任意角的三角函數(shù)公開課教案

1、任意角的三角函數(shù)（第一課時） 教學目標1掌握任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)的定義（包括定義域、正負符號判斷）；了解任意角的余切、正割、余割函數(shù)的定義. 2經(jīng)歷從銳角三角函數(shù)定義過度到任意角三角函數(shù)定義的推廣過程，體驗三角函數(shù)概念的產(chǎn)生、發(fā)展過程. 領(lǐng)悟直角坐標系的工具功能，豐富數(shù)形結(jié)合的經(jīng)驗. 3培養(yǎng)學生通過現(xiàn)象看本質(zhì)的唯物主義認識論觀點，滲透事物相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的辯證唯物主義世界觀. 4培養(yǎng)學生求真務(wù)實、實事求是的科學態(tài)度. 一、 重點、難點、關(guān)鍵重點：任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)的定義、定義域、（正負）符號判斷法. 難點：把三角函數(shù)理解為以實數(shù)為自變量的函數(shù). 關(guān)鍵：如何想到建立直角坐標系

2、；六個比值的確定性（ 確定，比值也隨之確定）與依賴性（比值隨著的變化而變化）. 二、 教學過程執(zhí)教線索：回想再認：函數(shù)的概念、銳角三角函數(shù)定義（銳角三角形邊角關(guān)系）問題情境：能推廣到任意角嗎？它山之石：建立直角坐標系（為何？）優(yōu)化認知：用直角坐標系研究銳角三角函數(shù)探索發(fā)展：對任意角研究六個比值（與角之間的關(guān)系：確定性、依賴性，滿足函數(shù)定義嗎？）自主定義：任意角三角函數(shù)定義登高望遠：三角函數(shù)的要素分析（對應(yīng)法則、定義域、值域與正負符號判定）例題與練習回顧小結(jié)布置作業(yè) （一）復習引入、回想再認開門見山，面對全體學生提問： 在初中我們初步學習了銳角三角函數(shù)，前幾節(jié)課，我們把銳角推廣到了任意角，學習了

3、角度制和弧度制，這節(jié)課該研究什么呢？探索任意角的三角函數(shù)（板書課題），請同學們回想，再明確一下：（情景1）什么叫函數(shù)？或者說函數(shù)是怎樣定義的？讓學生回想后再點名回答，投影顯示規(guī)范的定義，教師根據(jù)回答情況進行修正、強調(diào)：傳統(tǒng)定義：設(shè)在一個變化過程中有兩個變量x與y，如果對于x的每一個值，y都有唯一確定的值和它對應(yīng)，那么就說y是x的函數(shù)，x叫做自變量，自變量x的取值范圍叫做函數(shù)的定義域.現(xiàn)代定義：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)，在集合B中都有唯一確定的數(shù) f（x）和它對應(yīng)，那么就稱映射：AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作：y= f（x），xA ，其

4、中x叫自變量,自變量x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域. （情景2）我們在初中通過銳角三角形的邊角關(guān)系，學習了銳角的正弦、余弦、正切等三個三角函數(shù). 請回想：這三個三角函數(shù)分別是怎樣規(guī)定的？對邊鄰邊sin=，con=，tan=（圖1） 引伸鋪墊、創(chuàng)設(shè)情景（情景3）我們已經(jīng)把銳角推廣到了任意角，銳角的三角函數(shù)概念也能推廣到任意角嗎？試試看，可以獨立思考和探索，也可以互相討論！留時間讓學生獨立思考或自由討論，教師參與討論或巡回對學困生作啟發(fā)引導. 能推廣嗎？怎樣推廣？針對剛才的問題點名讓學生回答. 用角的對邊、臨邊、斜邊比值的說法顯然是受到阻礙了，由于前面已經(jīng)以直角坐標系為工具來研究任意角了，學生一般

5、會想到（否則教師進行提示）繼續(xù)用直角坐標系來研究任意角的三角函數(shù). 教師對學生回答情況進行點評后布置任務(wù)情景：請同學們用直角坐標系重新研究銳角三角函數(shù)定義！把銳角安裝（如何安裝？角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸非負半軸重合）在直角坐標系中，在角終邊上任取一點P，作PMx軸于M，構(gòu)造一個RtOMP，則 MOP=（銳角），設(shè)P（x,y）（x0、y0），的臨邊OM =x、對邊MP=y，斜邊長|OP=r.根據(jù)銳角三角函數(shù)定義用x、y、r列出銳角的正弦、余弦、正切三個比值，并補充對應(yīng)列出三個倒數(shù)比值：xO·MP(x,y)ysin=，con=，tan= ?= ?= ?=（圖2） （情景4）各個

6、比值與角之間有怎樣的關(guān)系？比值是角的函數(shù)嗎？追問：銳角大小發(fā)生變化時，比值會改變嗎？先讓學生想象思考，作出主觀判斷，再用幾何畫板動畫演示，同時作好解釋說明：保持r不變，讓P繞原點O旋轉(zhuǎn)即在銳角范圍內(nèi)變化，六個比值 隨之變化的直觀形象。結(jié)論是：比值隨的變化而變化. xO·MPy（圖3）PM引導學生觀察圖3，聯(lián)系相似三角形知識，探索發(fā)現(xiàn)： 對于銳角的每一個確定值，六個比值都是確定的，不會隨P在終邊上的移動而變化. 得出結(jié)論(強調(diào))：當為銳角時，六個比值隨的變化而變化；但對于銳角的每一個確定值，六個比值都是確定的，不會隨P在終邊上的移動而變化. 所以，六個比值分別是以角為自變量、以比值為函

7、數(shù)值的函數(shù). （三）分析歸納、自主定義（情境5）能將銳角的比值情形推廣到任意角嗎?水到渠成，師生共同進行探索和推廣：對于一個任意角，它的終邊所在位置包括下列兩類共八種情形（投影展示并作分析）：終邊分別在四個象限的情形： 終邊分別在四個半軸上的情形：P(x,y)yxOyxP(x,y)O角終邊P(x,y)yxOP(x,y)yxO（圖4）P(x,y)yxO·P(x,y)yxO·P(x,y)yxO·P(x,y)yxO·（圖5）；（指出：不畫出角的方向，表明角具有任意性）怎樣刻畫任意角的三角函數(shù)呢？研究它的六個比值：（板書）設(shè)是一個任意角，在終邊上除原點外任意取一

8、點P（x，y），P與原點O之間的距離記作r（r=0），列出六個比值： =k+/2時，x=0，比值 y/x、r/x 無意義；= k時，y=0，比值x /y、r /y無意義.追問：大小發(fā)生變化時，比值會改變嗎？先讓學生想象思考，作出主觀判斷，再用幾何畫板動畫演示，同時作好解釋說明：使r保持不變，P繞原點O逆時針、順時針旋轉(zhuǎn)即角變化，六個比值隨之改變的直觀形象。結(jié)論是：各比值隨的變化而變化. 再引導學生利用相似三角形知識，探索發(fā)現(xiàn)： 對于任意角的每一個確定值，六個比值都是確定的，不會隨P在終邊上的移動而變化. 綜上得到（強調(diào)）：當角變化時，六個比值隨之變化；對于確定的角， 六個比值（如果存在的話）都

9、不會隨P在角終邊上的改變而改變，六個比值是確定的(對應(yīng)的多值性即誘導公式一留到下節(jié)課分析). 因此，六個比值分別是以角為自變量、以比值為函數(shù)值的函數(shù).根據(jù)歷史上的規(guī)定，對比值進行命名，指出英文記法和讀法，記作（承前作復合板書）：=sin（正弦） =cos（余弦） =tan（正切） =csc（余割） =sec（正弦） =cot（余切） 教師強調(diào)：sin表示sin與的乘積嗎？不是，sin是函數(shù)記號，是一個整體,相當于函數(shù)記號f（x）. 其它幾個三角函數(shù)也如此投影顯示圖六，指導學生分析其對應(yīng)關(guān)系，進一步體會其函數(shù)內(nèi)涵：······yr正弦&

10、#183;·····xr余弦······yx正切······ry余割······rx正割······xy余切 （圖六） 指導學生識記六個比值及函數(shù)名稱. 教師指出：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割六個函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)，三角函數(shù)有非常豐富的知識和思想方法，我們以后主要學習正弦、余弦、正切三個函數(shù)的相關(guān)知識和

11、方法，對于余切、正割、余割，只要同學們了解它們的定義就夠了（遵循大綱要求）. 引導學生進一步分析理解：已知角的集合與實數(shù)集之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系，對于每一個確定的實數(shù)，把它看成一個弧度數(shù)，就對應(yīng)著唯一的一個角，從而分別對應(yīng)著六個唯一的三角函數(shù)值. 因此，（板書）三角函數(shù)可以看成是以實數(shù)為自變量的函數(shù)，這將為以后的應(yīng)用帶來很多方便. （四） 探索定義域（情景6）（1）函數(shù)概念的三要素是什么？函數(shù)三要素：對應(yīng)法則、定義域、值域. 正弦函數(shù)sin的對應(yīng)法則是什么？正弦函數(shù)sin的對應(yīng)法則，實質(zhì)上就是sin的定義：對的每一個確定的值，有唯一確定的比值y/r與之對應(yīng)，即 y/r= sin.(2)布置任

12、務(wù)情景：什么是三角函數(shù)的定義域？請求出六個三角函數(shù)的定義域，填寫下表：三角函數(shù)sincostancotcscsec定義域引導學生自主探索：如果沒有特別說明，那么使解析式有意義的自變量的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，三角函數(shù)的定義域自然是指：使比值有意義的角的取值范圍. 關(guān)于sin=y/r、cos=x/r，對于任意角（弧度數(shù)），r0，y/r、x/r恒有意義，定義域都是實數(shù)集R. 對于tan=y/x，= k+/2 時x=0，y/x無意義，tan的定義域是：|R，且k+/2 . 教師指出: sin、cos、tan的定義域必須緊扣三角函數(shù)定義在理解的基礎(chǔ)上記熟，cot、csc、sec的定義域不要求記憶.

13、（關(guān)于值域，到后面再學習）.（五）符號判斷、形象識記（情景7）能判斷三角函數(shù)值的正、負嗎？試試看！引導學生緊緊抓住三角函數(shù)定義來分析，r0,三角函數(shù)值的符號決定于x、y值的正負，根據(jù)終邊所在位置總結(jié)出形象的識記口訣：yxyxyx（同好得正、異號得負）sin= y/r：上正下負橫為0 cos=x/r：左負右正縱為0 tan=y/x：交叉正負 練習鞏固、理解記憶1、 自學 例1：已知角的終邊經(jīng)過點P（2，-3），求的六個三角函數(shù)值. 要求：讀完題目，思考：計算什么?需要準備什么?閉目心算，對照解答，模仿書面表達格式，鞏固定義. 課堂練習：p19題1：已知角的終邊經(jīng)過點P（-3，-1），求的六個三角

14、函數(shù)值. 要求心算，并提問中下學生檢驗，- -點評：角終邊上有無窮多個點，根據(jù)三角函數(shù)的定義，只要知道終邊上任意一個點的坐標，就可以計算這個角的三角函數(shù)值（或判斷其無意義）. 補充例題：已知角的終邊經(jīng)過點P（x，-3），cos=4/5，求的其它五個三角函數(shù)值. 師生探索：已知y=-3，要求其它五個三角函數(shù)值，須知r=？，x=？.根據(jù)定義得=（方程思想）， x0，解得x=4，從而 - -.解答略.2、 自學 例2：求下列各角的六個三角函數(shù)值：(1) 0；(2)/2 ；(3) 3/2.提問，據(jù)反饋信息作點評、修正. 師生探索：緊扣三角函數(shù)定義求解，首先要在終邊上取定一點。終邊在哪兒呢？取定哪一點呢？任意點、還是特殊點？要靈活，只要能夠算出三角函數(shù)值，都可以。取特殊點能使計算更簡明。課堂練習：p19題2.（改編）填表：角（角度）0°90°180°270°360°角（弧度）sincostan處理：要求取點用定義求解，針對計算過程提問、點評，理解鞏固定義. 強調(diào)：終邊在坐標軸上的角叫軸線角，如0、/2 、3/2 等，今后經(jīng)常用到軸線角的三角函數(shù)值，要結(jié)合三角函數(shù)定義記熟這些值. （六） 回顧小結(jié)、建構(gòu)網(wǎng)絡(luò)要求全體學生根據(jù)教