圓錐曲線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的一個(gè)公式在高考中的妙用

1、qqqq圓錐曲線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的一個(gè)公式在高考中的妙用圓錐曲線的焦點(diǎn)弦問題是高考命題的大熱點(diǎn)，主要是在解答題中，全國文科一般為壓軸題的第22題，理科和各省市一般為第21題或者第20題，幾乎每一年都有考察。由于題目的綜合性很高的，運(yùn)算量很大，屬于高難度題目，考試的得分率極低。本文介紹的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式是圓錐曲線（橢圓、雙曲線和拋物線）的通用公式，它是解決這類問題的金鑰匙，利用這個(gè)公式使得極其復(fù)雜的問題變得簡(jiǎn)單明了，中等學(xué)習(xí)程度的學(xué)生完全能夠得心應(yīng)手！?定理 已知圓錐曲線（橢圓、雙曲線或者拋物線）的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸(或平行于坐標(biāo)軸)，焦點(diǎn)為F，設(shè)傾斜角為的直線經(jīng)過F，且與圓錐曲線交于A、B兩點(diǎn)，記圓錐曲線的離

2、心率為e，通徑長(zhǎng)為H，則（1）當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，弦AB的長(zhǎng)；（2）當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，弦AB的長(zhǎng).本文僅對(duì)焦點(diǎn)在x軸上，中心在原點(diǎn)的雙曲線為例證明，其它情形請(qǐng)讀者自證.證明：設(shè)雙曲線方程為（0，0），通徑，離心率，弦AB所在的直線的方程為（其中，為直線的傾斜角），其參數(shù)方程為.代入雙曲線方程并整理得：.由t的幾何意義可得：推論（1）焦點(diǎn)在x軸上，當(dāng)A、B在橢圓、拋物線或雙曲線的一支上時(shí)，；當(dāng)A、B不在雙曲線的一支上時(shí)，；當(dāng)圓錐曲線是拋物線時(shí)，.（2）焦點(diǎn)在y軸上，當(dāng)A、B在橢圓、拋物線或雙曲線的一支上時(shí)，；當(dāng)A、B不在雙曲線的一支上時(shí)，；當(dāng)圓錐曲線是拋物線時(shí)，.典題妙解下面以近年高考題為例說明上

3、述結(jié)論在解題中的妙用.例1（06湖南文第21題）已知橢圓，拋物線（0），且、的公共弦AB過橢圓的右焦點(diǎn).（）當(dāng)軸時(shí)，求p，m的值，并判斷拋物線的焦點(diǎn)是否在直線AB上；（）若且拋物線的焦點(diǎn)在直線AB上，求m的值及直線AB的方程.解：（）當(dāng)軸時(shí)，點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱，直線AB的方程為.從而點(diǎn)A的坐標(biāo)為或.點(diǎn)A在拋物線上，即此時(shí)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，該焦點(diǎn)不在直線AB上.（）設(shè)直線AB的傾斜角為，由（）知.則直線AB的方程為.拋物線的對(duì)稱軸平行于軸，焦點(diǎn)在AB上，通徑，離心率，于是有又AB過橢圓的右焦點(diǎn)，通徑，離心率.OABxy解之得：.拋物線的焦點(diǎn)在直線上，從而.當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為；當(dāng)時(shí)，直線A

4、B的方程為.例2（07全國文第22題）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過的直線交橢圓于B、D兩點(diǎn)，過的直線交橢圓于A、C兩點(diǎn)，且，垂足為P.（1）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，證明：1.（2）求四邊形ABCD的面積的最小值.（1）證明：在中，.O是的中點(diǎn)， 得點(diǎn)P在圓上.顯然，圓在橢圓的內(nèi)部.故1.（2）解：如圖，設(shè)直線BD的傾斜角為，由可知，直線AC的傾斜角.通徑，離心率.又BD、AC分別過橢圓的左、右焦點(diǎn)、，于是ABCDOxyP四邊形ABCD的面積.故四邊形ABCD面積的最小值為.例3（08全國理第21題文第22題）雙曲線的中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x上，兩條漸近線分別為、，經(jīng)過右焦點(diǎn)F垂直于的直線分別交、于A

5、、B兩點(diǎn). 已知、成等差數(shù)列，且與同向.（）求雙曲線的離心率；（）設(shè)AB被雙曲線所截得的線段的長(zhǎng)為4，求雙曲線的方程.解：（）設(shè)雙曲線的方程為（0，0）.、成等差數(shù)列，設(shè)，公差為d，則，. 即. 從而，.又設(shè)直線的傾斜角為，則. 的方程為. 而ABy O F xNM.解之得：（）設(shè)過焦點(diǎn)F的直線AB的傾斜角為, 則. 而.通徑.又設(shè)直線AB與雙曲線的交點(diǎn)為M、N. 于是有：.即.解得，從而.所求的橢圓方程為.金指點(diǎn)睛1. 已知斜率為1的直線過橢圓的上焦點(diǎn)F交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則=_.2. 過雙曲線的左焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，則=_.3. 已知橢圓，過左焦點(diǎn)F作直線交A、B兩

6、點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求AOB的最大面積.BO xyAFyO F xAB4. 已知拋物線（0），弦AB過焦點(diǎn)F，設(shè)，AOB的面積為S，求證： 為定值.5.（05全國文第22題）P、Q、M、N四點(diǎn)都在橢圓上，F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點(diǎn). 已知與共線，與共線，且.求四邊形PQMN的面積的最大值和最小值.O xNPyMQF6. (07重慶文第22題)如圖，傾斜角為的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F，且與拋物線交于A、B兩點(diǎn).（）求拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)及準(zhǔn)線的方程；（）若為銳角，作線段AB的垂直平分線m交軸于點(diǎn)P，證明為定值，并求此定值.yO F xABDECmP7. 點(diǎn)M與點(diǎn)的距離比它到直線的距離小1.（1）求

7、點(diǎn)M的軌跡方程；（2）經(jīng)過點(diǎn)F且互相垂直的兩條直線與軌跡相交于A、B；C、D. 求四邊形ACBD的最小面積.8. 已知雙曲線的左右焦點(diǎn)、與橢圓的焦點(diǎn)相同，且以拋物線的準(zhǔn)線為其中一條準(zhǔn)線. （1）求雙曲線的方程； （2）若經(jīng)過焦點(diǎn)且互相垂直的兩條直線與雙曲線相交于A、B；C、D. 求四邊形ACBD的面積的最小值.參考答案1. 解：，離心率，通徑，直線的傾斜角.2. 解：，離心率，通徑，直線的傾斜角.3. 解：，左焦點(diǎn)，離心率，通徑.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，軸，這時(shí)，高，AOB的面積.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的傾斜角為，則其方程為，即，原點(diǎn)O到直線AB的距離.BO xyAFAOB的面積.0，0.

8、從而.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，“=”號(hào)成立. 故AOB的最大面積為.4. 解：焦點(diǎn)為，通徑.當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，軸，這時(shí)，高，AOB的面積.，是定值.當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的傾斜角為，則其方程為，即，原點(diǎn)O到直線AB的距離.yO F xABAOB的面積.不論直線AB在什么位置，均有（為定值）.5. 解：在橢圓中，由已知條件，MN和PQ是橢圓的兩條弦，相交于焦點(diǎn)，且.如圖，設(shè)直線PQ的傾斜角為，則直線MN的傾斜角. O xNPyMQF通徑，離心率.于是有四邊形PQMN的面積.故四邊形PQMN面積的最小值和最大值分別為和2.6.（）解：，拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線的方程為.（）證明：作于C，于D. 通徑.yO F xABDECmP則.，從而.故為定值，此定值為8.7. 解：（1）根據(jù)題意，點(diǎn)M與點(diǎn)的距離與它到直線的距離相等，點(diǎn)M的軌跡是拋物線，點(diǎn)是它的焦點(diǎn)，直線是它的準(zhǔn)線.從而，.FO xABDCy所求的點(diǎn)M的軌跡方程是.（2）兩條互相垂直的直線與拋物線均有兩個(gè)交點(diǎn)，它們的斜率都存在. 如圖，設(shè)直線AB的傾斜角為，則直線CD的傾斜角為.拋物線的通徑，于是有：.四邊形ACBD的面積當(dāng)且僅當(dāng)取得最大值1時(shí)，這時(shí).四邊形ACBD的最小面積為128.8. 解：（1）在橢圓中，其焦點(diǎn)為、.在拋物線中，其準(zhǔn)線方程為.在雙曲線