2007年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷(理科)及解析

1、精心整理2007年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（共 10小題，每小題 5分，滿分50分）1 . （5 分）（2007?浙江）餐1”是 “2x”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件2. （5分）（ 2007?浙江）若函數(shù)f（x） =2sin （ 3 x+6，xCR（其中30,|三）的最小正周期是 冗，且f（。）二夷,1 12則（）A. 3，B, 3，C.3=2,D. 3=2, 7. （5分）（2007?浙江）若非零向量 a, b滿足| a + b|=| b| ,則（）A. |2 a| |2 a+b| B. |2 司 | a+2b| D .

2、 |2 b| 0, b。）的左、右焦點分別為 a2 b29.F1, F2, P是準線上一點,頁腳內(nèi)容且PFUPF2, |PF1|?|PF2|=4ab ,則雙曲線的離心率是()A. & B.爽 C. 2 D, 310. (5 分)(2007?浙江)設(shè) f (x) =1g （x）是二次函數(shù)，若f （g （x）的值域是0, +8）,則精心整理函數(shù)g （x）的值域是（）A. （8,1U 1 ,+8）B.（8,1 U 0,+8）C.0,+8）D.1 , +8）二、填空題（共 7小題，每小題 4分，滿分28分）11. （ 4 分）（2007?浙江）已知復(fù)數(shù) zi=1 i, zi?z2=1+i,貝U復(fù)數(shù) z

3、2=.12. （4 分）（2007?浙江）已知 sin8+cos8 二工，且20衛(wèi), 則cos2 0的值是13. （4分）（2007?浙江）不等式|2x 1|x0 1-17. （4 分）（2007?浙江）設(shè) m 為實數(shù)，若y） h 3-工0 工（耳，V）I z2 + y225,則 m的取值范圍是.三、解答題（共 5小題，滿分72分）18. （ 14分）（2007?浙江）已知 AABC的周長為 V2+1 ,且 sinA+sinB=V 二sinC（I）求邊 AB 的長；.一二二；-二（n）若 ABC的面積為-sinC,求角C的度數(shù).19. （14分）（ 2007?浙江）在如圖所示的幾何體中，EAL

4、平面 ABC, DBL平面 ABC, AC BC,且 AC=BC=BD=2AE M是AB的中點.（I）求證：CMXEM;（n）求CM與平面CDE所成的角./ 八 ,、心丁 占用 士少一法L r 2 、十詆上 g工口420. （ 14分）（2007?浙江）如圖，直線 y=kx+b與橢圓 + yi=1交于A, B兩點，記AAOB的面積為S.（I）求在k=0, 0Vb1的條件下，S的最大值；（n）當|AB|=2 , S=1時，求直線 AB的方程.21. . （15分）（2007?浙江）已知數(shù)列an中的相鄰兩項 a2k 1, a2k是關(guān)于x的方程x2 （3k+2k） x+3k?2k=0的兩個根，(I)

5、求 a1，a3, a5, a7；（n）求數(shù)列an的前2n項和S2n；(m)且 a2k-1 o時，f （x） t （x）對任意正實數(shù) t成立；（ii）有且僅有一個正實數(shù)x0,使得g8 （x0） t （x0）對任意正實數(shù)t成立.2007年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（共 10小題，每小題 5分，滿分50分）1. . （5 分）【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.【分析】由題意解不等式x2x,提出公因式x,根據(jù)因式分解法，解出不等式的解，再判斷是不是必要條件，判斷此解和x 1的關(guān)系.【解答】解：由x2x,可彳導(dǎo)x 1或x 1 ,可得到x2x,但x2 x得不到x 1

6、.故選A.【點評】注意必要條件、充分條件與充要條件的判斷.2. （5 分）【考點】三角函數(shù)的周期性及其求法.【分析】先根據(jù)最小正周期求出3的值，再由（0）二夷求出sin 4的值，再根據(jù) 4的范圍可確定出答案.【解答】解：由 隹標冗，6二2 由f 二后2員n0=通二手故選D【點評】 本題主要考查三角函數(shù)解析式的確定.屬基礎(chǔ)題.3. （5 分）【考點】與直線關(guān)于點、直線對稱的直線方程.【分析】 設(shè)所求直線上任一點（x, v）,關(guān)于x=1的對稱點求出，代入已知直線方程，即可得到所求直線方程.【解答】 解：解法一（利用相關(guān)點法）設(shè)所求直線上任一點（ x, y）,則它關(guān)于x=1對稱點為（2-x, y）在

7、直線x 2y+1=0上，. 2-x-2y+1=0化簡得x+2y-3=0故選答案 D.解法二：根據(jù)直線 x-2y+1=0關(guān)于直線x=1對稱的直線斜率是互為相反數(shù)得答案A或D,再根據(jù)兩直線交點在直線x=1選答案D故選D.【點評】 本題采用兩種方法解答，一是相關(guān)點法：求軌跡方程法；法二篩選和排除法.本題還有點斜式、兩點式等方法.4. （5 分）【考點】圓方程的綜合應(yīng)用.【分析】 這是一個與圓面積相關(guān)的新運算問題，因為龍頭的噴灑面積為36 71y 113正方形面積為 256,故至少三個龍頭.但由于噴水龍頭的噴灑范圍都是半徑為6米的圓面，而草坪是邊長為16米的正方形，3個龍頭不能使整個草坪都能噴灑到水，

8、故還要結(jié)合圓的性質(zhì)，進一步的推理論證.【解答】 解：因為龍頭的噴灑面積為36 71y 113精心整理正方形面積為256,故至少三個龍頭.由于2R8V2,故可以保證整個草坪能噴灑到水；故選B.【點評】 本題考查的知識點是圓的方程的應(yīng)用，難度不大，屬于基礎(chǔ)題.5. (5 分)【考點】 正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義.【分析】由正態(tài)分布曲線知，P(E00=1-P(E)4.【解答】 解：由 P ( M4=P (b 22) =P (=0.84.又 P(E0 0=P (丁 2(- 2) =P _=1-P (=0.16.故選A.【點評】 本題考查正態(tài)曲線的形狀認識，從形態(tài)上看，正態(tài)分布是一條單峰、對稱

9、呈鐘形的曲線，其對稱軸為x=%并在x=心時取最大值從x=0點開始，曲線向正負兩個方向遞減延伸，不斷逼近x軸，但永不與x軸相交，因此說曲線在正負兩個方向都是以x軸為漸近線的.6. (5 分)【考點】 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系.【分析】 選項A由反證法得出判斷；選項 B由異面直線的公垂線唯一得出判斷；選項C、D可借用圖形提供反例.【解答】 解：設(shè)過點P的直線為n,若n與1、m都平行，則1、m平行，與1、m異面矛盾，故選項 A錯誤；由于1、m只有唯一的公垂線，而過點P與公垂線平行的直線只有一條，故 B正確；對于選項C、D可參考下圖的正方體，設(shè) AD為直線1, A的直線m,若點P在P1點，則顯然

10、無法作出直線與兩直線都相交，故選項 C錯誤；若P在P2點，則由圖中可知直線 CC及D 2均與1、m異面，故選項 D錯誤.故選B.【點評】 本題考查直線與異面直線平行、垂直、相交、異面的情況，同時考查空間想象能力.7. (5 分)【考點】向量的模.【分析】本題是對向量意義的考查，根據(jù) |日| - | b| 1己+b|g|+| b|進行選擇，題目中注意| a+2b|=|4+b+b|的變 化，和題目所給的條件的應(yīng)用.【解答】 解：: | 白+2b|=| a+b+b| | a+2b| ,故選C【點評】 大小和方向是向量的兩個要素，分別是向量的代數(shù)特征和幾何特征，借助于向量可以實現(xiàn)某些代數(shù)問題與幾 何問

11、題的相互轉(zhuǎn)化.精心整理8. ( 5 分)(【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)的幾何意義.【分析】本題可以考慮排除法，容易看出選項D不正確，因為D的圖象，在整個定義域內(nèi)，不具有單調(diào)性，但 y=f (x)和y=f(x)在整個定義域內(nèi)具有完全相同的走勢，不具有這樣的函數(shù).【解答】 解析：檢驗易知 A、B、C均適合，不存在選項 D的圖象所對應(yīng)的函數(shù)，在整個定義域內(nèi)，不具有單調(diào)性，但D.y=f (x)和y=f (x)在整個定義域內(nèi)具有完全相同的走勢，不具有這樣的函數(shù)，故選 【點評】考查函數(shù)的單調(diào)性問題.9. (5 分)【考點】 雙曲線的簡單性質(zhì).【分析】由 PFi，PF2, |PFi|?|PF2|=

12、4ab 可知：PFi|?|PF 2|=|F iF2|?|PA| ,導(dǎo)出 歸4ab 2ab2c c,由此能夠求出雙曲線的離心率.【解答】 解：設(shè)準線與x軸交于A點.在RtA PF1F2中,|PFi|?|PF 2|=|F 1F2|?|PA| ,|PA|=4ab 2ab為f (x)的圖象，由圖象知 若f (g (x)的彳t域是0, 而g (x)是二次函數(shù)，故 g 故選：Cx的范圍，即為g (x)屬于基礎(chǔ)進進行復(fù)數(shù)的又|PA| 2=|FiA|?|F 2A| ,化簡得c2=3a2,故選答案B【點評】本題考查雙曲線的離心率的求法解三角形的相關(guān)知識.解題時不能聯(lián)系三角形的有關(guān)知識，找不到解題方法 而亂選.雙

13、曲線的離心率的求法是解析幾何的一個重點，且方法較多，要善于總結(jié)各種方法，靈活應(yīng)用10. ( 5 分)【考點】函數(shù)的圖象；函數(shù)的值域.【分析】先畫出f(x)的圖象，根據(jù)圖象求出函數(shù)f(x)的值域，然后根據(jù)f(x)的范圍求出的取值范圍，然后根據(jù) g (x)是二次函數(shù)可得結(jié)論.【解答】解：如圖f (x)的值域為(-1 , +8),+00),只需 g (x) 6(8,1 u 0, +8).(x) q。，+).【點評】 本題主要考查了函數(shù)的圖象，以及函數(shù)的值域等有關(guān)基礎(chǔ)知識，同時考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想, 題.二、填空題(共 7小題，每小題 4分，滿分28分)11. . (4 分)【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的

14、乘除運算.【分析】 根據(jù)兩個復(fù)數(shù)的積是1+i和所給的另一個復(fù)數(shù)的表示式，寫出復(fù)數(shù)是由兩個復(fù)數(shù)的商得到的，除法運算，分子和分母同乘以分母的共知復(fù)數(shù)，化簡以后得到結(jié)果.【解答】解：:復(fù)數(shù)z1=1 i, z1?z2=1+i,._ 一_ T - _ +i _ 1+i .,41十1 Z q _1 上z Zj 1 - 1故答案為：i【點評】 本題考查復(fù)數(shù)的除法運算，考查在兩個復(fù)數(shù)和兩個復(fù)數(shù)的積三個復(fù)數(shù)中，可以知二求一，這里的做法同實數(shù) 精心整理的乘除一樣，本題是一個基礎(chǔ)題.12. （4 分）【考點】同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用；二倍角的余弦.【分析】 把題設(shè)等式兩邊平方利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角公式

15、求得sin2 0的值，進而利用。的范圍確定2 0的范圍，最后利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cos2 0的值.【解答】解：.兩邊平方，得 sin2 0 +2sin 0 cos 02+coSL,2513. l+sin2 9=-：252哈cos2e = - 71- sin2e = -士。1 , j -，故答案為：-25【點評】 本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角公式的化簡求值.在利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系時，一 定要注意角度范圍，進而判定出三角函數(shù)的正負.13. （4 分）【考點】絕對值不等式的解法.二二 一二 .【分析】利用絕對值的幾何意義去絕對值號轉(zhuǎn)化為一次不等式求解.【解答】 解：|

16、2x1| x 1?|2x 1| x+1?（ x+1） 2x 1 x+1,（-（x+1） 2ic - 12z _ lz+l?0x PH,.顯然矛盾，故二面角a- AB 0的大小不可能為銳角.即二面角 曠AB 0的范圍是：90, 180.若二面角a- AB 0的大小為直角或鈍角，則由于/ POB=45 ,結(jié)合圖形容易判斷對于B內(nèi)異于。的任意一點Q,都有/ PO殳45。.即二面角 曠AB 0的范圍是90 , 180.故答案為：90 , 180.【點評】高考考點：二面角的求法及簡單的推理判斷能力，易錯點：畫不出相應(yīng)的圖形，從而亂判斷.備考提示：無 論解析幾何還是立體幾何，借助于圖形是我們解決問題的一個

17、重要的方法，它可以將問題直觀化，從而有助于問題的 解決.17. （4 分）【考點】簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用.【分析】利用不等式表示的平面區(qū)域得出區(qū)域與圓形區(qū)域的關(guān)系，把握好兩個集合的包含關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，通精心整理過圖形找準字母之間的不等關(guān)系是解決本題的突破口.【解答】 解：由題意知，可行域應(yīng)在圓內(nèi)，如圖：如果- m0,則可行域取到 x 5的點，不能在圓內(nèi); 故mo.當mx+y=0繞坐標原點旋轉(zhuǎn)時，直線過B點時為邊界位置.此時- m=-,34 . m=.3故答案為：0Vme .3【點評】 本題考查線性規(guī)劃問題的理解和掌握程度，關(guān)鍵要將集合的包含關(guān)系轉(zhuǎn)化為字母之間的關(guān)系，通過求解不等 式確定出字母

18、的取值范圍，考查轉(zhuǎn)化與化歸能力.三、解答題(共 5小題，滿分72分)18. (14 分)【考點】 正弦定理；余弦定理.【分析】(I)先由正弦定理把 sinA+sinB域sinC轉(zhuǎn)化成邊的關(guān)系，進而根據(jù)三角形的周長兩式相減即可求得 AB.(2)由 ABC的面積根據(jù)面積公式求得BC?AC的值，進而求得 AC2+BC2,代入余弦定理即可求得cosC的值，進而求得C.【解答】 解：(I)由題意及正弦定理，得AB+BC+AC譙+1. BC+AC=/2AB,兩式相減，得：AB=1.(n)由 AABC的面積BC?ACsinCsinC,得26BC?AC=7,3AC2+BC2= (AC+B。2 2AC?BC=2

19、 -|=|,由余弦定理,得eq應(yīng)黑衿小 所以C=60.【點評】本題主要考查了正弦定理、三角形的面積計算等相關(guān)知識.此類問題要求大家對正弦定理、余弦定理、面積公式要熟練掌握， 并能運用它們靈活地進行邊與角的轉(zhuǎn)化，解三角形問題也是每年高考的一個重點，但難度一般不大,是高考的一個重要的得分點.19. (14 分)【考點】棱柱的結(jié)構(gòu)特征；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；直線與平面所成的角.【分析】 方法一(I)說明AACB是等腰三角形即可說明 CM LAB,然后推出結(jié)論.(II)過點M作MHL平面 CDE,垂足是 H,連接 CH交延長交 ED于點F,連接 MF, MD ./FCM是直線CM和平面CDE

20、所成的角，解三角形即可，方法二建立空間直角坐標系，(I)證明垂直寫出相關(guān)向量CM和向量EM,求其數(shù)量積等于 0即可證明CMXEM.(II)求CM與平面CDE所成的角，寫出向量 CM,以及平面的法向量，利用數(shù)量積公式即可解答.【解答】 解：方法一：(I)證明：因為 AC=BG M是AB的中點，所以CM LAB.又EAL平面ABC,精心整理所以CMXEM.(II)解：過點 M作MH，平面CDE,垂足是H,連接CH交延長交ED于點F,連接MF, MD . / FCM是直線CM和平面CDE所成的角.因為 MHL平面 CDE ED MH,又因為CM,平面EDM,所以CM LED,則ED,平面CMF,因此

21、ED MF .設(shè) EA=a,在直角梯形 ABDE中，AB=2V2a, M是AB的中點，所以 DE=3a, 0/3 a, MD=V6a,得AEMD是直角三角形，其中/ EMD=90 ,所以股上嚅也6才在噌的中，e/FCM二嗎二1，所以/ FCM=45 ,故CM與平面CDE所成的角是45.方法二：如圖，以點 C為坐標原點，以 CA, CB分別為x軸和y軸，過點C作與平面ABC垂直的直線為 z軸，建立直角坐標系 C xyz,設(shè)EA=a,則 A (2a, 0,0), B (0, 2a, 0) , E (2a, 0, a) . D (0, 2a, 2a) , M (a, a, 0)(I)證明：因為血二(

22、-a, a, - a) , 而二 Q, a, 0),所以祈=0,故EMXCM.(II)解：設(shè)向量n= (1, y0, z0)與平面 CDE垂直，則nJ_CE, n_L CD,即門CE=0, n*CD=0.因為 CE二（2a, 0,a），而二0, 2af 2a），所以 y=2, x0= 2,cosn,a =ICM|-|n| 2直線CM與平面CDE所成的角。是n與CM夾角的余角, 所以0 =45；因此直線CM與平面CDE所成的角是45.【點評】本題主要考查空間線面關(guān)系、空間向量的概念與運算等基礎(chǔ)知識，同時考查空間想象能力和推理運算能力.利用空間直角坐標系解答時，注意計算的準確性.20. (14 分

23、)【考點】 直線與圓錐曲線的綜合問題；直線的一般式方程；橢圓的簡單性質(zhì).【分析】(I)設(shè)出點 A, B的坐標利用橢圓的方程求得 A, B的橫坐標，進而利用弦長公式和b,求得三角形面積表達式，利用基本不等式求得其最大值.(II)把直線與橢圓方程聯(lián)立，進而利用弦長公式求得AB的長度的表達式，利用 O到直線AB的距離建立方程求得和k的關(guān)系式，求得 k.則直線的方程可得.精心整理【解答】解：(I)設(shè)點 A的坐標為(x1, b),點B的坐標為(x2, b),2,由1+bJl，解得 K1, 2二 - fc)2,y=kx+b(n)解：由-得 Ik,) k %2kbK+b * - 1= o， =4k2 b2+

24、1,|AB|=V17k2- h2 -設(shè)。至ij AB的距離為d ,則所以b2=k2+i,代入式并整理，得一小+2二0, 4解得k &以1, b ,二，代入 式檢驗， 0, 占占故直線AB的方程是產(chǎn)增工邛或產(chǎn)多-坐或產(chǎn)-備考,或產(chǎn)-與w2+ (2+22+.+)=ln t3n+2n+i_2fad【點評】 本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解 題能力.21. (15 分)【考點】數(shù)列的求和；不等式的證明.【分析】(1)用解方程或根與系數(shù)的關(guān)系表示a2k-1, a2k, k賦值即可.(2)由 S2n= (a1+a2)+ (a2n 1+a2n)可

25、分組求和.(3) Tn復(fù)雜，常用放縮法，但較難.【解答】解：(I)解：方程x2(3k+2k) x+3k?2k=0的兩個根為x1=3k, X2=2k,當 k=1 時，x二3, x2=2,所以 a1二2；當 k=2 時，x=6, x2=4,所以 a3=4;當 k=3 時，x二9, x2=8,所以 a5=8 時；當 k=4 時，x1二12, x2=16,所以 a7=12.(n)證明： j =+n力力a3a4a5a6(n)解：S2n=a1+a2+an= (3+6+ +3。精心整理所以 T 一二1, t 二 i a!a2 5 z33 224n3Tn=a2n - 1 a2n6 a3a4a5a6T -旦-，

26、 n-24 a5ae*249-2綜上，當【點評】4-L)232n=6 6-22a2n- 1 a2n工上-二 9、r 一9-224(1236,(1 -2臣-，+ 24% a7a3-)_ 1 a 2nnCN* 時，工T6、3、24本題主要考查等差、等比數(shù)列的基本知識，考查運算及推理能力.本題屬難題，一般要求做(1) , ( 2)即可，讓學(xué)生掌握常見方法，對(3)不做要求.22. (15 分)【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)恒成立問題；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值.【分析】(I)首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后令f(x) =0,解出函數(shù)的極值點，最后根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求函數(shù)y=f (x) - g8 (x)的單調(diào)區(qū)間；gt (x)的最大值，從而求證；xo=2,使得gx(2)(2)對任意正實數(shù)t,(11) (i)由題意當x0時，f(x)t(x),求出f