基于MATLAB的齒輪傳動系統(tǒng)設(shè)計(jì)

1、基于MATLAB的齒輪傳動系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)摘要：某高速重載齒輪進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，在分析齒輪在各工況下的彎曲強(qiáng)度后，根據(jù)齒輪的優(yōu)化設(shè)計(jì)原則，選擇齒輪體積最小為優(yōu)化設(shè)計(jì)原則，對傳動齒輪中的小齒輪進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)模數(shù)、齒數(shù)、齒寬系數(shù)、螺旋角為變量，根據(jù)各參數(shù)的設(shè)計(jì)要求來確定約束條件，同時(shí)根據(jù)齒根彎曲疲勞強(qiáng)度和齒面接觸疲勞強(qiáng)度進(jìn)行條件約束，最后用MATLAB進(jìn)行編程計(jì)算，最后得出優(yōu)化后的結(jié)果，該結(jié)果滿足要求。本文的研究對機(jī)械系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)具有指導(dǎo)意義和工程應(yīng)用價(jià)值。關(guān)鍵詞：齒輪；優(yōu)化設(shè)計(jì)；MATLAB；0引言優(yōu)化設(shè)計(jì)是近年發(fā)展起來的一門新的學(xué)科，也是一項(xiàng)新技術(shù)，在工程設(shè)計(jì)的各個領(lǐng)域都已經(jīng)得到了更為廣泛的

2、應(yīng)用。通過實(shí)際的應(yīng)用過程表明：工程設(shè)計(jì)中采用優(yōu)化設(shè)計(jì)這種新的科學(xué)設(shè)計(jì)方法，不僅使得在解決復(fù)雜問題時(shí)，能夠從眾多紛繁復(fù)雜的設(shè)計(jì)方案中找到盡可能完善的或者最適合的設(shè)計(jì)方案，而且，采用這種方法還能夠提高設(shè)計(jì)效率和設(shè)計(jì)質(zhì)量，使其的經(jīng)濟(jì)和社會效益都非常明顯。優(yōu)化設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ)是數(shù)學(xué)規(guī)劃，采用的工具是計(jì)算機(jī)。優(yōu)化設(shè)計(jì)具有一般的設(shè)計(jì)方法所不具備的一些特點(diǎn)。優(yōu)化設(shè)計(jì)能夠使各種設(shè)計(jì)參數(shù)自動向更優(yōu)的方向進(jìn)行調(diào)整，直到找到一個盡可能完善的或最適合的設(shè)計(jì)方案。一般的設(shè)計(jì)方法只是依靠設(shè)計(jì)人員的經(jīng)驗(yàn)來找到最佳方案，這樣不足以保證設(shè)計(jì)參數(shù)一定能夠向更優(yōu)方向調(diào)整，也不能夠保證一定能找到最適合的設(shè)計(jì)方案。優(yōu)化設(shè)計(jì)的手段是采用計(jì)

3、算機(jī)，在很短的時(shí)間內(nèi)就可以分析一個設(shè)計(jì)方案，并判斷方案的優(yōu)劣、是否可行，因此就能夠從大量的方案中選出更加適合的設(shè)計(jì)方案，這是常規(guī)設(shè)計(jì)所不能比的。1 機(jī)械系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法概述許多機(jī)械工程設(shè)計(jì)都需要進(jìn)行優(yōu)化。優(yōu)化過程可以分為三個部分：綜合與分析、評價(jià)、改變參數(shù)三部分組成。其中，綜合與分析部分的主要功能是建立產(chǎn)品設(shè)計(jì)參數(shù)與設(shè)計(jì)性能、設(shè)計(jì)要求之間的關(guān)系，這也就是一個建立數(shù)學(xué)模型的過程。評價(jià)部分就是對該產(chǎn)品的性能和設(shè)計(jì)要求進(jìn)行分析，這就相當(dāng)于是評價(jià)目標(biāo)函數(shù)是否得到改善或者達(dá)到最優(yōu)，也就是檢驗(yàn)數(shù)學(xué)模型中的約束條件是否全部得到滿足。改變參數(shù)部分就是選擇優(yōu)化方法，使得目標(biāo)函數(shù)（數(shù)學(xué)模型）得到解，同時(shí)根據(jù)這種優(yōu)

4、化方法來改變設(shè)計(jì)參數(shù)。在許多機(jī)械工程設(shè)計(jì)問題中，優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)是多種多樣的，按照所追求的目標(biāo)的多少，目標(biāo)函數(shù)可以分為單目標(biāo)函數(shù)和多目標(biāo)函數(shù)。以多級齒輪傳動系統(tǒng)設(shè)計(jì)過程為例，要求在滿足規(guī)定的傳動比和給定最小齒輪、大齒輪直徑的條件下，追求系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量最小，箱體的體積最小，各級傳動中心距和最小，承載能力最高，壽命最長等，這就是一個多目標(biāo)函數(shù)。目標(biāo)函數(shù)作為評價(jià)方案中的一個很重要的標(biāo)準(zhǔn)，它不一定有明顯的物理意義、量綱，它只是代表設(shè)計(jì)指標(biāo)的一個值。所以，目標(biāo)函數(shù)的建立是否正確是優(yōu)化設(shè)計(jì)中很重要的一項(xiàng)工作，它既要反映用戶的需求，又要敏感地、直接地反映設(shè)計(jì)變量的變化，對優(yōu)化設(shè)計(jì)的質(zhì)量及計(jì)算難易程度都有一定的

5、影響。表2.1給出了常用優(yōu)化設(shè)計(jì)中的可供選擇的優(yōu)化目標(biāo)。優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的前提是選擇優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，選用哪個方法好，這就主要是由優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的特性和實(shí)際設(shè)計(jì)問題的具體情況來決定。一般來講，評價(jià)一種優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的優(yōu)劣可以從以下幾個方面進(jìn)行考察：(1)可靠性：指在一定的合理精度要求下，在一定時(shí)間內(nèi)求解各種不同類型問題的成功率。(2)精度：值求得最優(yōu)化結(jié)果的解與原問題解比例的得接近程度問題。(3)效率：指對同一問題，給定初始點(diǎn)的情況下，精度相同的情況下，求解時(shí)所需要的機(jī)時(shí)數(shù)或者迭代次數(shù)，也就是說在相同條件下的計(jì)算成本的問題。計(jì)算效率是影響計(jì)算成功主要因素之一。(4)通用性：優(yōu)化方法的使用范圍以及對各類優(yōu)化

6、設(shè)計(jì)問題的適用性，具體指的是是否有對函數(shù)性態(tài)的限制，占用內(nèi)存的限制等。(5)穩(wěn)定性，指方法的求解穩(wěn)定性。(6)全局收斂法，指優(yōu)化方法是否會陷入局部最優(yōu)。適應(yīng)性和收斂性會影響優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的計(jì)算效率。實(shí)際經(jīng)驗(yàn)證明，任何一種優(yōu)化設(shè)計(jì)方法都不可能在整個完整的計(jì)算過程中保持較好的收斂性。(7)初始條件敏感性：它的意思是指選擇的初始條件對目標(biāo)函數(shù)是否能夠收斂到最優(yōu)的影響程度。如果從一個不好的初始點(diǎn)出發(fā)，目標(biāo)函數(shù)也能夠收斂到最優(yōu)解，則說明其初始條件的敏感性低。(8)多變量敏感性：指優(yōu)化設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)中的設(shè)計(jì)變量的個數(shù)即維數(shù)的敏感程度，一般來說，對于用直接法來求解的函數(shù)，設(shè)計(jì)變量的個數(shù)過多會導(dǎo)致計(jì)算工作量加大，

7、從而導(dǎo)致計(jì)算的精度降低。(9)約束敏感性：是指對約束條件多少的敏感程度。設(shè)計(jì)空間隨著約束條件的增多而逐漸減小，使得多變量敏感性加大，降低了計(jì)算過程的穩(wěn)定性。2齒輪傳動系統(tǒng)的基本設(shè)計(jì)機(jī)械設(shè)計(jì)優(yōu)化設(shè)計(jì)中常采用的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法有進(jìn)退法、黃金分割法、共軛梯度法、坐標(biāo)輪換法、復(fù)合形法等。下面設(shè)計(jì)一種齒輪系統(tǒng)，并基于Matlab對系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。高速重載齒輪時(shí)常會受到加速度大、沖擊載荷大、啟動、制動等的影響。因此，為保證運(yùn)行的安全性和可靠性，齒輪彎曲強(qiáng)度的安全系數(shù)應(yīng)高于接觸強(qiáng)度的安全系數(shù)。齒輪的主要失效形式主要有：輪齒折斷、齒面磨損、齒面膠合、齒面點(diǎn)蝕、塑性變形等。由此可見，高速重載齒輪的設(shè)計(jì)必須保證齒輪

8、在整個工作壽命期間不失效，由于目前還沒有建立起工程實(shí)際中行之有效的設(shè)計(jì)方法和設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)，目前按照保證齒根彎曲疲勞強(qiáng)度和齒面接觸疲勞強(qiáng)度兩個準(zhǔn)則來設(shè)計(jì)齒輪。表1為某高速重載齒輪傳動系統(tǒng)的基本參數(shù)，按照表1要求，對傳動系統(tǒng)進(jìn)行基本設(shè)計(jì)，最終得到系統(tǒng)的基本參數(shù)如表2所示。表1 齒輪的基本參數(shù)模數(shù)m=6分度圓壓力角分度圓螺旋角齒頂系數(shù)頂隙系數(shù)齒寬表2齒輪幾何參數(shù)名義中心距中心距變動系數(shù)嚙合角總變位系數(shù)變位系數(shù)分配 齒頂圓直徑齒根圓直徑進(jìn)一步選擇起動、持續(xù)、最高速度三種工況，對本設(shè)計(jì)的齒輪進(jìn)行強(qiáng)度校核。得到表2所示參數(shù)下的齒輪系統(tǒng)主、從動輪在在起動、持續(xù)、最高速三種工況下的承載能力在各工況下的安全系數(shù)滿足

9、較高的可靠度，齒輪的接觸強(qiáng)度是達(dá)到了設(shè)計(jì)要求，同時(shí)齒輪在各工況下的彎曲強(qiáng)度安全系數(shù)均大于高可靠度的安全系數(shù)，因此輪齒的彎曲強(qiáng)度足夠。3基于Matlab的齒輪優(yōu)化設(shè)計(jì)3.1優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的建立齒輪優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型的建立一般包括三部分：(1)設(shè)計(jì)變量：一般選用齒輪傳動的基本幾何參數(shù)或性能參數(shù)面包括：齒輪齒數(shù)、模數(shù)、齒寬系數(shù)、螺旋角、變位系數(shù)、和中心距分離系數(shù)等。(2)目標(biāo)函數(shù)：常見的目標(biāo)函數(shù)有體積(或者質(zhì)量)最小、承載能力最大、工作壽命最長、振動最小等。(3)約束條件：一般的滿足條件是滿足接觸疲勞強(qiáng)度、彎曲疲勞強(qiáng)度、齒數(shù)不少于發(fā)生根切的最小齒數(shù)、傳遞動力的齒輪的模數(shù)不小于2mm，齒寬不引起過分的載

10、荷分布不均現(xiàn)象、傳動比誤差不大于給定的誤差設(shè)計(jì)要求等。在斜齒輪傳動中，主要的參數(shù)有模數(shù) 、齒數(shù) 、齒寬系數(shù) 、螺旋角 等。在這幾個重要的變量中，模數(shù)決定了齒輪的大小和強(qiáng)度，當(dāng)模數(shù)一定的時(shí)候，齒數(shù)就決定分度圓的大小，螺旋角也是一個重要的參數(shù)，它直接影響齒輪的形狀、受力的大小和尺寸。所以，在齒輪傳動的設(shè)計(jì)中，模數(shù)、小齒輪的齒數(shù)、螺旋角和齒寬系數(shù)的選擇將直接影響傳動裝置的外廓尺寸和傳動質(zhì)量的好壞。因此選擇模數(shù)、小齒輪的齒數(shù)、螺旋角和齒寬系數(shù)等作為設(shè)計(jì)變量。3.2建立目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)根據(jù)一般的優(yōu)化方法可選擇的目標(biāo)來確定，在齒輪傳動時(shí)，一般要求傳動裝置結(jié)構(gòu)緊湊、重量輕、節(jié)省材料、成本低。本文中選擇的優(yōu)化

11、目標(biāo)是齒輪體積最小，可以用函數(shù)表示為： (1)則目標(biāo)函數(shù)確定為： (2)其中：傳動比。3.3確定約束條件約束條件是用來判定目標(biāo)函數(shù)中設(shè)計(jì)變量取值的規(guī)定，齒輪傳動中，約束條件包括邊界約束條件和性能約束條件。根據(jù)不發(fā)生根切的最小齒數(shù)來決定，斜齒輪按照當(dāng)量齒數(shù)來計(jì)算： (3)按照小齒輪齒數(shù)的一般取值范圍來確定邊界條件，斜齒輪按照當(dāng)量齒數(shù)來計(jì)算： (4)即： (5)根據(jù)齒輪齒寬系數(shù)的設(shè)計(jì)要求來確定小齒輪齒寬系數(shù)： (6) (7)即： (8) (9)根據(jù)螺旋角的設(shè)計(jì)要求確定螺旋角的邊界范圍，斜齒輪傳動一般選擇的；螺旋角的范圍是： (10) (11)根據(jù)齒根彎曲疲勞強(qiáng)度進(jìn)行約束： (12) (13)齒面接

12、觸疲勞強(qiáng)度 (14) (15)齒輪優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型可建立如下：() (16)3.4基于MATLAB優(yōu)化工具箱求解利用MATLAB工具箱中的fmincon函數(shù)求解，首先需編寫M文件。代碼如下：functionc,ceq=mynas(x)c(1)=17-x(2)/cos(x(3)3;c(2)=x(2)/cos(x(3)3-40;c(3)=8112420*cos(x(3)3/ x(1)3*x(2)2* x(4)-490;c(4)=707879.071*cos(x(3)1.5 /x(1)*x(2)*sqrt(x(1)*x(2)*x(4)/cos(x(3)-1227;ceq=;隨后，在MATLAB主窗口中

13、輸入：fun= '15*pi*x(4)*x(1)3*x(2)3/cos(x(3) 3'x0=4,13,20,1;A=0,0,0,-1;0,0,0,1;0,0,-1,0;0,0,1,0;b=-0.4,1.2,-8,20;Aeq=;beq=;lb=;ub=;x,fval=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,mynas)輸出的結(jié)果如下：圖1 MATLAB的優(yōu)化結(jié)果4總結(jié)本文對某高速重載齒輪進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，在分析齒輪在各工況下的彎曲強(qiáng)度安全系數(shù)也達(dá)到了高可靠度安全系數(shù)的要求的基礎(chǔ)上，根據(jù)齒輪的優(yōu)化設(shè)計(jì)原則對傳動齒輪中的小齒輪進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)：優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)是

14、要滿足體積最小，選模數(shù) 、齒數(shù) 、齒寬系數(shù) 、螺旋角 為設(shè)計(jì)變量，根據(jù)各參數(shù)的設(shè)計(jì)要求來確定約束條件，同時(shí)根據(jù)齒根彎曲疲勞強(qiáng)度和齒面接觸疲勞強(qiáng)度進(jìn)行條件約束，最后用MATLAB進(jìn)行編程計(jì)算，最后得出優(yōu)化后的結(jié)果，該結(jié)果滿足要求。本文的研究對機(jī)械系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)具有指導(dǎo)意義和工程應(yīng)用價(jià)值。參考文獻(xiàn)：1 王大康,盧頌峰.機(jī)械設(shè)計(jì)課程設(shè)計(jì)M.北京:北京工業(yè)大學(xué)出版社,2000.2 濮良貴,紀(jì)名剛主編.機(jī)械設(shè)計(jì).北京：高等教育出版社,2001.3 曹保金，秦小嶼.MATLAB工具箱在機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用J.現(xiàn)代機(jī)械，2009（6）：11-12.4 萬耀青.機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)建模與優(yōu)化方法評價(jià)M.北京：北京理工大學(xué)出版社，1995.5 V. Senthil Kumar, D.V. Muni, G.Muthuveerappan.Optimization of asymmetric spur gear drives to improve The bending load capacity J. Mechanism and Machine Theory.2