雙曲線的簡單幾何性質(經(jīng)典)30544

1、雙曲線的簡單幾何性質【知識點1】雙曲線-1的簡單幾何性質(1)范圍：xa,yR.(2)對稱性：雙曲線的對稱性與橢圓完全相同，關于x軸、y軸及原點中心對稱.(3)頂點：兩個頂點：A1(-a,0),A2(a,0)，兩頂點間的線段為實軸長為2a，虛軸長為2b，且c2a2+b2.(4)漸近線：雙曲線特有的性質，方程y±x，或令雙曲線標準方程-1中的1為零即得漸近線方程.(5)離心率e1，隨著e的增大，雙曲線張口逐漸變得開闊.(6)等軸雙曲線(等邊雙曲線)：x2-y2a2(a0),它的漸近線方程為y±x,離心率e.(7)共軛雙曲線：方程-1與-1表示的雙曲線共軛，有共同的漸近線和相等

2、的焦距，但需注意方程的表達形式.注意：（1）與雙曲線-1共漸近線的雙曲線系方程可表示為-(0且為待定常數(shù))（2）與橢圓+1(ab0)共焦點的曲線系方程可表示為-1(a2,其中b2-0時為橢圓，b2a2時為雙曲線)（3）雙曲線的第二定義：平面內到定點F(c,0)的距離和到定直線l:x的距離之比等于常數(shù)e(ca0)的點的軌跡是雙曲線，定點是雙曲線的焦點，定直線是雙曲線的準線，焦準距(焦參數(shù))p，與橢圓相同.1、寫出雙曲線方程的實軸長、虛軸的長，頂點坐標，離心率和漸近線方程2、已知雙曲線的漸近線方程為，求雙曲線的離心率3、求以為漸近線，且過點（1,2）的雙曲線標準方程4、已知雙曲線的中心在原點，焦點

3、在y軸上，焦距為16，離心率為，求雙曲線的標準方程。5、求與雙曲線共漸近線，且經(jīng)過點的雙曲線的標準方及離心率【知識點2】弦長與中點弦問題（1）直線和圓錐曲線相交時的一般弦長問題：一般地，若斜率為k的直線被圓錐曲線所截得的弦為AB，A、B兩點分別為A(x1，y1)、B(x2，y2)，則弦長,這里體現(xiàn)了解析幾何“設而不求”的解題思想.（2）中點弦問題：處理橢圓、雙曲線、拋物線的弦中點問題常用代點相減法，設A(x1，y1)、B(x2,y2)為橢圓（a>b>0）上不同的兩點，M(x0，y0)是AB的中點，則KABKOM=；對于雙曲線（a>0，b>0），類似可得：KABKOM=；

4、對于y2=2px（p0）拋物線有KAB；另外，也可以用韋達定理來處理.【題型一】直線與雙曲線的交點問題：過平面內任一點P作直線與雙曲線只有一個交點，這樣的直線有幾條？（幾何角度）6、若y=kx-1與雙曲線只有一個公共點,求k的范圍.【變1】有兩個公共點？【變2】無公共點？【變3】與右支有兩個公共點？【變4】與右支只有一個公共點？7、過雙曲線的右焦點F作直線l交雙曲線于A,B兩點,若|AB|=4,這樣的直線有幾條？【題型2】雙曲線離心率的求法一、根據(jù)離心率的范圍，估算e：即利用圓錐的離心率的范圍來解題，有時可用橢圓的離心率，雙曲線的離心率，拋物線的離心率來解決。8、已知雙曲線C：1(a>0

5、，b>0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2作雙曲線C的一條漸近線的垂線，垂足為H，若F2H的中點M在雙曲線C上，則雙曲線C的離心率為_9、已知雙曲線1(a>0，b>0)的兩條漸近線均和圓C：x2y26x50相切，且雙曲線的右焦點為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為_二、直接求出a、c，求解e：已知圓錐曲線的標準方程或a、c易求時，可利用離心率公式來解決。10、點P（3，1）在橢圓（）的左準線上，過點P且方向為的光線經(jīng)直線反射后通過橢圓的左焦點，則這個橢圓的離心率為【】.A.B.C.D.三、構造a，c齊次式，解出：根據(jù)題設條件關系式，借助之間的關系，溝通的關系（特別是齊二次式）

6、，進而得到關于e的一元方程，從而解方程得出離心率e。11、已知是雙曲線的兩焦點，以線段為邊作正三角形，若邊的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率是【】.A.B.C.D.12、過雙曲線1的左焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線相交于M、N兩點，以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點，則雙曲線的離心率等于_。四、尋找a與c的關系式：由于離心率是c與a的比值，故不必分別求出a、c的值，可尋找a與c的關系式，即a用c來表示即可解決。13、設橢圓的兩個焦點分別為，過作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是【】.A.B.C.D.五、統(tǒng)一定義法：由圓錐曲線的統(tǒng)一定義，知離心率e是動點到焦點的距

7、離和動點到準線的距離之比，特別適用于條件含有焦半徑的圓錐曲線問題，即。14、設橢圓的右焦點為F1，右準線為，若過F1且垂直于x軸的弦長等于點F1到的距離，則橢圓的離心率是_?！究偨Y3】三種常見的解題方法（1）轉換法為解題化歸立意15、直線過雙曲線的右焦點，斜率k=2.若與雙曲線的兩個交點分別在左右兩支上，則雙曲線的離心率e的范圍是【】A.e>B.1<e<C.1<e<D.e>（2）幾何法使數(shù)形結合帶上靈性16、設為雙曲線上的一點，是該雙曲線的兩個焦點，若，則的面積為【】ABC.D（3）設而不求與借舟棄舟同理17、雙曲線的一弦中點為（2，1），則此弦所在的直線方

8、程為【】A.B.C.D.18、在雙曲線上，是否存在被點M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直線方程；如不存在，請說明理由。高考題選1.（浙江卷）過雙曲線的右頂點作斜率為的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為若，則雙曲線的離心率是【】ABCD2.（浙江卷）已知橢圓的左焦點為，右頂點為，點在橢圓上，且軸，直線交軸于點若，則橢圓的離心率是【】ABCD3.（全國卷）雙曲線的漸近線與圓相切，則r=【】.（A）（B）2（C）3（D）64.（江西卷）設和為雙曲線()的兩個焦點,若，是正三角形的三個頂點,則雙曲線的離心率為【】.ABCD35.設雙曲線的虛軸長為2，焦距為，則雙曲線的漸近線方程為【

9、】.ABCD6.(湖北卷)已知雙曲線的準線過橢圓的焦點，則直線與橢圓至多有一個交點的充要條件是【】.A.B.C.D.7.（四川卷文）已知雙曲線的左、右焦點分別是、，其一條漸近線方程為，點在雙曲線上.則·【】.A.12B.2 C.0D.4【問題1】過平面內任一點P作直線與雙曲線只有一個交點，這樣的直線有幾條？（幾何角度）【答案】P在雙曲線內，有2條（分別與漸近線平行）；P在雙曲線上，有3條（與漸近線平行的有兩條，切線一條）；P在雙曲線外，若P在漸近線上且P為原點時，0條；若P在漸近線上且P不為原點時，2條（與另一漸近線平行的一條，切線一條）；若P不在漸近線上，0條；有4條（與漸近線平行

10、的有兩條，切線兩條）；8答案解析取雙曲線的漸近線yx，則過F2與漸近線垂直的直線方程為y(xc)，可解得點H的坐標為，則F2H的中點M的坐標為，代入雙曲線方程1可得1，整理得c22a2，即可得e.9答案1解析雙曲線1的漸近線方程為y±x，圓C的標準方程為(x3)2y24，圓心為C(3,0)又漸近線方程與圓C相切，即直線bxay0與圓C相切，2，5b24a2.又1的右焦點F2(，0)為圓心C(3,0)，a2b29.由得a25，b24.雙曲線的標準方程為1.10解：由題意知，入射光線為，關于的反射光線（對稱關系）為，則P（3，1）在左準線上，左焦點在反射光線上，有解得知，故選A。11解：

11、如圖1，的中點為P，則點P的橫坐標為。由，焦半徑公式有，即有解得，故選D。12解：如圖2，所給的語言可轉化為通徑，即得，故解得或（舍）故填13解：由題意，得。又由橢圓的定義，得，即，則得，故選D。14解：據(jù)橢圓的第二定義及題意，畫出圖3，觀察線段的數(shù)量關系，得。故填。15【分析】就題論題的去解這道題，確實難以下手，那就考慮轉換吧.其一，直線和雙曲線的兩支都有交點不好掌握，但是和兩條漸近線都有交點卻很好掌握.其二，因為已知直線的斜率為2，所以雙曲線的兩條漸近線中，傾斜角為鈍角的漸近線肯定與之相交，只須考慮傾斜角為銳角的漸近線也與之相交.故有如下妙解.【解析】如圖設直線的傾斜角為，雙曲線漸近線的傾

12、斜角為.顯然。當時直線與雙曲線的兩個交點分別在左右兩支上.由.雙曲線中，故取e>.選D.16【解析】雙曲線的實、虛半軸和半焦距分別是：.設；于是，故知PF1F2是直角三角形，F(xiàn)1PF2=90°.選B.【評注】解題中發(fā)現(xiàn)PF1F2是直角三角形，是事前不曾想到的吧？可是，這一美妙的結果不是每個考生都能臨場發(fā)現(xiàn)的.將最美的結果隱藏在解題過程之中以鑒別考生的思維能力，這正是命題人的高明之處.17【解析】設弦的兩端分別為.則有：.弦中點為（2，1），.故直線的斜率.則所求直線方程為：，故選C.“設而不求”具體含義是：在解題中我們希望得到某種結果而必須經(jīng)過某個步驟，只要有可能，可以用虛設代

13、替而不必真地去求它.但是，“設而不求”的手段應當慎用.不問條件是否成熟就濫用，也會出漏子.請看：18如果不問情由地利用“設而不求”的手段，會有如下解法：【錯解】假定存在符合條件的弦AB，其兩端分別為：A（x1，y1），B（x2，y2）.那么：.M（1，1）為弦AB的中點，故存在符合條件的直線AB，其方程為：.這個結論對不對呢？我們只須注意如下兩點就夠了：其一：將點M（1，1）代入方程，發(fā)現(xiàn)左式=1-1，故點M（1，1）在雙曲線的外部；其二：所求直線AB的斜率，而雙曲線的漸近線為.這里，說明所求直線不可能與雙曲線相交，當然所得結論也是荒唐的.問題出在解題過程中忽視了直線與雙曲線有公共點的條件.【正解】在上述解法的基礎上應當加以驗證.由這里，故方程（2）無實根，也就是所求直線不合條件.此外，上述解法還疏忽了一點：只有當時才可能求出k=2.若.說明這時直線與雙曲線只有一個公共點，仍不符合題設條件.結論；不存在符合題設條件的直線.1【解析】對于，則直線方程為，直線與兩漸近線的交點為B，C，