拍案驚奇,原來(lái)折紙背后的數(shù)學(xué)如此強(qiáng)大

1、拍案驚奇，原來(lái)折紙背后的數(shù)學(xué)如此強(qiáng)大 matrix67 2011-09-21 18:24:49 果殼 DIY 上前不久的 “嘆為觀紙”第一期：現(xiàn)代折紙介紹 一文讓無(wú)數(shù)人喜歡上了折紙這門(mén)藝術(shù)。死理性 派也來(lái)湊個(gè)熱鬧，講一講折紙背后的數(shù)學(xué)之美。 果殼 DIY 上前不久的 “嘆為觀紙”第一期： 現(xiàn)代折紙介紹 一文讓無(wú)數(shù)人喜歡上了折紙這門(mén) 藝術(shù)。死理性派也來(lái)湊個(gè)熱鬧，講一講折紙背后的數(shù)學(xué)之美。 一張白紙， 不剪不裁， 卻能折出無(wú)數(shù)變化。 有時(shí)候尺規(guī)作圖無(wú)法完成的任務(wù)， 折紙卻能解決。 為什么它能有如此多變化呢？這還要從折紙對(duì)應(yīng)的幾何操作說(shuō)起了。 折紙幾何公理 1991 年，日裔意大利數(shù)學(xué)家藤田文章（H

2、umiaki Huzita） 指出了折紙過(guò)程中的 6 種基本 操作，也叫做折紙幾何公理。假定所有折紙操作均在理想的平面上進(jìn)行，并且所有折痕都是 直線，那么這些公理描述了通過(guò)折紙可能達(dá)成的所有數(shù)學(xué)操作： 1. 已知 A 、 B 兩點(diǎn)，可以折出一條經(jīng)過(guò) A 、 B 的折痕 2. 已知A 、 B 兩點(diǎn)，可以把點(diǎn) A 折到點(diǎn) B 上去3. 已知 a 、 b 兩條直線，可以把直線 a 折到直線 b 上去4. 已知點(diǎn) A 和直線 a ，可以沿著一條過(guò) A 點(diǎn)的折痕，把 a 折到自身上5. 已知 A 、 B 兩點(diǎn)和直線 a ，可以沿著一條過(guò) B 點(diǎn)的折痕，把 A 折到 a 上6. 已知 A 、 B 兩點(diǎn)和

3、a 、 b 兩直線，可以把 A 、 B 分別折到 a 、 b 上容易看出，它們實(shí)際上對(duì)應(yīng)著不同的幾何作圖操作。例如，操作 1 實(shí)際上相當(dāng)于連接已知兩點(diǎn)，操作2 實(shí)際上相當(dāng)于作出已知兩點(diǎn)的連線的垂直平分線，操作 3 則相當(dāng)于作出已知線段的夾角的角平分線，操作 4 則相當(dāng)于過(guò)已知點(diǎn)作已知線的垂線。真正強(qiáng)大的則是后面兩項(xiàng)操作，它們確定出來(lái)的折痕要滿足一系列復(fù)雜的特征，不是尺規(guī)作圖一兩下能作出來(lái)的（有時(shí)甚至是作不出來(lái)的）。正是這兩個(gè)操作，讓折紙幾何有別于尺規(guī)作圖，折紙這門(mén)學(xué)問(wèn)從此處開(kāi)始變得有趣起來(lái)。更有趣的是，操作 5 的解很可能不止一個(gè)。在大多數(shù)情況下，過(guò)一個(gè)點(diǎn)有兩條能把點(diǎn) A 折到直線 a 上的折

4、痕。操作 6 則更猛：把已知兩點(diǎn)分別折到對(duì)應(yīng)的已知兩線上，最多可以有三個(gè)解！一組限定條件能同時(shí)產(chǎn)生三個(gè)解，這讓操作 6 變得無(wú)比靈活，無(wú)比強(qiáng)大。利用一些并不太復(fù)雜的解析幾何分析，我們能得出操作 6 有三種解的根本原因：滿足要求的折痕是一個(gè)三次方程的解。也就是說(shuō)，給出兩個(gè)已知點(diǎn)和兩條對(duì)應(yīng)的已知線后，尋找符合要求的折痕的過(guò)程，本質(zhì)上是在解一個(gè)三次方程！相比于折紙的幾何操作，尺規(guī)作圖就顯得有些不夠“強(qiáng)大”了。不妨讓我們先來(lái)回顧一下尺規(guī)作圖里的五個(gè)基本操作：過(guò)已知兩點(diǎn)作直線給定圓心和圓周上一點(diǎn)作圓尋找直線與直線的交點(diǎn)尋找圓與直線的交點(diǎn)尋找圓與圓的交點(diǎn)這5項(xiàng)操作看上去變化多端，但前3項(xiàng)操作都是唯一解，后

5、兩項(xiàng)操作最多也只能產(chǎn)生兩個(gè)解。從這個(gè)角度來(lái)看，尺規(guī)作圖最多只能解決二次問(wèn)題，加減乘除和不斷開(kāi)方就已經(jīng)是尺規(guī)作圖的極限了。能解決三次問(wèn)題的折紙規(guī)則，勢(shì)必比尺規(guī)作圖更加強(qiáng)大。正因?yàn)槿绱耍恍┏咭?guī)作圖無(wú)法完成的任務(wù)，在折紙幾何中卻能辦到。比如折紙法可以實(shí)現(xiàn)作正七邊形，而這是無(wú)法用尺規(guī)作圖辦到的。我們有更簡(jiǎn)單的例子來(lái)說(shuō)明，用折紙法能完成尺規(guī)作圖辦不到的事情?！氨读⒎襟w”問(wèn)題是古希臘三大尺規(guī)作圖難題之一，它要求把立方體的體積擴(kuò)大到原來(lái)的兩倍，本質(zhì)上是求作 2 的立方根。由于尺規(guī)作圖最多只能開(kāi)平方，因而它無(wú)法完成“倍立方體”的任務(wù)。但是，折紙公理 6 相當(dāng)于解三次方程，解決“倍立方體”難題似乎是游刃有余。

6、有意思的是，用紙片折出 2 的立方根比想象中的更加簡(jiǎn)單。取一張正方形紙片，將它橫著劃分成三等份（方法有很多，大家不妨自己想想）。然后，將右邊界中下面那個(gè)三等分點(diǎn)折到正方形內(nèi)上面那條三等分線上，同時(shí)將紙片的右下角頂點(diǎn)折到正方形的左邊界。那么，紙片的左邊界就被分成了 32 : 1 兩段。利用勾股定理和相似三角形建立各線段長(zhǎng)度的關(guān)系，我們不難證明它的正確性。強(qiáng)烈建議大家自己動(dòng)筆算一算，來(lái)看看三次方程是如何產(chǎn)生的。本文寫(xiě)到這里，大家或許以為故事就結(jié)束了吧。 10 年以后也就是 2001 年，事情又有了轉(zhuǎn)折： 數(shù)學(xué)家羽鳥(niǎo)公士郎（Koshiro Hatori）發(fā)現(xiàn)，上述的 6 個(gè)折紙公理并不是完整的。 他

7、給出了折紙的第 7 個(gè)定理。從形式上看，第 7 公理與已有的公理如出一轍，并不出人意料，很難想象這個(gè)公理整整十年里竟然一直沒(méi)被發(fā)現(xiàn)。繼續(xù)閱讀之前，大家不妨先自己想想，這個(gè)缺失的操作是什么。這段歷史背景無(wú)疑讓它成為了一個(gè)非常有趣的思考題。補(bǔ)充的公理是：7. 已知點(diǎn) A 和 a 、 b 兩直線，可以沿著一條垂直于 b 的折痕，把 A 折到 a 上。后來(lái)，這 7 條公理就合稱為了藤田羽鳥(niǎo)公理（HuzitaHatori 公理），你可以在 維基百科 上讀到這個(gè)條目。在 2003 年的一篇文章中，世界頂級(jí)折紙 藝術(shù)家 羅伯特朗（Robert J. Lang ）對(duì)這些公理進(jìn)行了一番整理和分析，證明了這 7

8、條公理已經(jīng)包含折紙幾何中的全部操作了?？?，藝術(shù)家都是先搞數(shù)學(xué)的！羅伯特朗注意到，上述 7 項(xiàng)基本操作其實(shí)是由一些更基本的操作要素組合而成的，例如“把已知點(diǎn)折到已知線上”、“折痕經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)”等等。說(shuō)得更貼切一些，這些更加基本的操作要素其實(shí)是對(duì)折痕的“限制條件”。在平面直角坐標(biāo)系中，折痕完全由斜率和截距確定，它等價(jià)于一個(gè)包含兩個(gè)變量的方程。不同的折疊要素對(duì)折痕的限制力是不同的，例如“把已知點(diǎn)折到已知點(diǎn)上”就同時(shí)要求 x1' = x2 并且 y1' = y2 ，可以建立出兩個(gè)等量關(guān)系，一下子就把折痕的兩個(gè)變量都限制住了。而“折痕經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)”則只能列出一個(gè)方程，只能確定一個(gè)變量（形式上

9、通常表示為與另一個(gè)變量的關(guān)系），把折痕的活動(dòng)范圍限制在一個(gè)維度里。不難總結(jié)出，基本的折疊限制要素共有 5 個(gè)：(1) 把已知點(diǎn)折到已知點(diǎn)上，確定 2 個(gè)變量(2) 把已知點(diǎn)折到已知線上，確定 1 個(gè)變量(3) 把已知線折到已知線上，確定 2 個(gè)變量(4) 把已知線折到自身上，確定 1 個(gè)變量(5) 折痕經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)，確定 1 個(gè)變量而折痕本身有 2 個(gè)待確定的變量，因此符合要求的折紙操作只有這么幾種： (1) ， (2) +(2) ， (3) ， (4) + (4) ， (5) + (5) ， (2)+(4) ， (2) + (5) ， (4) + (5) 。但是，這里面有一種組合需要排除掉： (4) + (4) 。在絕大多數(shù)情況下， (4) + (4) 實(shí)際上都是不可能實(shí)現(xiàn)的。如果給出的兩條直線不平行，我們無(wú)法折疊紙張使得它們都與自身重合，因?yàn)闆](méi)有同時(shí)垂直于它們的直線。另外 7 種則正好對(duì)應(yīng)了前面 7 個(gè)公理，既無(wú)重合，又無(wú)遺