méi)有具體給出的矩陣。求此類(lèi)型矩陣的特征值、特征向量的基本方法是： 利用定義式A(0)，滿足關(guān)系式的為A的特征值，為對(duì)應(yīng)于的一個(gè)特征向量。 利用特征方程|AE|0求，進(jìn)而求對(duì)應(yīng)的特征向量。5 n階矩陣A可相似對(duì)角化的充分必要條件是什么？答：n階矩陣A可相似對(duì)角化的充分必要條件是A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。6 判斷矩陣A是否可對(duì)角化的基本方法有哪些？答：常有如下四種方法 判斷A是否為實(shí)對(duì)稱矩陣，若是則A一定可對(duì)角化。 求A的

30、特征值，若n個(gè)特征值互異，則A一定可對(duì)角化。 求A的特征向量，若有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則A可對(duì)角化，否則不可對(duì)角化. 方陣A可對(duì)角化的充分必要條件是A的每個(gè)重特征值對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)等于該特征值的重?cái)?shù)。注一般來(lái)說(shuō)，方法、常用，且中的條件僅僅是充分的。9 .已知n階方陣A可對(duì)角化，如何求可逆矩陣P,使得P1APdiag(1,2，,n)?答：當(dāng)n階方陣A可對(duì)角化時(shí)，求可逆矩陣P的具體步驟是 求出A的全部特征值1,2,s； 對(duì)每個(gè)i(i1,2,s),求齊次方程組(AiE)x0的基礎(chǔ)解系，得n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量p1,p2,pn； 令P(p1,p2,pn),則P1APdiag(1,2,

31、n),其中1,2,n為p1,p2,pn對(duì)應(yīng)的特征值。10 實(shí)對(duì)稱矩陣正交相似對(duì)角化的步驟是什么？答：若A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，則一定存在正交矩陣P,使P1AP為對(duì)角矩陣。并可按以下步驟求出正交矩陣P 求出方陣 A 的全部特征值1,2,s ，其中重?cái)?shù)分別為 k1 , k2 ,ks； # 對(duì)每一個(gè)i，求出齊次方程組(AiE)x0的基礎(chǔ)解系pik1,pik2,piki(i1,2,s)； 將pik1,pik2,piki(i1,2,s)正交單位化(若ki1，則只須單位化)得正交單位特征向量組p1,p2,pn；令P(Pi,P2，,Pn),則P1APdiag(1,2,n),其中i是特征向量Pi所對(duì)應(yīng)的特征值。1

32、1 .化實(shí)二次型fXTAx為標(biāo)準(zhǔn)形的常用方法有哪些？答：配方法；正交變換法。12 用正交變換化二次型fxTAx為標(biāo)準(zhǔn)形的主要步驟是什么？答：用正交變換化二次型fxTAx為標(biāo)準(zhǔn)形的主要步驟是 寫(xiě)出二次型f的矩陣A.注意對(duì)非平方項(xiàng)xixj的系數(shù)應(yīng)取其一半作為aij； 求出A的全部特征值1,2,n； 解方程組(AiE)x0，求出n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量1,2,n；將1,2,n先正交化再單位化，便得到n個(gè)兩兩正交的單位向量P1,P2,Pn； 以P1,P2,Pn為列向量構(gòu)成正交矩陣P(P1,P2,Pn),則二次型T222fXAx通過(guò)正交變換xPy可化為標(biāo)傕形f102y2nyn.13 如何判別二次型fxTA

33、x的正定性？答：判別二次型fxTAx正定性的方法通常有 用定義； f的標(biāo)準(zhǔn)形中的n個(gè)系數(shù)全為正； 對(duì)稱矩陣A的特征值全大于零； 對(duì)稱矩陣A的各階順序主子式全大于零； 正慣性指標(biāo)Pn； AUTU，其中U是可逆矩陣。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)主要內(nèi)容與方法問(wèn)答題集錦I.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究的對(duì)象是什么？答：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究的對(duì)象是隨機(jī)問(wèn)題。n.概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究的主要內(nèi)容是什么？答：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究的主要內(nèi)容是隨機(jī)變量理論。m.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的主要任務(wù)是什么？答：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的主要任務(wù)是從數(shù)量側(cè)面研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。第一章概率論的基本概念3 .事件之間有幾種關(guān)系?答：事件之間有四種

34、關(guān)系一包含，相等，互斥（或互不相容）和對(duì)立（或互為逆事件）4 .事件間有幾種運(yùn)算?答：事件間有三種運(yùn)算一和（或并），積（或交），差。8.什么是古典概型？如何計(jì)算古典概型中事件的概率?答：具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)，稱為古典概型（或等可能概型）試驗(yàn)的樣本空間S只包含有限個(gè)元素，即Se，e2,en；每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同，即P（ei）P（e2）P（en）.若要計(jì)算古典概型中事件A的發(fā)生的概率，須先確定試驗(yàn)的樣本空間S中基本事件總數(shù)n ,再計(jì)算導(dǎo)致事件 A發(fā)生的基本事件個(gè)數(shù) k概型中事件 A發(fā)生的概率為P（A）-.nk （即A包含的基本事件個(gè)數(shù)），從而在古典199.計(jì)算概率的常用公式有哪些?答：計(jì)

35、算概率的常用公式有(1)古典概型中事件概率的計(jì)算公式P(A)k A包含的基本事件數(shù)s中基本事件的總數(shù).(2)幾何概型中事件概率的計(jì)算公式P(A)L(A)L(S)圖形A的度量樣本空間S的度量(3)右Ai, A2 , An是兩兩互斥的事件，則(4)P（Ai A2逆事件的概率計(jì)算公式An) P(Ai)P(A2)P(An).(5)加法公式對(duì)于任意事件推廣P(Ai A2 A3) P(Ai A2An)P(A) 1 P(A).A和 B,有 P(A B)P(Ai) P(Az) PS3)P(A) P(B) P(AB).P(AiAz) P(A2 A3)P(AA3) P(AA2A3). nP(Ai)P(AAj)i

36、ii i j nP(AiAjAk)i i j k nn1_.(1)P(AiA2An).(6)條件概率計(jì)算公式P(B|A)P(AB),(P(A)0).P(A)乘法公式設(shè)P(A)0,則P(AB)P(A)P(B|A).設(shè)A,B,C為事件，且P(AB)0,則P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB).設(shè)Ai,A2,An為n個(gè)事件，n2,且P(AA?An1)0,則P(AiA2An)P(Ai)P(A2|Ai)P(A31AA2)P(An|AA2An1).n(8)全概率公式P(A)P(Bi)P(A|B)i1(9)貝葉斯(Bayes)公式P(Bi|A)P(Bi)P(A|Bi)。1,2,n).P(A)(10)

37、若A,B獨(dú)立，則P(AB)P(A)P(B).(11)相互獨(dú)立事件A1,A2,An至少發(fā)生一個(gè)的概率計(jì)算公式P(AA2An)1P(Ai)P(A2)P(An).(12)二項(xiàng)概率公式Pn(k)C：pk(1p)nk(k0,1,2,n).11.如何使用全概率公式和貝葉斯公式？答：關(guān)于全概率公式應(yīng)注意以下幾點(diǎn)n 全概率公式P(A)P(Bk)P(A|Bk)形式上是概率加法公式和乘法公式的綜合；k1 全概率公式中體現(xiàn)的思想是分解，即把復(fù)雜事件A分解成簡(jiǎn)單事件之和的形式：nABk.上面所述A是復(fù)雜事件，主要指求A的概率比較困難；而稱ABk是簡(jiǎn)單事件，k1是指ABk的概率容易求，即P(ABk)P(Bk)P(A|B

38、k)常常是容易求得的。 使用全概率公式的問(wèn)題，一般都有二個(gè)層次：第一個(gè)層次是原因事件，第二個(gè)層次是結(jié)果事件，在全概率公式中，諸Bk便是原因事件，A是結(jié)果事件。全概率公式處理的問(wèn)題一般都是“由原因索結(jié)果”的問(wèn)題。貝葉斯公式有時(shí)稱為后驗(yàn)概率公式，它實(shí)際上是條件概率。是在已知結(jié)果發(fā)生的情況下，求導(dǎo)致結(jié)果的某種原因的可能性大小。比如求P(B1|A),當(dāng)P(A)(常用全概率公式計(jì)算)，P(Bi),P(A|B1)較易求得時(shí)，就要用貝葉斯公式，處理的問(wèn)題恰好是“由結(jié)果追原因的”。明白了這一點(diǎn)使用全概率公式和貝葉斯公式就容易多了。第二章隨機(jī)變量及其分布3.概率密度函數(shù)有哪些性質(zhì)？答：概率密度函數(shù)有以下性質(zhì) f

39、(x)0; f(x)dx1；對(duì)于任意實(shí)數(shù)x1,x2(x1x2),有X2PxiXx2F(x2)F(xi)f(x)dx；x1若f(x)在點(diǎn)x處連續(xù)，則有F(x)f(x)； 連續(xù)型隨機(jī)變量X取某一數(shù)值a的概率為0,即PXa0.其中性質(zhì)與是概率密度函數(shù)的特征性質(zhì)。若某函數(shù)f(x)滿足這兩條特征性質(zhì)，則f(x)一定是某個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度。5.為什么說(shuō)正態(tài)分布是概率論中最重要的分布？答：主要表現(xiàn)在三個(gè)方面正態(tài)分布有極其廣泛的實(shí)際背景。在客觀實(shí)際中有許多隨機(jī)變量，它是由大量的相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的綜合影響所形成的，而其中每一個(gè)個(gè)別因素在總的影響中所起的作用都是微小的，如：在任一指定時(shí)刻，一個(gè)城市的耗油

40、量是大量用戶耗油量的總和；一個(gè)實(shí)驗(yàn)的測(cè)量誤差是許多觀察不到的、可加的微小誤差所合成的，它們都服從或近似服從正態(tài)分布。有些分布(如二項(xiàng)分布)的極限分布是正態(tài)分布。2有些分布(如分布、t分布)又可以通過(guò)正態(tài)分布導(dǎo)出。所以，無(wú)論在實(shí)際中，還是在理論上，正態(tài)分布是概率論中最重要的一種分布。6.常見(jiàn)隨機(jī)變量的概率分布有哪些？答：常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的概率分布主要有(01)分布設(shè)隨機(jī)變量X只可能取0與1兩個(gè)值，它的分布律是k1kPXkp(1p),(k0,1)(0p1).二項(xiàng)分布設(shè)X表示n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，P(A)p.隨機(jī)變量X的分布律為PXkCnkpk(1p)nk,(k0,1,2,n).記作

41、Xb(n,p).泊松分布設(shè)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,它的分布律是kPXke,(k0,1,2,).k!其中0是常數(shù)，記為X()(或XP()其中，二項(xiàng)分布是非常重要的一種分布，特別當(dāng)n 1時(shí)二項(xiàng)分布化成(0 1)分布;當(dāng)n 時(shí)，二項(xiàng)分布以泊松分布為極限分布。常見(jiàn)的連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布主要有均勻分布隨機(jī)變量X概率密度函數(shù)為:f(x)1 ,a xb a0, 其他記為X U(a,b).其分布函數(shù)為0, x ax a.F(x), a x bb a1, x b指數(shù)分布隨機(jī)變量X概率密度函數(shù)為:f(x)le其分布函數(shù)為0,F(x) 1 e0,正態(tài)分布隨機(jī)變量X具有概率密度：f(x) K,().

42、記為X N (2、).其分布函數(shù)為.(t )2L ,、 x 1萬(wàn)h ,F(x) -e 2 dt,(2).特別，當(dāng)0,1時(shí)，稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即 X N(0, 1).第三章多維隨機(jī)變量及其分布1.如何判定一個(gè)二元函數(shù)是某個(gè)隨機(jī)變量(X , Y)的概率密度?答：若二元函數(shù)f (x, y)具有以下兩條特征性質(zhì) f(x, y) 0；2 隨機(jī)變量的分布與數(shù)字特征有何關(guān)系？ 23 f(x,y)dxdy1.則二元函數(shù)f(x,y)一定是某個(gè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度函數(shù)。3如何由聯(lián)合分布確定兩個(gè)邊緣分布？答：二維隨機(jī)變量(X,Y)作為一個(gè)整體，具有分布函數(shù)F(x,y),而X和Y都是隨機(jī)變量，設(shè)它們的

43、分布函數(shù)分別為FX(x)，F(xiàn)Y(y)，則有FX(x)F(x,)，F(xiàn)Y(y)F(,y).對(duì)于離散型隨機(jī)變量(X,Y)，設(shè)(X,Y)的分布律為PXxi,Yyjpij，(i,j1,2,)，則(X,Y)關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布律分別為PXxipijpi，(i1,2,).i1PYyjpijpj，(j1,2,).j1對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)，設(shè)它的概率密度為f(x,y)，則(X,Y)關(guān)于X，關(guān)于Y的邊緣概率密度分別為fX(x)f(x,y)dy，fY(y)f(x,y)dx.5.怎樣判別隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立？答：設(shè)F(x,y)及FX(x),FY(y)分別是二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù)，

44、若對(duì)于所有的x,y有PXx,YyPXxPYy，即F(x,y)Fx(x)Fy(y),則隨機(jī)變量X和Y是相互獨(dú)立的。當(dāng)(X,Y)是離散型隨機(jī)變量時(shí)，X和Y是相互獨(dú)立的條件可化為：對(duì)于(X,Y)的所有可能取的值(xi,yj)，有PXxi,YyjPXxiPYyj；當(dāng)(X,Y)是連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，f(x,y),fX(x),fY(y)分別(X,Y)的概率密度和邊緣概率密度，則X和Y是相互獨(dú)立的條件可化為：對(duì)一切的x,y，總有f(x,y)fX(x)fY(y).第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征1隨機(jī)變量的數(shù)字特征有哪些？答：隨機(jī)變量數(shù)字特征有：數(shù)學(xué)期望、方差、矩、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)。答：隨機(jī)變量的分布完全確定數(shù)字特征，

45、反之則不然。4.數(shù)學(xué)期望有哪些性質(zhì)？答：數(shù)學(xué)期望具有幾個(gè)重要性質(zhì)(以下設(shè)所遇到的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望存在)設(shè)C是常數(shù)，則有E(C)C.設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，C是常數(shù)，則有E(CX)CE(X).設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有E(X推廣設(shè)Xi,X2,Xn是n個(gè)隨機(jī)變量,nECiXiY) E(X) E(Y).Ci,C2, ,Cn是常數(shù)，則有nCi E(Xi).i 15. 設(shè)X,Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,則有 E(XY)推廣 設(shè)Xi,X2, ,Xn是n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有方差有哪些性質(zhì)?E(X) E(Y).nE Xii 1nE(Xi). i 1i1答：方差具有以下重要性質(zhì)(設(shè)所遇到的隨機(jī)變量其方差存

46、在)設(shè)C是常數(shù)，則有D(C)0.2_設(shè)X是隨機(jī)變量，C是常數(shù)，則有D(CX)CD(X).設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有D(XY)D(X)D(Y)2EXE(X)YE(Y).特別，若X,Y相互獨(dú)立，則有D(XY)D(X)D(Y).推廣設(shè)X1，X2,Xn是n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，C1,C2,Cn是常數(shù)，則有nn一一2一DCiXiCiD(Xi).1 1i1D(X)0的充要條件是X以概率1取常數(shù)C,即PXC1.顯然，這里CE(X).6.常用分布的期望、方差是什么？答：(01)分布：E(X)p,D(X)p(1p).二項(xiàng)分布Xb(n,p)：E(X)np,D(X)np(1p).(b a)2122泊松分布X()：E(X),D(X).均勻分布XU(a,b)：E(X)b,D(X)22指數(shù)分布：E(X),D(X).2正態(tài)分布XN(,)：E(X),D(X)第五章大數(shù)定律及中心極限定理1 .大數(shù)定律說(shuō)明什么問(wèn)題？答：在實(shí)踐中人們發(fā)現(xiàn)事件發(fā)生的“頻率”具有穩(wěn)定性，在討論數(shù)學(xué)期望時(shí)，也看到在進(jìn)行大量獨(dú)立重