向量法解決空間立體幾何---點(diǎn)存在性問題--教師版

1、向量法解決空間立體幾何-點(diǎn)存在性問題-教師版1、如圖所示，在直三棱柱ABC­A1B 1C1中，ACB90°，AA1BC2AC2.(1)若D為AA1中點(diǎn)，求證：平面B1CD平面B1C1D；(2)在AA1上是否存在一點(diǎn)D，使得二面角B1­CD­C1的大小為60°？解：(1)證明：如圖所示，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，CA，CB，CC1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系則C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)，D(1,0,1)，即(0,2,0)，(1,0,1)，(1,0,1)由·(0,2,0)·(1

2、,0,1)0000，得，即C1B1CD.由·(1,0,1)·(1,0,1)1010，得，即DC1CD.又DC1C1B1C1，CD平面B1C1D.又CD平面B1CD，平面B1CD平面B1C1D.(2)存在當(dāng)ADAA1時(shí)，二面角B1­CD­C1的大小為60°.理由如下：設(shè)ADa，則D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0，a)，(1,0，a)，(0,2,2)，設(shè)平面B1CD的法向量為m(x，y，z)，則令z1，得m(a,1，1)又(0,2,0)為平面C1CD的一個(gè)法向量，則cos 60°，解得a(負(fù)值舍去)，故ADAA1.在AA1上存在一點(diǎn)D滿足題意2如圖，在

3、三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1C1C是邊長為4的正方形，平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5.(1)求證：AA1平面ABC；(2)求二面角A1­BC1­B1的余弦值；(3)證明：在線段BC1上存在點(diǎn)D，使得ADA1B，并求的值解：(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛A1C1C為正方形，所以AA1AC.因?yàn)槠矫鍭BC平面AA1C1C，且AA1垂直于這兩個(gè)平面的交線AC，所以AA1平面ABC.(2)由(1)知AA1AC，AA1AB. 由題知AB3，BC5，AC4，所以ABAC.如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)­xyz，則B(0,3,0)，A1(0,0,4

4、)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)，(0,3，4)，(4,0,0)設(shè)平面A1BC1的法向量為n(x，y，z)，則即令z3，則x0，y4，所以n(0,4,3)同理可得，平面B1BC1的一個(gè)法向量為m(3,4,0)所以cos n，m.由題知二面角A1­BC1­B1為銳角，所以二面角A1­BC1­B1的余弦值為.(3)證明：設(shè)D(x，y，z)是直線BC1上一點(diǎn)，且.所以(x，y3，z)(4，3,4)解得x4，y33，z4.所以(4，33，4)由·0，即9250，解得.因?yàn)?,1，所以在線段BC1上存在點(diǎn)D，使得ADA1B.此時(shí)，.3、如圖，在

5、四棱錐P­ABCD中，側(cè)面PAD底面ABCD，側(cè)棱PAPD，PAPD，底面ABCD為直角梯形，其中BCAD，ABAD，ABBC1，O為AD中點(diǎn)(1)求直線PB與平面POC所成角的余弦值；(2)求B點(diǎn)到平面PCD的距離；(3)線段PD上是否存在一點(diǎn)Q，使得二面角Q­AC­D的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由解：(1)在PAD中，PAPD，O為AD中點(diǎn)，所以POAD.又側(cè)面PAD底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD，所以PO平面ABCD.又在直角梯形ABCD中，連接OC，易得OCAD，所以以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC，OD，OP所在直線分別

6、為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則P(0,0,1)，A(0，1,0)，B(1，1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，(1，1，1)，易證OA平面POC，(0，1,0)是平面POC的法向量，cos，. 直線PB與平面POC所成角的余弦值為.(2) (0,1，1)，(1,0,1)設(shè)平面PDC的一個(gè)法向量為u(x，y，z)，則取z1，得u(1,1,1)B點(diǎn)到平面PCD的距離為d.(3)假設(shè)存在一點(diǎn)Q，則設(shè) (0<<1)(0,1，1)，(0，)，(0，1)，Q(0，1)設(shè)平面CAQ的一個(gè)法向量為m(x，y，z)，又(1,1,0)，AQ(0，1,1)，則取z1，得m(1，1，1)，

7、又平面CAD的一個(gè)法向量為n(0,0,1)，二面角Q­AC­D的余弦值為，所以|cosm，n|，得321030，解得或3(舍)，所以存在點(diǎn)Q，且.4、如圖1，A，D分別是矩形A1BCD1上的點(diǎn)，AB2AA12AD2，DC2DD1，把四邊形A1ADD1沿AD折疊，使其與平面ABCD垂直，如圖2所示，連接A1B，D1C得幾何體ABA1­DCD1.(1)當(dāng)點(diǎn)E在棱AB上移動時(shí)，證明：D1EA1D；(2)在棱AB上是否存在點(diǎn)E，使二面角D1­EC­D的平面角為？若存在，求出AE的長；若不存在，請說明理由解：(1)證明，如圖，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC

8、，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D­xyz，則D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0)，A1(1,0,1)，D1(0,0,1)設(shè)E(1，t,0)，則(1，t，1)，(1,0，1)，·1×(1)t×0(1)×(1)0，D1EA1D.(2)假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)E.設(shè)平面D1EC的法向量為n(x，y，z)，由(1)知(1,2t,0)，則得令y，則x1t，z1，n是平面D1EC的一個(gè)法向量，顯然平面ECD的一個(gè)法向量為(0,0,1)，則cosn，cos，解得t2(0t2)故存在點(diǎn)E，當(dāng)AE2時(shí)，二面角D1­EC

9、­D的平面角為.5、如圖是多面體ABC­A1B1C1和它的三視圖 (1)線段CC1上是否存在一點(diǎn)E，使BE平面A1CC1？若不存在，請說明理由，若存在，請找出并證明；(2)求平面C1A1C與平面A1CA夾角的余弦值解：(1)由題意知AA1，AB，AC兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0，2,0)，C1(1，1,2)，則(1,1,2)，(1，1,0)，(0，2，2)設(shè)E(x，y，z)，則(x，y2，z)，(1x，1y,2z)設(shè) (>0)，則則E，.由得解得2，所以線段CC1上存在一點(diǎn)E，2，使BE平面A

10、1CC1.(2)設(shè)平面C1A1C的法向量為m(x，y，z)，則由得取x1，則y1，z1.故m(1，1,1)，而平面A1CA的一個(gè)法向量為n(1,0,0)，則cosm，n，故平面C1A1C與平面A1CA夾角的余弦值為.6、如圖1，正ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是AC和BC邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將ABC沿CD翻折成直二面角A­DC­B(如圖2)(1)試判斷直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說明理由；(2)求二面角E­DF­C的余弦值；(3)在線段BC上是否存在一點(diǎn)P，使APDE？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由解(1)在ABC中，由E，F(xiàn)分別是AC，BC中點(diǎn)，得EFAB.又AB平面DEF，EF平面DEF，AB平面DEF.(2)以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線DB，DC，DA分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0，2，0)，E(0，1)，F(xiàn)(1，0)，(1，0)，(0，1)，(0,0,2)平面CDF的法向量為(0,0,2)設(shè)