圓錐曲線焦點弦長的一個公式在高考中的妙用

1、qqqq圓錐曲線焦點弦長的一個公式在高考中的妙用圓錐曲線的焦點弦問題是高考命題的大熱點，主要是在解答題中，全國文科一般為壓軸題的第22題，理科和各省市一般為第21題或者第20題，幾乎每一年都有考察。由于題目的綜合性很高的，運算量很大，屬于高難度題目，考試的得分率極低。本文介紹的焦點弦長公式是圓錐曲線（橢圓、雙曲線和拋物線）的通用公式，它是解決這類問題的金鑰匙，利用這個公式使得極其復雜的問題變得簡單明了，中等學習程度的學生完全能夠得心應手！?定理 已知圓錐曲線（橢圓、雙曲線或者拋物線）的對稱軸為坐標軸(或平行于坐標軸)，焦點為F，設傾斜角為的直線經(jīng)過F，且與圓錐曲線交于A、B兩點，記圓錐曲線的離

2、心率為e，通徑長為H，則（1）當焦點在x軸上時，弦AB的長；（2）當焦點在y軸上時，弦AB的長.本文僅對焦點在x軸上，中心在原點的雙曲線為例證明，其它情形請讀者自證.證明：設雙曲線方程為（0，0），通徑，離心率，弦AB所在的直線的方程為（其中，為直線的傾斜角），其參數(shù)方程為.代入雙曲線方程并整理得：.由t的幾何意義可得：推論（1）焦點在x軸上，當A、B在橢圓、拋物線或雙曲線的一支上時，；當A、B不在雙曲線的一支上時，；當圓錐曲線是拋物線時，.（2）焦點在y軸上，當A、B在橢圓、拋物線或雙曲線的一支上時，；當A、B不在雙曲線的一支上時，；當圓錐曲線是拋物線時，.典題妙解下面以近年高考題為例說明上

3、述結論在解題中的妙用.例1（06湖南文第21題）已知橢圓，拋物線（0），且、的公共弦AB過橢圓的右焦點.（）當軸時，求p，m的值，并判斷拋物線的焦點是否在直線AB上；（）若且拋物線的焦點在直線AB上，求m的值及直線AB的方程.解：（）當軸時，點A、B關于x軸對稱，直線AB的方程為.從而點A的坐標為或.點A在拋物線上，即此時拋物線的焦點坐標為，該焦點不在直線AB上.（）設直線AB的傾斜角為，由（）知.則直線AB的方程為.拋物線的對稱軸平行于軸，焦點在AB上，通徑，離心率，于是有又AB過橢圓的右焦點，通徑，離心率.OABxy解之得：.拋物線的焦點在直線上，從而.當時，直線AB的方程為；當時，直線A

4、B的方程為.例2（07全國文第22題）已知橢圓的左、右焦點分別為、，過的直線交橢圓于B、D兩點，過的直線交橢圓于A、C兩點，且，垂足為P.（1）設P點的坐標為，證明：1.（2）求四邊形ABCD的面積的最小值.（1）證明：在中，.O是的中點， 得點P在圓上.顯然，圓在橢圓的內部.故1.（2）解：如圖，設直線BD的傾斜角為，由可知，直線AC的傾斜角.通徑，離心率.又BD、AC分別過橢圓的左、右焦點、，于是ABCDOxyP四邊形ABCD的面積.故四邊形ABCD面積的最小值為.例3（08全國理第21題文第22題）雙曲線的中心為原點O，焦點在x上，兩條漸近線分別為、，經(jīng)過右焦點F垂直于的直線分別交、于A

5、、B兩點. 已知、成等差數(shù)列，且與同向.（）求雙曲線的離心率；（）設AB被雙曲線所截得的線段的長為4，求雙曲線的方程.解：（）設雙曲線的方程為（0，0）.、成等差數(shù)列，設，公差為d，則，. 即. 從而，.又設直線的傾斜角為，則. 的方程為. 而ABy O F xNM.解之得：（）設過焦點F的直線AB的傾斜角為, 則. 而.通徑.又設直線AB與雙曲線的交點為M、N. 于是有：.即.解得，從而.所求的橢圓方程為.金指點睛1. 已知斜率為1的直線過橢圓的上焦點F交橢圓于A、B兩點，則=_.2. 過雙曲線的左焦點F作傾斜角為的直線交雙曲線于A、B兩點，則=_.3. 已知橢圓，過左焦點F作直線交A、B兩

6、點，O為坐標原點，求AOB的最大面積.BO xyAFyO F xAB4. 已知拋物線（0），弦AB過焦點F，設，AOB的面積為S，求證： 為定值.5.（05全國文第22題）P、Q、M、N四點都在橢圓上，F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點. 已知與共線，與共線，且.求四邊形PQMN的面積的最大值和最小值.O xNPyMQF6. (07重慶文第22題)如圖，傾斜角為的直線經(jīng)過拋物線的焦點F，且與拋物線交于A、B兩點.（）求拋物線的焦點F的坐標及準線的方程；（）若為銳角，作線段AB的垂直平分線m交軸于點P，證明為定值，并求此定值.yO F xABDECmP7. 點M與點的距離比它到直線的距離小1.（1）求

7、點M的軌跡方程；（2）經(jīng)過點F且互相垂直的兩條直線與軌跡相交于A、B；C、D. 求四邊形ACBD的最小面積.8. 已知雙曲線的左右焦點、與橢圓的焦點相同，且以拋物線的準線為其中一條準線. （1）求雙曲線的方程； （2）若經(jīng)過焦點且互相垂直的兩條直線與雙曲線相交于A、B；C、D. 求四邊形ACBD的面積的最小值.參考答案1. 解：，離心率，通徑，直線的傾斜角.2. 解：，離心率，通徑，直線的傾斜角.3. 解：，左焦點，離心率，通徑.當直線的斜率不存在時，軸，這時，高，AOB的面積.當直線的斜率存在時，設直線的傾斜角為，則其方程為，即，原點O到直線AB的距離.BO xyAFAOB的面積.0，0.

8、從而.當且僅當，即時，“=”號成立. 故AOB的最大面積為.4. 解：焦點為，通徑.當直線AB的斜率不存在時，軸，這時，高，AOB的面積.，是定值.當直線AB的斜率存在時，設直線的傾斜角為，則其方程為，即，原點O到直線AB的距離.yO F xABAOB的面積.不論直線AB在什么位置，均有（為定值）.5. 解：在橢圓中，由已知條件，MN和PQ是橢圓的兩條弦，相交于焦點，且.如圖，設直線PQ的傾斜角為，則直線MN的傾斜角. O xNPyMQF通徑，離心率.于是有四邊形PQMN的面積.故四邊形PQMN面積的最小值和最大值分別為和2.6.（）解：，拋物線的焦點F的坐標為，準線的方程為.（）證明：作于C，于D. 通徑.yO F xABDECmP則.，從而.故為定值，此定值為8.7. 解：（1）根據(jù)題意，點M與點的距離與它到直線的距離相等，點M的軌跡是拋物線，點是它的焦點，直線是它的準線.從而，.FO xABDCy所求的點M的軌跡方程是.（2）兩條互相垂直的直線與拋物線均有兩個交點，它們的斜率都存在. 如圖，設直線AB的傾斜角為，則直線CD的傾斜角為.拋物線的通徑，于是有：.四邊形ACBD的面積當且僅當取得最大值1時，這時.四邊形ACBD的最小面積為128.8. 解：（1）在橢圓中，其焦點為、.在拋物線中，其準線方程為.在雙曲線